Pesawat di luar angkasa. Lokasi pesawat di luar angkasa

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Pesawat adalah objek geometris yang propertinya digunakan saat membuat proyeksi titik dan garis, serta saat menghitung jarak dan sudut dihedral antara elemen bangun datar. Mari kita pertimbangkan dalam artikel ini persamaan apa yang dapat digunakan untuk mempelajari lokasi pesawat di ruang angkasa.

Definisi pesawat

Semua orang secara intuitif membayangkan objek apa yang akan dibahas. Dari sudut pandang geometris, bidang adalah kumpulan titik, vektor apa pun di antaranya harus tegak lurus terhadap salah satu vektor. Misalnya, jika ada m titik berbeda dalam ruang, maka m(m-1) / 2 vektor berbeda dapat dibuat darinya, menghubungkan titik-titik secara berpasangan. Jika semua vektor tegak lurus terhadap satu arah, maka ini adalah syarat cukup bahwa semua titik m berada pada bidang yang sama.

Persamaan umum

Dalam geometri spasial, sebuah bidang digambarkan menggunakan persamaan yang umumnya berisi tiga koordinat yang tidak diketahui yang berhubungan dengan sumbu x, y dan z. Kedapatkan persamaan umum koordinat bidang dalam ruang, misalkan ada vektor n¯(A; B; C) dan titik M(x₀; y_{0; z}0_{). Dengan menggunakan dua objek ini, bidang dapat didefinisikan secara unik.}

Memang, misalkan ada titik kedua P(x; y; z) yang koordinatnya tidak diketahui. Menurut definisi yang diberikan di atas, vektor MP¯ harus tegak lurus terhadap n¯, yaitu, produk skalarnya sama dengan nol. Kemudian kita dapat menulis ekspresi berikut:

(n¯MP¯)=0 atau

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Membuka tanda kurung dan memasukkan koefisien D baru, kita mendapatkan ekspresi:

Ax + By + Cz + D=0 di mana D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Ungkapan ini disebut persamaan umum bidang. Penting untuk diingat bahwa koefisien di depan x, y dan z membentuk koordinat vektor n¯(A; B; C) tegak lurus terhadap bidang. Itu bertepatan dengan normal dan merupakan panduan untuk pesawat. Untuk menentukan persamaan umum, tidak peduli ke mana arah vektor ini. Artinya, bidang yang dibangun di atas vektor n¯ dan -n¯ akan sama.

Gambar di atas menunjukkan sebuah bidang, sebuah vektor normal padanya, dan sebuah garis yang tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Segmen yang dipotong oleh bidang pada sumbu dan persamaan yang sesuai

Persamaan umum memungkinkan penggunaan operasi matematika sederhana untuk menentukan, dalamdi titik mana pesawat akan memotong sumbu koordinat. Penting untuk mengetahui informasi ini untuk mendapatkan gambaran tentang posisi dalam ruang pesawat, serta ketika menggambarkannya dalam gambar.

Untuk menentukan titik potong bernama, digunakan persamaan dalam segmen. Disebut demikian karena secara eksplisit mengandung nilai panjang segmen yang dipotong oleh bidang pada sumbu koordinat, jika dihitung dari titik (0; 0; 0). Mari kita dapatkan persamaan ini.

Tuliskan ekspresi umum untuk pesawat sebagai berikut:

Ax + By + Cz=-D

Bagian kiri dan kanan dapat dibagi dengan -D tanpa melanggar persamaan. Kami memiliki:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 atau

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Denominator setiap suku dengan simbol baru, kita peroleh:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C lalu

x/p + y/q + z/r=1

Ini adalah persamaan yang disebutkan di atas dalam segmen. Dari sini dapat disimpulkan bahwa nilai penyebut setiap suku menunjukkan koordinat perpotongan dengan sumbu bidang yang sesuai. Misalnya, memotong sumbu y di titik (0; q; 0). Ini mudah dipahami jika Anda memasukkan koordinat nol x dan z ke dalam persamaan.

Perhatikan bahwa jika tidak ada variabel dalam persamaan di segmen, ini berarti bahwa bidang tidak memotong sumbu yang sesuai. Misalnya, diberikan ekspresi:

x/p + y/q=1

Artinya bidang tersebut akan memotong ruas p dan q masing-masing pada sumbu x dan y, tetapi akan sejajar dengan sumbu z.

Kesimpulan tentang perilaku pesawat saattidak adanya beberapa variabel dalam persamaannya juga berlaku untuk ekspresi tipe umum, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Persamaan parametrik vektor

Ada jenis persamaan ketiga yang memungkinkan penggambaran bidang di ruang angkasa. Disebut vektor parametrik karena diberikan oleh dua vektor yang terletak pada bidang dan dua parameter yang dapat mengambil nilai bebas yang berubah-ubah. Mari kita tunjukkan bagaimana persamaan ini dapat diperoleh.

