Apa itu bilangan irasional? Mengapa mereka disebut demikian? Di mana mereka digunakan dan apa itu? Hanya sedikit yang bisa menjawab pertanyaan-pertanyaan ini tanpa ragu-ragu. Tetapi sebenarnya, jawaban untuk mereka cukup sederhana, meskipun tidak semua orang membutuhkannya dan dalam situasi yang sangat jarang
Esensi dan sebutan
Bilangan irasional adalah pecahan desimal non-periodik tak terbatas. Perlunya pengenalan konsep ini disebabkan oleh kenyataan bahwa konsep bilangan real atau real, integer, natural, dan rasional yang sudah ada sebelumnya tidak lagi cukup untuk menyelesaikan masalah baru yang muncul. Misalnya, untuk menghitung kuadrat dari 2, Anda perlu menggunakan desimal tak terbatas yang tidak berulang. Selain itu, banyak persamaan paling sederhana juga tidak memiliki solusi tanpa memperkenalkan konsep bilangan irasional.
Set ini dilambangkan sebagai I. Dan, seperti yang sudah jelas, nilai-nilai ini tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana, di mana pembilangnya akan ada bilangan bulat, dan di penyebutnya - bilangan asli.
Untuk pertama kalinyajika tidak, matematikawan India menemukan fenomena ini pada abad ke-7 SM, ketika ditemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa besaran tidak dapat ditunjukkan secara eksplisit. Dan bukti pertama tentang keberadaan angka-angka tersebut dikaitkan dengan Hippasus Pythagoras, yang melakukan ini dalam proses mempelajari segitiga siku-siku sama kaki. Kontribusi serius untuk mempelajari himpunan ini dibuat oleh beberapa ilmuwan lain yang hidup sebelum zaman kita. Pengenalan konsep bilangan irasional memerlukan revisi dari sistem matematika yang ada, itulah sebabnya mereka sangat penting.
Asal usul nama
Jika rasio dalam bahasa Latin berarti "pecahan", "rasio", maka awalan "ir"
memberi arti kebalikan dari kata ini. Dengan demikian, nama himpunan angka-angka ini menunjukkan bahwa mereka tidak dapat dikorelasikan dengan bilangan bulat atau pecahan, mereka memiliki tempat yang terpisah. Ini mengikuti dari esensi mereka.
Tempatkan dalam klasifikasi keseluruhan
Bilangan irasional, bersama dengan bilangan rasional, termasuk dalam kelompok bilangan real atau real, yang pada gilirannya termasuk dalam bilangan kompleks. Tidak ada himpunan bagian, namun ada varietas aljabar dan transendental, yang akan dibahas di bawah ini.
Properti
Karena bilangan irasional adalah bagian dari himpunan bilangan real, semua propertinya yang dipelajari dalam aritmatika (juga disebut hukum aljabar dasar) berlaku untuknya.
a + b=b + a (komutatif);
(a + b) + c=a + (b + c)(asosiasi);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (adanya bilangan lawan);
ab=ba (hukum perpindahan);
(ab)c=a(bc) (distribusi);
a(b+c)=ab + ac (hukum distributif);
a x 1=a
a x 1/a=1 (adanya bilangan terbalik);
Perbandingan juga dilakukan sesuai dengan hukum dan prinsip umum:
Jika a > b dan b > c, maka a > c (rasio transitivitas) dan. dll.
Tentu saja, semua bilangan irasional dapat dikonversi menggunakan aritmatika dasar. Tidak ada aturan khusus untuk ini.
Selain itu, aksioma Archimedes berlaku untuk bilangan irasional. Dikatakan bahwa untuk dua besaran apa pun a dan b, pernyataan benar bahwa dengan mengambil a sebagai suku cukup kali, Anda dapat melampaui b.
Gunakan
Terlepas dari kenyataan bahwa dalam kehidupan biasa Anda tidak sering harus berurusan dengan mereka, bilangan irasional tidak dapat dihitung. Ada banyak dari mereka, tetapi mereka hampir tidak terlihat. Kita dikelilingi oleh bilangan irasional di mana-mana. Contoh yang akrab bagi semua orang adalah angka pi, sama dengan 3, 1415926 …, atau e, yang pada dasarnya adalah basis logaritma natural, 2, 718281828 … Dalam aljabar, trigonometri, dan geometri, mereka harus digunakan terus-menerus. Omong-omong, nilai terkenal dari "bagian emas", yaitu rasio bagian yang lebih besar ke bagian yang lebih kecil, dan sebaliknya, juga
milik set ini. "Perak" yang kurang dikenal - juga.
Mereka terletak sangat rapat pada garis bilangan, jadi di antara dua nilai apa pun yang terkait dengan himpunan rasional, pasti ada yang irasional.
Masih banyak masalah yang belum terpecahkan terkait dengan set ini. Ada kriteria seperti ukuran irasionalitas dan normalitas suatu bilangan. Matematikawan terus memeriksa contoh yang paling signifikan untuk milik mereka ke dalam satu kelompok atau yang lain. Misalnya, diyakini bahwa e adalah bilangan normal, yaitu, peluang munculnya angka yang berbeda dalam catatannya adalah sama. Adapun pi, penelitian masih berlangsung mengenai hal itu. Ukuran irasionalitas juga disebut nilai yang menunjukkan seberapa baik bilangan ini atau itu dapat didekati dengan bilangan rasional.
Aljabar dan transendental
Seperti yang telah disebutkan, bilangan irasional secara kondisional dibagi menjadi aljabar dan transendental. Secara kondisional, karena sebenarnya klasifikasi ini digunakan untuk membagi himpunan C.
Penunjukan ini menyembunyikan bilangan kompleks, yang mencakup bilangan real atau real.
Jadi, nilai aljabar adalah nilai yang merupakan akar dari polinomial yang tidak identik sama dengan nol. Misalnya, akar kuadrat dari 2 termasuk dalam kategori ini karena merupakan solusi dari persamaan x2 - 2=0.
Semua bilangan real lain yang tidak memenuhi kondisi ini disebut transendental. Untuk varietas inisertakan contoh yang paling terkenal dan telah disebutkan - bilangan pi dan basis logaritma natural e.
Menariknya, tidak satu pun atau yang kedua awalnya disimpulkan oleh matematikawan dalam kapasitas ini, irasionalitas dan transendensi mereka terbukti bertahun-tahun setelah penemuan mereka. Untuk pi, pembuktian diberikan pada tahun 1882 dan disederhanakan pada tahun 1894, yang mengakhiri kontroversi 2.500 tahun tentang masalah kuadrat lingkaran. Ini masih belum sepenuhnya dipahami, jadi matematikawan modern memiliki sesuatu untuk dikerjakan. Omong-omong, perhitungan pertama yang cukup akurat dari nilai ini dilakukan oleh Archimedes. Di hadapannya, semua perhitungan terlalu perkiraan.
Untuk e (bilangan Euler atau Napier), bukti transendensinya ditemukan pada tahun 1873. Digunakan untuk menyelesaikan persamaan logaritma.
Contoh lain termasuk nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk semua nilai aljabar bukan nol.
