Untuk memahami apa itu titik ekstrem dari suatu fungsi, sama sekali tidak perlu mengetahui keberadaan turunan pertama dan kedua serta memahami makna fisisnya. Pertama, Anda perlu memahami hal berikut:
- fungsi ekstrem memaksimalkan atau, sebaliknya, meminimalkan nilai fungsi dalam lingkungan kecil yang berubah-ubah;
- Seharusnya tidak ada pemutusan fungsi pada titik ekstrem.
Dan sekarang sama, hanya dalam bahasa sederhana. Lihatlah ujung bolpoin. Jika pena diletakkan secara vertikal, dengan tulisan berakhir, maka bagian paling tengah dari bola akan menjadi titik ekstrim – titik tertinggi. Dalam hal ini, kita berbicara tentang maksimum. Nah, jika Anda memutar pulpen dengan ujung tulisan ke bawah, maka di tengah bola sudah akan ada fungsi minimum. Dengan bantuan gambar yang diberikan di sini, Anda dapat membayangkan manipulasi yang terdaftar untuk pensil alat tulis. Jadi, ekstrem dari suatu fungsi selalu merupakan titik kritis: maksima atau minimanya. Bagian grafik yang berdekatan bisa tajam atau halus, tetapi harus ada di kedua sisi, hanya dalam hal ini titiknya adalah ekstrem. Jika grafik hanya ada di satu sisi, titik ini tidak akan menjadi ekstrem meskipun di satu sisikondisi ekstrim terpenuhi. Sekarang mari kita pelajari ekstrem fungsi dari sudut pandang ilmiah. Agar suatu titik dianggap ekstrem, perlu dan cukup bahwa:
- turunan pertama sama dengan nol atau tidak ada di titik;
- turunan pertama berubah tanda pada titik ini.
Kondisi diinterpretasikan agak berbeda dari sudut pandang turunan orde tinggi: untuk suatu fungsi yang terdiferensiasi di suatu titik, cukup ada turunan orde ganjil yang tidak sama dengan nol, sedangkan semua turunan orde bawah harus ada dan sama dengan nol. Ini adalah interpretasi paling sederhana dari teorema dari buku teks matematika yang lebih tinggi. Tetapi bagi kebanyakan orang biasa, ada baiknya menjelaskan hal ini dengan sebuah contoh. Dasarnya adalah parabola biasa. Segera lakukan reservasi, pada titik nol memiliki minimum. Hanya sedikit matematika:
- turunan pertama (X2)|=2X, untuk titik nol 2X=0;
- turunan kedua (2X)|=2, untuk titik nol 2=2.
Ini adalah ilustrasi sederhana dari kondisi yang menentukan ekstrem dari fungsi baik untuk turunan orde pertama maupun turunan orde tinggi. Kita dapat menambahkan bahwa turunan kedua hanyalah turunan yang sama dari orde ganjil, tidak sama dengan nol, yang telah dibahas sedikit lebih tinggi. Ketika datang ke ekstrem dari fungsi dua variabel, kondisi harus dipenuhi untuk kedua argumen. Kapangeneralisasi terjadi, maka turunan parsial digunakan. Artinya, perlu untuk keberadaan ekstrem pada titik di mana kedua turunan orde pertama sama dengan nol, atau setidaknya salah satunya tidak ada. Untuk kecukupan keberadaan ekstrem, ekspresi diselidiki, yang merupakan perbedaan antara produk turunan orde kedua dan kuadrat dari turunan orde kedua campuran fungsi. Jika ekspresi ini lebih besar dari nol, maka ada ekstrem, dan jika ada nol, maka pertanyaannya tetap terbuka, dan diperlukan penelitian tambahan.