Misalkan ada beberapa vektor yang diketahui u (a₁; b₁; c₁) dan v¯(a₂; b₂; c₂). Jika tidak sejajar, maka dapat digunakan untuk menetapkan bidang tertentu dengan menetapkan awal salah satu vektor ini pada titik yang diketahui M(x₀; y₀; z_{0). Jika vektor sembarang MP¯ dapat direpresentasikan sebagai kombinasi vektor linier u¯ dan v¯, maka ini berarti bahwa titik P(x; y; z) berada pada bidang yang sama dengan u¯, v¯. Dengan demikian, kita dapat menulis persamaan:}

MP¯=u¯ + v¯

Atau menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat, kita mendapatkan:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + (a₁; b₁; c₁) + (a ₂; b₂; c₂₎

Persamaan yang disajikan adalah persamaan vektor parametrik untuk bidang. PADAruang vektor pada bidang u¯ dan v¯ disebut generator.

Selanjutnya, ketika menyelesaikan masalah, akan ditunjukkan bagaimana persamaan ini dapat direduksi menjadi bentuk umum untuk sebuah pesawat.

Sudut antar bidang dalam ruang

Secara intuitif, pesawat dalam ruang 3D bisa berpotongan atau tidak. Dalam kasus pertama, menarik untuk menemukan sudut di antara mereka. Perhitungan sudut ini lebih sulit daripada sudut antara garis, karena kita berbicara tentang objek geometris dihedral. Namun, vektor pemandu yang telah disebutkan untuk pesawat datang untuk menyelamatkan.

Secara geometris ditetapkan bahwa sudut dihedral antara dua bidang yang berpotongan sama persis dengan sudut antara vektor pemandunya. Mari kita nyatakan vektor-vektor ini sebagai n₁¯(a₁; b₁; c_{1) dan n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2). Kosinus sudut di antara mereka ditentukan dari produk skalar. Artinya, sudut itu sendiri dalam ruang antara bidang dapat dihitung dengan rumus:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Di sini modulus dalam penyebut digunakan untuk membuang nilai sudut tumpul (antara bidang yang berpotongan selalu kurang dari atau sama dengan 90o).

Dalam bentuk koordinat, ekspresi ini dapat ditulis ulang sebagai berikut:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Bidang tegak lurus dan sejajar

Jika bidang-bidang tersebut berpotongan dan sudut dihedral yang dibentuknya adalah 90o, maka keduanya akan tegak lurus. Contoh bidang tersebut adalah prisma persegi panjang atau kubus. Angka-angka ini dibentuk oleh enam bidang. Di setiap titik dari gambar yang disebutkan ada tiga bidang yang saling tegak lurus.

Untuk mengetahui apakah bidang-bidang yang ditinjau tegak lurus, cukup dengan menghitung perkalian skalar dari vektor-vektor normalnya. Kondisi yang cukup untuk tegak lurus dalam ruang bidang adalah nilai nol dari produk ini.

Paralel disebut bidang yang tidak berpotongan. Kadang-kadang juga dikatakan bahwa bidang-bidang paralel berpotongan di tak terhingga. Kondisi paralelisme dalam ruang bidang bertepatan dengan kondisi vektor arah n₁¯ dan n_{2¯. Anda dapat memeriksanya dengan dua cara:}

Hitung kosinus dari sudut dihedral (cos(φ)) menggunakan produk skalar. Jika bidang sejajar, maka nilainya adalah 1.

Cobalah untuk mewakili satu vektor melalui yang lain dengan mengalikan dengan beberapa angka, yaitu n₁¯=kn_{2¯. Jika ini dapat dilakukan, maka bidang-bidang yang bersesuaian adalahparalel.}

Gambar menunjukkan dua bidang sejajar.

Sekarang mari kita berikan contoh penyelesaian dua masalah menarik menggunakan pengetahuan matematika yang diperoleh.

Bagaimana cara mendapatkan bentuk umum dari persamaan vektor?

Ini adalah ekspresi vektor parametrik untuk sebuah bidang. Untuk memudahkan memahami alur operasi dan trik matematika yang digunakan, perhatikan contoh spesifik:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + (2; -1; 1) + (0; 1; 3)

Perluas ekspresi ini dan nyatakan parameter yang tidak diketahui:

x=1 + 2α;

y=2 - +;

z=+ 3β

Lalu:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Membuka tanda kurung pada ekspresi terakhir, kita mendapatkan:

z=2x-2 + 3y - 6 atau

2x + 3y - z - 8=0

Kami telah memperoleh bentuk umum persamaan untuk bidang yang ditentukan dalam pernyataan masalah dalam bentuk vektor

Bagaimana cara membuat pesawat melalui tiga titik?

Dimungkinkan untuk menggambar satu bidang melalui tiga titik jika titik-titik ini tidak termasuk dalam satu garis lurus. Algoritma untuk memecahkan masalah ini terdiri dari urutan tindakan berikut:

menemukan koordinat dua vektor dengan menghubungkan titik-titik yang diketahui berpasangan;
hitung perkalian silangnya dan dapatkan vektor normal pada bidang;
tulis persamaan umum menggunakan vektor yang ditemukan dansalah satu dari tiga poin.

Mari kita ambil contoh konkret. Poin yang diberikan: