Matriks dan determinan ditemukan pada abad kedelapan belas dan kesembilan belas. Awalnya, perkembangannya berkaitan dengan transformasi objek geometris dan solusi sistem persamaan linier. Secara historis, penekanan awal adalah pada determinan. Dalam metode pemrosesan aljabar linier modern, matriks dipertimbangkan terlebih dahulu. Pertanyaan ini perlu direnungkan sejenak.
Jawaban dari bidang pengetahuan ini
Matriks menyediakan cara yang berguna secara teoritis dan praktis untuk menyelesaikan banyak masalah, seperti:
- sistem persamaan linear;
- keseimbangan zat padat (dalam fisika);
- teori graf;
- Model ekonomi Leontief;
- kehutanan;
- grafik komputer dan tomografi;
- genetik;
- kriptografi;
- jaringan listrik;
- fraktal.
Faktanya, aljabar matriks untuk "boneka" memiliki definisi yang disederhanakan. Ini dinyatakan sebagai berikut: ini adalah bidang pengetahuan ilmiah di mana:nilai-nilai yang bersangkutan dipelajari, dianalisis dan dieksplorasi sepenuhnya. Pada bagian aljabar ini, berbagai operasi pada matriks yang dipelajari dipelajari.
Cara bekerja dengan matriks
Nilai-nilai ini dianggap sama jika mereka memiliki dimensi yang sama dan setiap elemen dari satu elemen sama dengan elemen lain yang bersesuaian. Dimungkinkan untuk mengalikan matriks dengan konstanta apa pun. Pemberian ini disebut perkalian skalar. Contoh: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matriks dengan ukuran yang sama dapat ditambahkan dan dikurangi dengan input, dan nilai ukuran yang kompatibel dapat dikalikan. Contoh: tambahkan dua A dan B: A=[21−10]B=[1423]. Hal ini dimungkinkan karena A dan B keduanya matriks dengan dua baris dan jumlah kolom yang sama. Penting untuk menambahkan setiap elemen di A ke elemen yang sesuai di B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matriks dikurangkan dengan cara yang sama dalam aljabar.
Perkalian matriks bekerja sedikit berbeda. Selain itu, mungkin ada banyak kasus dan opsi, serta solusi. Jika kita mengalikan matriks Apq dan Bmn, maka hasil kali Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Entri pada baris ke-g dan kolom ke-h dari AB adalah jumlah perkalian dari entri-entri yang bersesuaian pada g A dan h B. Dua matriks hanya mungkin dikalikan jika banyak kolom pada matriks pertama dan baris kedua adalah sama. Contoh: memenuhi kondisi untuk pertimbangan A dan B: A=[1−130]B=[2−11214]. Hal ini dimungkinkan karena matriks pertama berisi 2 kolom dan matriks kedua berisi 2 baris. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Informasi dasar tentang matriks
Nilai yang dimaksud mengatur informasi seperti variabel dan konstanta dan menyimpannya dalam baris dan kolom, biasanya disebut C. Setiap posisi dalam matriks disebut elemen. Contoh: C=[1234]. Terdiri dari dua baris dan dua kolom. Elemen 4 ada pada baris 2 dan kolom 2. Biasanya matriks dapat diberi nama berdasarkan dimensinya, matriks yang bernama Cmk memiliki m baris dan k kolom.
Matriks diperluas
Pertimbangan adalah hal yang sangat berguna yang muncul di banyak area aplikasi yang berbeda. Matriks awalnya didasarkan pada sistem persamaan linier. Mengingat struktur pertidaksamaan berikut, matriks yang dilengkapi berikut perlu diperhitungkan:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Tuliskan koefisien dan nilai jawaban, termasuk semua tanda minus. Jika elemen dengan angka negatif, maka itu akan sama dengan "1". Artinya, dengan sistem persamaan (linier), dimungkinkan untuk mengaitkan matriks (kisi-kisi angka di dalam tanda kurung) dengannya. Ini adalah salah satu yang hanya berisi koefisien dari sistem linier. Ini disebut "matriks diperluas". Kisi-kisi yang berisi koefisien dari sisi kiri setiap persamaan telah "diisi" dengan jawaban dari sisi kanan setiap persamaan.
Rekor, yaitunilai B matriks sesuai dengan nilai x-, y-, dan z dalam sistem aslinya. Jika sudah diatur dengan benar, maka pertama-tama periksa. Terkadang Anda perlu mengatur ulang istilah atau memasukkan angka nol sebagai placeholder dalam matriks yang sedang dipelajari atau dipelajari.
Mengingat sistem persamaan berikut, kita dapat segera menulis matriks augmented terkait:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Pertama, pastikan untuk mengatur ulang sistem sebagai:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Maka matriks terkait dapat ditulis sebagai: [11000113-1012]. Saat membentuk yang diperpanjang, itu layak menggunakan nol untuk setiap catatan di mana tempat yang sesuai dalam sistem persamaan linier kosong.
Aljabar Matriks: Sifat Operasi
Jika perlu membentuk elemen hanya dari nilai koefisien, maka nilai yang dipertimbangkan akan terlihat seperti ini: [110011-101]. Ini disebut "matriks koefisien".
Dengan memperhatikan aljabar matriks diperluas berikut, perlu untuk memperbaikinya dan menambahkan sistem linier terkait. Karena itu, penting untuk diingat bahwa mereka membutuhkan variabel untuk diatur dengan baik dan rapi. Dan biasanya ketika ada tiga variabel, gunakan x, y dan z dalam urutan itu. Oleh karena itu, sistem linier terkait harus:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Ukuran matriks
Item yang dipermasalahkan sering dirujuk oleh kinerjanya. Ukuran matriks dalam aljabar diberikan sebagaipengukuran, karena ruangan dapat disebut berbeda. Ukuran nilai yang diukur adalah baris dan kolom, bukan lebar dan panjang. Misalnya, matriks A:
[1234]
[2345]
[3456].
Karena A memiliki tiga baris dan empat kolom, ukuran A adalah 3 × 4.
→
↓
Garis menyamping. Kolom naik dan turun. "Baris" dan "kolom" adalah spesifikasi dan tidak dapat dipertukarkan. Ukuran matriks selalu ditentukan dengan jumlah baris dan kemudian jumlah kolom. Mengikuti konvensi ini, berikut B:
[123]
[234] adalah 2 × 3. Jika suatu matriks memiliki jumlah baris yang sama dengan kolom, maka matriks tersebut disebut "persegi". Misalnya nilai koefisien dari atas:
[110]
[011]
[-101] adalah matriks bujur sangkar 3×3.
Notasi dan pemformatan matriks
Pemformatan catatan: Misalnya, ketika Anda perlu menulis matriks, penting untuk menggunakan tanda kurung . Bilah nilai absolut || tidak digunakan karena memiliki arah yang berbeda dalam konteks ini. Tanda kurung atau kurung kurawal {} tidak pernah digunakan. Atau simbol pengelompokan lainnya, atau tidak ada sama sekali, karena presentasi ini tidak memiliki arti apa pun. Dalam aljabar, matriks selalu berada di dalam tanda kurung siku. Hanya notasi yang benar yang harus digunakan, atau tanggapan dapat dianggap kacau.
Seperti yang disebutkan sebelumnya, nilai-nilai yang terkandung dalam matriks disebut catatan. Untuk alasan apa pun, elemen yang dimaksud biasanya ditulishuruf kapital, seperti A atau B, dan entri ditentukan menggunakan huruf kecil yang sesuai, tetapi dengan subskrip. Dalam matriks A, nilai biasanya disebut "ai, j", di mana i adalah baris dari A dan j adalah kolom dari A. Misalnya, a3, 2=8. Entri untuk a1, 3 adalah 3.
Untuk matriks yang lebih kecil, yang memiliki kurang dari sepuluh baris dan kolom, koma subskrip terkadang dihilangkan. Misalnya, "a1, 3=3" dapat ditulis sebagai "a13=3". Jelas ini tidak akan bekerja untuk matriks besar karena a213 tidak jelas.
Tipe matriks
Terkadang diklasifikasikan menurut konfigurasi rekamannya. Misalnya, matriks yang memiliki semua entri nol di bawah "diagonal" diagonal atas-kiri-kanan-kanan disebut segitiga atas. Antara lain, mungkin ada jenis dan jenis lain, tetapi tidak terlalu berguna. Umumnya, sebagian besar dianggap sebagai segitiga atas. Nilai dengan eksponen bukan nol hanya secara horizontal disebut nilai diagonal. Jenis serupa memiliki entri bukan nol di mana semuanya adalah 1, jawaban seperti itu disebut identik (untuk alasan yang akan menjadi jelas ketika dipelajari dan dipahami bagaimana mengalikan nilai yang dimaksud). Ada banyak indikator penelitian serupa. Identitas 3 × 3 dilambangkan dengan I3. Demikian pula, identitas 4 × 4 adalah I4.
Aljabar Matriks dan Ruang Linier
Perhatikan bahwa matriks segitiga adalah persegi. Tapi diagonalnya segitiga. Mengingat hal ini, mereka adalahkotak. Dan identitas dianggap diagonal dan, oleh karena itu, segitiga dan persegi. Ketika diperlukan untuk menggambarkan suatu matriks, biasanya seseorang hanya menentukan klasifikasinya sendiri yang paling spesifik, karena ini menyiratkan semua yang lain. Klasifikasikan opsi penelitian berikut:sebagai 3 × 4. Dalam hal ini, mereka tidak persegi. Oleh karena itu, nilai-nilai tidak bisa menjadi apa-apa lagi. Klasifikasi berikut:dimungkinkan sebagai 3 × 3. Tetapi itu dianggap persegi, dan tidak ada yang istimewa tentangnya. Klasifikasi data berikut:sebagai segitiga atas 3 × 3, tetapi tidak diagonal. Benar, dalam nilai yang dipertimbangkan mungkin ada nol tambahan pada atau di atas ruang yang terletak dan ditunjukkan. Klasifikasi yang diteliti lebih lanjut: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], di mana itu direpresentasikan sebagai diagonal dan, apalagi, entrinya semuanya 1. Maka ini adalah identitas 3 × 3, I3.
