Untuk memudahkan pembaca membayangkan apa itu hiperboloid - objek tiga dimensi - Anda harus terlebih dahulu mempertimbangkan hiperbola melengkung dengan nama yang sama, yang sesuai dengan ruang dua dimensi.
Sebuah hiperbola memiliki dua sumbu: sumbu nyata, yang pada gambar ini berimpit dengan sumbu absis, dan sumbu imajiner, dengan sumbu y. Jika Anda secara mental mulai mengubah persamaan hiperbola di sekitar sumbu imajinernya, maka permukaan yang "terlihat" oleh kurva akan menjadi hiperboloid berlembar tunggal.
Namun, jika kita mulai memutar hiperbola di sekitar sumbu realnya dengan cara ini, maka masing-masing dari dua "bagian" kurva akan membentuk permukaannya sendiri yang terpisah, dan bersama-sama akan disebut dua- hiperboloid berlapis.
Diperoleh dengan memutar kurva bidang yang sesuai, masing-masing disebut hiperboloid rotasi. Mereka memiliki parameter di semua arah tegak lurus terhadap sumbu rotasi,termasuk dalam kurva yang diputar. Secara umum, tidak demikian.
Persamaan hiperboloid
Secara umum, sebuah permukaan dapat didefinisikan dengan persamaan berikut dalam koordinat Cartesian (x, y, z):
Dalam kasus revolusi hiperboloid, simetrinya terhadap sumbu yang mengelilinginya dinyatakan dalam persamaan koefisien a=b.
Karakteristik hiperboloid
Dia punya trik. Kita tahu bahwa kurva pada bidang memiliki fokus - dalam kasus hiperbola, misalnya, modul perbedaan jarak dari titik sembarang pada hiperbola ke satu fokus dan yang kedua adalah konstan menurut definisi, pada kenyataannya, fokus poin.
Saat berpindah ke ruang tiga dimensi, definisinya praktis tidak berubah: fokus lagi-lagi adalah dua titik, dan perbedaan jarak dari titik tersebut ke titik sembarang milik permukaan hiperboloid adalah konstan. Seperti yang Anda lihat, hanya koordinat ketiga yang muncul dari perubahan untuk semua titik yang mungkin, karena sekarang mereka diatur dalam ruang. Secara umum, mendefinisikan fokus sama dengan mengidentifikasi jenis kurva atau permukaan: dengan berbicara tentang bagaimana titik-titik permukaan terletak relatif terhadap fokus, kita sebenarnya menjawab pertanyaan tentang apa itu hiperboloid dan bagaimana tampilannya.
Perlu diingat bahwa hiperbola memiliki asimtot - garis lurus, yang cabang-cabangnya cenderung tak terhingga. Jika, ketika membangun hiperboloid revolusi, seseorang secara mental memutar asimtot bersama dengan hiperbola, maka selain hiperboloid, ia juga akan mendapatkan kerucut yang disebut asimtotik. Kerucut asimtotik adalahuntuk hiperboloid berlembar satu dan dua.
Karakteristik penting lainnya yang hanya dimiliki oleh hiperboloid berlembar satu adalah generator bujursangkar. Seperti namanya, ini adalah garis, dan mereka terletak sepenuhnya pada permukaan tertentu. Dua generator bujursangkar melewati setiap titik hiperboloid berlembar satu. Mereka masing-masing milik dua keluarga garis, yang dijelaskan oleh sistem persamaan berikut:
Dengan demikian, hiperboloid satu-lembar dapat seluruhnya terdiri dari garis lurus dua keluarga dalam jumlah tak terbatas, dan setiap garis dari salah satu dari mereka akan berpotongan dengan semua garis lainnya. Permukaan yang sesuai dengan sifat-sifat tersebut disebut memerintah; mereka dapat dibangun menggunakan rotasi satu garis lurus. Definisi melalui pengaturan garis bersama (generator bujursangkar) di ruang angkasa juga dapat berfungsi sebagai penunjukan yang jelas tentang apa itu hiperboloid.
Sifat menarik dari hiperboloid
Kurva orde kedua dan permukaan revolusinya masing-masing memiliki sifat optik menarik yang terkait dengan fokus. Dalam kasus hiperboloid, ini dirumuskan sebagai berikut: jika sebuah sinar ditembakkan dari satu fokus, kemudian, setelah dipantulkan dari "dinding" terdekat, ia akan mengambil arah seolah-olah datang dari fokus kedua.
Hiperboloid dalam hidup
Kemungkinan besar, sebagian besar pembaca mulai berkenalan dengan geometri analitik dan permukaan orde dua dari novel fiksi ilmiah karya Alexei Tolstoy"Insinyur hiperboloid Garin". Namun, penulis sendiri tidak mengetahui dengan baik apa itu hiperboloid, atau mengorbankan akurasi demi seni: penemuan yang dijelaskan, dalam hal karakteristik fisik, lebih merupakan paraboloid yang mengumpulkan semua sinar dalam satu fokus (sementara sifat optik hiperboloid dikaitkan dengan hamburan sinar).
Yang disebut struktur hiperboloid sangat populer dalam arsitektur: ini adalah struktur yang berbentuk hiperboloid berlembar tunggal atau paraboloid hiperbolik. Faktanya adalah bahwa hanya permukaan revolusi orde kedua ini yang memiliki generator bujursangkar: dengan demikian, struktur melengkung hanya dapat dibangun dari balok lurus. Kelebihan struktur tersebut adalah kemampuannya menahan beban berat, misalnya dari angin: bentuk hiperboloid digunakan dalam konstruksi bangunan tinggi, misalnya menara televisi.
