Dilihat dari popularitas permintaan "Teorema Fermat - bukti singkat", masalah matematika ini sangat menarik bagi banyak orang. Teorema ini pertama kali dinyatakan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1637 di tepi salinan Aritmatika, di mana ia mengklaim bahwa ia memiliki solusi yang terlalu besar untuk muat di tepi.
Bukti pertama yang berhasil diterbitkan pada tahun 1995 - ini adalah bukti lengkap dari Teorema Fermat oleh Andrew Wiles. Ini telah digambarkan sebagai "kemajuan yang mengejutkan" dan membuat Wiles menerima Hadiah Abel pada tahun 2016. Meskipun dijelaskan secara relatif singkat, bukti teorema Fermat juga membuktikan banyak teorema modularitas dan membuka pendekatan baru untuk banyak masalah lain dan metode efektif untuk mengangkat modularitas. Prestasi ini telah memajukan matematika 100 tahun ke depan. Bukti teorema kecil Fermat hari ini bukanadalah sesuatu yang luar biasa.
Masalah yang belum terpecahkan mendorong perkembangan teori bilangan aljabar pada abad ke-19 dan pencarian bukti teorema modularitas pada abad ke-20. Ini adalah salah satu teorema yang paling terkenal dalam sejarah matematika, dan sampai bukti pembagian penuh dari Teorema Terakhir Fermat, itu ada di Guinness Book of Records sebagai "masalah matematika paling sulit", salah satu fiturnya adalah bahwa ia memiliki jumlah terbesar dari bukti yang gagal.
Latar belakang sejarah
Persamaan Pythagoras x2 + y2=z2 memiliki bilangan positif tak hingga solusi bilangan bulat untuk x, y dan z. Solusi ini dikenal sebagai trinitas Pythagoras. Sekitar tahun 1637, Fermat menulis di tepi buku bahwa persamaan yang lebih umum a + b =ctidak memiliki solusi dalam bilangan asli jika n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 2. Meskipun Fermat sendiri mengklaim memiliki solusi untuk masalahnya, dia tidak memberikan rincian tentang buktinya. Bukti dasar teorema Fermat, yang diklaim oleh penciptanya, lebih merupakan penemuannya yang membanggakan. Buku matematikawan besar Prancis ditemukan 30 tahun setelah kematiannya. Persamaan ini, yang disebut Teorema Terakhir Fermat, tetap tidak terpecahkan dalam matematika selama tiga setengah abad.
Teorema ini akhirnya menjadi salah satu masalah tak terpecahkan yang paling menonjol dalam matematika. Upaya untuk membuktikan ini menyebabkan perkembangan yang signifikan dari teori bilangan, dan dengan berlalunyawaktu, teorema terakhir Fermat dikenal sebagai masalah yang belum terpecahkan dalam matematika.
Sejarah Singkat Bukti
Jika n=4, sebagaimana dibuktikan oleh Fermat sendiri, cukup untuk membuktikan teorema untuk indeks n yang merupakan bilangan prima. Selama dua abad berikutnya (1637-1839) dugaan itu hanya terbukti untuk bilangan prima 3, 5 dan 7, meskipun Sophie Germain memperbarui dan membuktikan pendekatan yang diterapkan pada seluruh kelas bilangan prima. Pada pertengahan abad ke-19, Ernst Kummer memperluas ini dan membuktikan teorema untuk semua bilangan prima beraturan, di mana bilangan prima tak beraturan dianalisis satu per satu. Berdasarkan karya Kummer dan menggunakan penelitian komputer yang canggih, matematikawan lain mampu memperluas solusi teorema, dengan tujuan mencakup semua eksponen utama hingga empat juta, tetapi bukti untuk semua eksponen masih belum tersedia (artinya matematikawan biasanya dianggap solusi dari teorema tidak mungkin, sangat sulit, atau tidak dapat dicapai dengan pengetahuan saat ini).
Karya Shimura dan Taniyama
Pada tahun 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama menduga bahwa ada hubungan antara kurva eliptik dan bentuk modular, dua cabang matematika yang sangat berbeda. Dikenal pada saat itu sebagai dugaan Taniyama-Shimura-Weyl dan (pada akhirnya) sebagai teorema modularitas, itu ada dengan sendirinya, tanpa hubungan yang jelas dengan teorema terakhir Fermat. Itu sendiri secara luas dianggap sebagai teorema matematika yang penting, tetapi dianggap (seperti teorema Fermat) tidak mungkin untuk dibuktikan. Saat ituPada saat yang sama, pembuktian Teorema Terakhir Fermat (dengan membagi dan menerapkan rumus matematika yang kompleks) dilakukan hanya setengah abad kemudian.
Pada tahun 1984, Gerhard Frey melihat hubungan yang jelas antara dua masalah yang sebelumnya tidak terkait dan belum terpecahkan ini. Konfirmasi lengkap bahwa kedua teorema terkait erat diterbitkan pada tahun 1986 oleh Ken Ribet, yang didasarkan pada bukti parsial oleh Jean-Pierre Serra, yang membuktikan semua kecuali satu bagian, yang dikenal sebagai "hipotesis epsilon". Sederhananya, karya-karya Frey, Serra, dan Ribe ini menunjukkan bahwa jika teorema modularitas dapat dibuktikan, setidaknya untuk kelas kurva eliptik semistabil, maka bukti teorema terakhir Fermat cepat atau lambat akan ditemukan juga. Setiap solusi yang dapat bertentangan dengan teorema terakhir Fermat juga dapat digunakan untuk bertentangan dengan teorema modularitas. Oleh karena itu, jika teorema modularitas ternyata benar, maka secara definisi tidak mungkin ada solusi yang bertentangan dengan teorema terakhir Fermat, yang berarti harus segera dibuktikan.
Meskipun kedua teorema tersebut merupakan masalah sulit dalam matematika, dianggap tidak dapat dipecahkan, karya kedua orang Jepang tersebut adalah saran pertama tentang bagaimana teorema terakhir Fermat dapat diperluas dan dibuktikan untuk semua bilangan, bukan hanya beberapa. Penting bagi para peneliti yang memilih topik penelitian adalah kenyataan bahwa, berbeda dengan teorema terakhir Fermat, teorema modularitas adalah bidang penelitian aktif utama, yangbukti dikembangkan, dan bukan hanya keanehan sejarah, sehingga waktu yang dihabiskan untuk pekerjaannya dapat dibenarkan dari sudut pandang profesional. Namun, konsensus umum adalah bahwa memecahkan dugaan Taniyama-Shimura terbukti tidak tepat.
Teorema Terakhir Pertanian: Bukti Wiles
Setelah mengetahui bahwa Ribet telah membuktikan teori Frey benar, matematikawan Inggris Andrew Wiles, yang telah tertarik dengan Teorema Terakhir Fermat sejak kecil dan memiliki pengalaman bekerja dengan kurva eliptik dan domain yang berdekatan, memutuskan untuk mencoba membuktikan Taniyama-Shimura Dugaan sebagai cara untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat. Pada tahun 1993, enam tahun setelah mengumumkan tujuannya, saat diam-diam mengerjakan masalah pemecahan teorema, Wiles berhasil membuktikan dugaan terkait, yang pada gilirannya akan membantunya membuktikan teorema terakhir Fermat. Dokumen Wiles sangat besar dalam ukuran dan cakupan.
Sebuah cacat ditemukan di satu bagian dari makalah aslinya selama peer review dan membutuhkan satu tahun lagi kerjasama dengan Richard Taylor untuk bersama-sama memecahkan teorema. Akibatnya, bukti terakhir Wiles dari Teorema Terakhir Fermat tidak lama lagi datang. Pada tahun 1995, itu diterbitkan dalam skala yang jauh lebih kecil daripada karya matematika Wiles sebelumnya, yang menggambarkan bahwa dia tidak salah dalam kesimpulan sebelumnya tentang kemungkinan pembuktian teorema. Prestasi Wiles dipublikasikan secara luas di pers populer dan dipopulerkan dalam buku dan program televisi. Bagian yang tersisa dari dugaan Taniyama-Shimura-Weil, yang kini telah terbukti dan-dikenal sebagai teorema modularitas, kemudian dibuktikan oleh matematikawan lain yang membangun karya Wiles antara tahun 1996 dan 2001. Atas prestasinya, Wiles mendapat kehormatan dan menerima berbagai penghargaan, termasuk Penghargaan Abel 2016.
Bukti Wiles teorema terakhir Fermat adalah kasus khusus dalam memecahkan teorema modularitas untuk kurva eliptik. Namun, ini adalah kasus paling terkenal dari operasi matematika skala besar. Seiring dengan pemecahan teorema Ribe, matematikawan Inggris juga memperoleh bukti teorema terakhir Fermat. Teorema Terakhir Fermat dan Teorema Modularitas hampir secara universal dianggap tidak dapat dibuktikan oleh matematikawan modern, tetapi Andrew Wiles mampu membuktikan kepada dunia ilmiah bahwa bahkan pakar pun bisa salah.
Wyles pertama kali mengumumkan penemuannya pada hari Rabu 23 Juni 1993 di kuliah Cambridge berjudul "Bentuk Modular, Kurva Elliptik dan Representasi Galois". Namun, pada September 1993, ditemukan bahwa perhitungannya mengandung kesalahan. Setahun kemudian, pada 19 September 1994, dalam apa yang dia sebut "momen paling penting dalam kehidupan kerjanya," Wiles menemukan sebuah wahyu yang memungkinkan dia untuk memperbaiki solusi untuk masalah ke titik di mana itu dapat memenuhi matematika komunitas.
Deskripsi pekerjaan
Pembuktian Teorema Fermat oleh Andrew Wiles menggunakan banyak metode dari geometri aljabar dan teori bilangan dan memiliki banyak percabangan dalam metode inibidang matematika. Dia juga menggunakan konstruksi standar geometri aljabar modern, seperti kategori skema dan teori Iwasawa, serta metode lain dari abad ke-20 yang tidak tersedia bagi Pierre de Fermat.
Dua artikel berisi bukti sepanjang 129 halaman dan ditulis selama tujuh tahun. John Coates menggambarkan penemuan ini sebagai salah satu pencapaian terbesar teori bilangan, dan John Conway menyebutnya sebagai pencapaian matematika utama abad ke-20. Wiles, untuk membuktikan teorema terakhir Fermat dengan membuktikan teorema modularitas untuk kasus khusus kurva elips semistabil, mengembangkan metode yang kuat untuk mengangkat modularitas dan membuka pendekatan baru untuk banyak masalah lain. Untuk memecahkan teorema terakhir Fermat, ia dianugerahi gelar kebangsawanan dan menerima penghargaan lainnya. Ketika diketahui bahwa Wiles telah memenangkan Hadiah Abel, Akademi Ilmu Pengetahuan Norwegia menggambarkan pencapaiannya sebagai "bukti yang menyenangkan dan mendasar dari teorema terakhir Fermat."
Bagaimana keadaannya
Salah satu orang yang meninjau naskah asli Wiles dengan solusi teorema adalah Nick Katz. Dalam tinjauannya, ia mengajukan sejumlah pertanyaan klarifikasi kepada warga Inggris itu yang membuat Wiles mengakui bahwa karyanya jelas mengandung celah. Di satu bagian penting dari pembuktian, kesalahan dibuat yang memberikan perkiraan untuk urutan kelompok tertentu: sistem Euler yang digunakan untuk memperluas metode Kolyvagin dan Flach tidak lengkap. Namun, kesalahan itu tidak membuat karyanya menjadi sia-sia - setiap karya Wiles sangat signifikan dan inovatif dalam dirinya sendiri, seperti juga banyak karya lainnya.perkembangan dan metode yang ia ciptakan dalam perjalanan karyanya dan yang mempengaruhi hanya satu bagian dari naskah. Namun, karya asli ini, yang diterbitkan pada tahun 1993, tidak benar-benar memiliki bukti Teorema Terakhir Fermat.
Wyles menghabiskan hampir satu tahun mencoba untuk menemukan kembali solusi teorema, pertama sendirian dan kemudian bekerja sama dengan mantan muridnya Richard Taylor, tetapi semua tampaknya sia-sia. Pada akhir tahun 1993, desas-desus beredar bahwa bukti Wiles telah gagal dalam pengujian, tetapi seberapa serius kegagalan itu tidak diketahui. Para matematikawan mulai menekan Wiles untuk mengungkapkan detail pekerjaannya, apakah sudah selesai atau belum, sehingga komunitas matematikawan yang lebih luas dapat mengeksplorasi dan menggunakan apa pun yang bisa ia capai. Alih-alih dengan cepat memperbaiki kesalahannya, Wiles hanya menemukan aspek sulit tambahan dalam pembuktian Teorema Terakhir Fermat, dan akhirnya menyadari betapa sulitnya itu.
Wyles menyatakan bahwa pada pagi hari tanggal 19 September 1994, dia hampir menyerah dan menyerah, dan hampir menyerah untuk gagal. Dia siap untuk menerbitkan karyanya yang belum selesai sehingga orang lain dapat membangun di atasnya dan menemukan di mana dia salah. Matematikawan Inggris memutuskan untuk memberi dirinya satu kesempatan terakhir dan menganalisis teorema untuk terakhir kalinya untuk mencoba memahami alasan utama mengapa pendekatannya tidak berhasil, ketika dia tiba-tiba menyadari bahwa pendekatan Kolyvagin-Flac tidak akan berhasil sampai diajuga akan memasukkan teori Iwasawa dalam proses pembuktian, membuatnya bekerja.
Pada 6 Oktober, Wiles meminta tiga rekannya (termasuk F altins) untuk meninjau karya barunya, dan pada 24 Oktober 1994, ia menyerahkan dua manuskrip - "Kurva eliptik Modular dan teorema terakhir Fermat" dan "Sifat teoretis dari ring dari beberapa aljabar Hecke", yang kedua ditulis bersama Wiles dengan Taylor dan membuktikan bahwa kondisi tertentu terpenuhi untuk membenarkan langkah yang diperbaiki dalam artikel utama.
Kedua makalah ini ditinjau dan akhirnya diterbitkan sebagai edisi teks lengkap dalam Annals of Mathematics Mei 1995. Perhitungan baru Andrew dianalisis secara luas dan akhirnya diterima oleh komunitas ilmiah. Dalam makalah ini, teorema modularitas untuk kurva eliptik semistabil ditetapkan - langkah terakhir menuju pembuktian Teorema Terakhir Fermat, 358 tahun setelah dibuat.
Sejarah Masalah Besar
Memecahkan teorema ini telah dianggap sebagai masalah terbesar dalam matematika selama berabad-abad. Pada tahun 1816 dan pada tahun 1850 Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis menawarkan hadiah untuk bukti umum Teorema Terakhir Fermat. Pada tahun 1857, Akademi memberikan 3.000 franc dan medali emas kepada Kummer untuk penelitiannya tentang angka ideal, meskipun ia tidak mengajukan permohonan untuk hadiah tersebut. Hadiah lain ditawarkan kepadanya pada tahun 1883 oleh Akademi Brussel.
Hadiah Serigala
Pada tahun 1908, industrialis Jerman dan matematikawan amatir Paul Wolfskel mewariskan 100.000 tanda emas (jumlah yang besar untuk waktu itu)Academy of Sciences of Göttingen, sehingga uang ini menjadi hadiah untuk bukti lengkap teorema terakhir Fermat. Pada tanggal 27 Juni 1908, Akademi menerbitkan sembilan aturan penghargaan. Antara lain, aturan ini mengharuskan bukti untuk diterbitkan dalam jurnal peer-review. Hadiah itu akan diberikan hanya dua tahun setelah publikasi. Kompetisi ini akan berakhir pada 13 September 2007 - sekitar satu abad setelah dimulai. Pada 27 Juni 1997, Wiles menerima hadiah uang Wolfschel dan kemudian $50.000 lagi. Pada bulan Maret 2016, ia menerima €600.000 dari pemerintah Norwegia sebagai bagian dari Hadiah Abel untuk "bukti yang luar biasa dari teorema terakhir Fermat dengan bantuan dugaan modularitas untuk kurva elips semistabil, membuka era baru dalam teori bilangan." Itu adalah kemenangan dunia dari orang Inggris yang rendah hati.
Sebelum pembuktian Wiles, teorema Fermat, seperti yang disebutkan sebelumnya, dianggap mutlak tak terpecahkan selama berabad-abad. Ribuan bukti yang salah pada berbagai waktu dipresentasikan kepada komite Wolfskell, yang besarnya sekitar 10 kaki (3 meter) korespondensi. Hanya pada tahun pertama keberadaan hadiah (1907-1908) 621 aplikasi diajukan mengklaim untuk memecahkan teorema, meskipun pada 1970-an jumlahnya telah menurun menjadi sekitar 3-4 aplikasi per bulan. Menurut F. Schlichting, peninjau Wolfschel, sebagian besar bukti didasarkan pada metode dasar yang diajarkan di sekolah dan sering ditampilkan sebagai "orang dengan latar belakang teknis tetapi karier yang gagal". Menurut sejarawan matematika Howard Aves, yang terakhirTeorema Fermat telah membuat semacam rekor - ini adalah teorema dengan jumlah bukti salah terbesar.
Kemenangan pertanian jatuh ke tangan Jepang
Seperti yang disebutkan sebelumnya, sekitar tahun 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama menemukan kemungkinan hubungan antara dua cabang matematika yang tampaknya sangat berbeda - kurva eliptik dan bentuk modular. Teorema modularitas yang dihasilkan (kemudian dikenal sebagai dugaan Taniyama-Shimura) menyatakan bahwa setiap kurva eliptik adalah modular, artinya dapat dikaitkan dengan bentuk modular yang unik.
Teori ini awalnya dianggap tidak mungkin atau sangat spekulatif, tetapi dianggap lebih serius ketika ahli teori bilangan André Weil menemukan bukti untuk mendukung kesimpulan Jepang. Akibatnya, hipotesis sering disebut sebagai hipotesis Taniyama-Shimura-Weil. Dia menjadi bagian dari program Langlands, yang merupakan daftar hipotesis penting yang perlu dibuktikan di masa depan.
Bahkan setelah pemeriksaan yang serius, dugaan telah diakui oleh matematikawan modern sebagai sangat sulit, atau mungkin tidak dapat diakses untuk pembuktian. Sekarang teorema khusus ini sedang menunggu Andrew Wiles, yang dapat mengejutkan seluruh dunia dengan solusinya.
Teorema Fermat: Bukti Perelman
Meskipun mitos populer, matematikawan Rusia Grigory Perelman, untuk semua kejeniusannya, tidak ada hubungannya dengan teorema Fermat. Yang, bagaimanapun, sama sekali tidak menguranginya.banyak kontribusi untuk komunitas ilmiah.