Karena matriks analog menurut definisi persegi, Anda hanya perlu menggunakan indeks tunggal untuk menemukan dimensinya. Agar dua matriks sama, mereka harus memiliki parameter yang sama dan memiliki entri yang sama di tempat yang sama. Misalnya, ada dua elemen yang dipertimbangkan: A=[1 3 0] [-2 0 0] dan B=[1 3] [-2 0]. Nilai-nilai ini tidak boleh sama karena ukurannya berbeda.
Bahkan jika A dan B adalah: A=[3 6] [2 5] [1 4] dan B=[1 2 3] [4 5 6] - mereka masih tidak sama hal yang sama. A dan B masing-masing memilikienam entri dan juga memiliki nomor yang sama, tetapi ini tidak cukup untuk matriks. A adalah 3 × 2. Dan B adalah matriks 2 × 3. A untuk 3 × 2 bukan 2 × 3. Tidak masalah jika A dan B memiliki jumlah data yang sama atau bahkan nomor yang sama dengan catatan. Jika A dan B tidak sama ukuran dan bentuknya, tetapi memiliki nilai yang sama di tempat yang sama, mereka tidak sama.
Operasi serupa di area yang dipertimbangkan
Properti kesetaraan matriks ini dapat diubah menjadi tugas untuk penelitian independen. Misalnya, dua matriks diberikan, dan itu ditunjukkan bahwa mereka sama. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan persamaan ini untuk menjelajahi dan mendapatkan jawaban untuk nilai variabel.
Contoh dan solusi matriks dalam aljabar dapat bervariasi, terutama dalam hal persamaan. Mengingat bahwa matriks berikut dipertimbangkan, perlu untuk menemukan nilai x dan y. Agar A dan B sama, mereka harus memiliki ukuran dan bentuk yang sama. Faktanya, mereka seperti itu, karena masing-masing matriks adalah 2 × 2. Dan mereka harus memiliki nilai yang sama di tempat yang sama. Maka a1, 1 harus sama dengan b1, 1, a1, 2 harus sama dengan b1, 2, dan seterusnya. Tapi, a1, 1=1 jelas tidak sama dengan b1, 1=x. Agar A identik dengan B, entri harus memiliki a1, 1=b1, 1, sehingga dapat menjadi 1=x. Demikian pula indeks a2, 2=b2, 2, jadi 4=y. Maka solusinya adalah: x=1, y=4. Diketahui bahwamatriks sama, Anda perlu menemukan nilai x, y dan z. Untuk memiliki A=B, koefisien harus memiliki semua entri yang sama. Yaitu, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 dan seterusnya. Secara khusus, harus:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Seperti yang Anda lihat dari matriks yang dipilih: dengan 1, 1-, 2, 2- dan 3, 1-elemen. Memecahkan ketiga persamaan ini, kita mendapatkan jawabannya: x=4, y=-6 dan z=9. Aljabar matriks dan operasi matriks berbeda dari yang biasa dilakukan semua orang, tetapi tidak dapat direproduksi.
Informasi tambahan di area ini
Aljabar matriks linier adalah studi tentang himpunan persamaan yang serupa dan sifat transformasinya. Bidang pengetahuan ini memungkinkan Anda untuk menganalisis rotasi dalam ruang, memperkirakan kuadrat terkecil, memecahkan persamaan diferensial terkait, menentukan lingkaran yang melewati tiga titik yang diberikan, dan memecahkan banyak masalah lain dalam matematika, fisika, dan teknologi. Aljabar linier suatu matriks sebenarnya bukan pengertian teknis dari kata yang digunakan, yaitu ruang vektor v di atas bidang f, dll.
Matriks dan determinan adalah alat aljabar linier yang sangat berguna. Salah satu tugas utama adalah solusi dari persamaan matriks Ax=b, untuk x. Meskipun ini secara teoritis dapat diselesaikan dengan menggunakan invers x=A-1 b. Metode lain, seperti eliminasi Gauss, secara numerik lebih dapat diandalkan.
Selain digunakan untuk menggambarkan studi tentang himpunan persamaan linier, yang ditentukanistilah di atas juga digunakan untuk menggambarkan jenis aljabar tertentu. Secara khusus, L di atas bidang F memiliki struktur cincin dengan semua aksioma biasa untuk penjumlahan dan perkalian internal, bersama dengan hukum distributif. Oleh karena itu, ia memberikan lebih banyak struktur daripada cincin. Aljabar matriks linier juga mengakui operasi luar perkalian dengan skalar yang merupakan elemen dari bidang dasar F. Misalnya, himpunan semua transformasi yang dipertimbangkan dari ruang vektor V ke dirinya sendiri di atas bidang F dibentuk di atas F. Contoh lain dari linear aljabar adalah himpunan semua matriks persegi nyata di atas bidang R bilangan real.
