Memecahkan persamaan dalam matematika memiliki tempat khusus. Proses ini didahului oleh berjam-jam mempelajari teori, di mana siswa belajar bagaimana memecahkan persamaan, menentukan bentuknya dan membawa keterampilan ke otomatisme penuh. Namun, pencarian akar tidak selalu masuk akal, karena mungkin saja tidak ada. Ada metode khusus untuk menemukan akar. Dalam artikel ini, kami akan menganalisis fungsi utama, cakupannya, serta kasus di mana akarnya tidak ada.
Persamaan mana yang tidak memiliki akar?
Persamaan tidak memiliki akar jika tidak ada argumen nyata x yang persamaannya benar secara identik. Untuk non-spesialis, formulasi ini, seperti kebanyakan teorema dan rumus matematika, terlihat sangat kabur dan abstrak, tetapi ini dalam teori. Dalam praktiknya, semuanya menjadi sangat sederhana. Misalnya: persamaan 0x=-53 tidak memiliki solusi, karena tidak ada bilangan x, hasil kali dengan nol akan menghasilkan sesuatu selain nol.
Sekarang kita akan melihat jenis persamaan yang paling dasar.
1. Persamaan linier
Suatu persamaan disebut linier jika bagian kanan dan kirinya dinyatakan sebagai fungsi linier: ax + b=cx + d atau dalam bentuk umum kx + b=0. Dimana a, b, c, d diketahui bilangan, dan x adalah besaran yang tidak diketahui. Persamaan manakah yang tidak memiliki akar? Contoh persamaan linier ditunjukkan pada ilustrasi di bawah ini.
Pada dasarnya, persamaan linear diselesaikan hanya dengan memindahkan bagian bilangan ke satu bagian dan isi x ke bagian lainnya. Ternyata persamaan bentuk mx \u003d n, di mana m dan n adalah angka, dan x tidak diketahui. Untuk menemukan x, cukup membagi kedua bagian dengan m. Maka x=n/m. Pada dasarnya, persamaan linier hanya memiliki satu akar, tetapi ada kasus ketika ada banyak akar yang tak terhingga atau tidak ada sama sekali. Dengan m=0 dan n=0, persamaan mengambil bentuk 0x=0. Benar-benar bilangan apa pun akan menjadi solusi untuk persamaan tersebut.
Tapi persamaan apa yang tidak memiliki akar?
Ketika m=0 dan n=0, persamaan tidak memiliki akar dari himpunan bilangan real. 0x=-1; 0x=200 - persamaan ini tidak memiliki akar.
2. Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk ax2 + bx + c=0 untuk a=0. Cara paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan menyelesaikannya melalui diskriminan. Rumus untuk mencari diskriminan persamaan kuadrat: D=b2 - 4ac. Maka ada dua akar x1, 2=(-b ± D) / 2a.
Ketika D > 0 persamaan memiliki dua akar, ketika D=0 - satu akar. Tapi persamaan kuadrat apa yang tidak memiliki akar?Cara termudah untuk mengamati jumlah akar persamaan kuadrat adalah pada grafik fungsi, yang merupakan parabola. Pada > 0 cabang diarahkan ke atas, pada < 0 cabang diturunkan ke bawah. Jika diskriminan negatif, persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar dalam himpunan bilangan real.
Anda juga dapat menentukan jumlah akar secara visual tanpa menghitung diskriminan. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan bagian atas parabola dan menentukan ke arah mana cabang-cabang itu diarahkan. Anda dapat menentukan koordinat x dari sebuah simpul menggunakan rumus: x0 =-b / 2a. Dalam hal ini, koordinat y dari simpul ditemukan hanya dengan mensubstitusi nilai x0 ke dalam persamaan asli.
Persamaan kuadrat x2 – 8x + 72=0 tidak memiliki akar karena memiliki diskriminan negatif D=(–8)2 - 4172=-224. Ini berarti parabola tidak menyentuh sumbu x dan fungsinya tidak pernah bernilai 0, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar real.
3. Persamaan trigonometri
Fungsi trigonometri dianggap pada lingkaran trigonometri, tetapi juga dapat direpresentasikan dalam sistem koordinat Kartesius. Pada artikel ini, kita akan melihat dua fungsi trigonometri dasar dan persamaannya: sinx dan cosx. Karena fungsi-fungsi ini membentuk lingkaran trigonometri dengan jari-jari 1, |sinx| dan |cosx| tidak bisa lebih besar dari 1. Jadi persamaan sinx mana yang tidak memiliki akar? Perhatikan grafik fungsi sinx yang disajikan pada gambardi bawah.
Kita melihat bahwa fungsinya simetris dan memiliki periode pengulangan 2pi. Berdasarkan ini, kita dapat mengatakan bahwa nilai maksimum dari fungsi ini adalah 1, dan minimum -1. Misalnya, ekspresi cosx=5 tidak akan memiliki akar, karena modulonya lebih besar dari satu.
Ini adalah contoh paling sederhana dari persamaan trigonometri. Faktanya, solusi mereka dapat memakan banyak halaman, di mana Anda menyadari bahwa Anda menggunakan formula yang salah dan Anda harus memulai dari awal lagi. Kadang-kadang, bahkan dengan pencarian akar yang benar, Anda dapat lupa untuk memperhitungkan batasan pada ODZ, itulah sebabnya akar atau interval tambahan muncul dalam jawaban, dan seluruh jawaban berubah menjadi jawaban yang salah. Oleh karena itu, ikuti semua batasan dengan ketat, karena tidak semua root cocok dengan lingkup tugas.
4. Sistem Persamaan
Sistem persamaan adalah himpunan persamaan yang digabungkan dengan kurung kurawal atau kurung siku. Kurung kurawal menunjukkan eksekusi bersama dari semua persamaan. Artinya, jika setidaknya salah satu persamaan tidak memiliki akar atau bertentangan dengan yang lain, seluruh sistem tidak memiliki solusi. Tanda kurung siku menunjukkan kata "atau". Ini berarti bahwa jika setidaknya salah satu persamaan sistem memiliki solusi, maka seluruh sistem memiliki solusi.
Jawaban sistem dengan tanda kurung siku adalah totalitas semua akar persamaan individu. Dan sistem dengan kurung kurawal hanya memiliki akar yang sama. Sistem persamaan dapat mencakup fungsi yang sangat beragam, jadi kompleksitas ini tidakmemungkinkan Anda untuk segera mengetahui persamaan mana yang tidak memiliki akar.
Generalisasi dan tips mencari akar persamaan
Dalam buku soal dan buku teks ada berbagai jenis persamaan: persamaan yang memiliki akar, dan persamaan yang tidak memilikinya. Pertama-tama, jika Anda tidak dapat menemukan akar, jangan berpikir bahwa akar itu tidak ada sama sekali. Anda mungkin telah membuat kesalahan di suatu tempat, maka periksa kembali solusi Anda.
Kami telah membahas persamaan paling dasar dan jenisnya. Sekarang Anda dapat mengetahui persamaan mana yang tidak memiliki akar. Dalam kebanyakan kasus, ini sama sekali tidak sulit untuk dilakukan. Untuk mencapai keberhasilan dalam memecahkan persamaan, hanya diperlukan perhatian dan konsentrasi. Berlatih lebih banyak, ini akan membantu Anda menavigasi materi dengan lebih baik dan lebih cepat.
Jadi, persamaan tidak memiliki akar jika:
- dalam persamaan linier mx=n nilai m=0 dan n=0;
- dalam persamaan kuadrat jika diskriminan kurang dari nol;
- dalam persamaan trigonometri berbentuk cosx=m / sinx=n, jika |m| > 0, |n| > 0;
- dalam sistem persamaan dengan kurung kurawal jika setidaknya satu persamaan tidak memiliki akar, dan dengan kurung siku jika semua persamaan tidak memiliki akar.
