Salah satu cabang matematika yang dengannya anak sekolah mengatasi kesulitan terbesar adalah trigonometri. Tidak heran: untuk menguasai bidang pengetahuan ini dengan bebas, Anda memerlukan pemikiran spasial, kemampuan menemukan sinus, kosinus, garis singgung, kotangen menggunakan rumus, menyederhanakan ekspresi, dan dapat menggunakan angka pi dalam perhitungan. Selain itu, Anda harus dapat menerapkan trigonometri saat membuktikan teorema, dan ini membutuhkan memori matematika yang dikembangkan atau kemampuan untuk menyimpulkan rantai logis yang kompleks.
Asal usul Trigonometri
Pengantar ilmu ini harus dimulai dengan definisi sinus, cosinus, dan tangen suatu sudut, tetapi pertama-tama Anda perlu mengetahui apa fungsi trigonometri secara umum.
Secara historis, segitiga siku-siku telah menjadi objek penelitian utama dalam bagian ilmu matematika ini. Kehadiran sudut 90 derajat memungkinkan untuk melakukan berbagai operasi yang memungkinkan duasisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi untuk menentukan nilai semua parameter dari gambar yang bersangkutan. Di masa lalu, orang-orang memperhatikan pola ini dan mulai aktif menggunakannya dalam konstruksi bangunan, navigasi, astronomi, dan bahkan seni.
Permulaan
Awalnya, orang berbicara tentang hubungan sudut dan sisi secara eksklusif pada contoh segitiga siku-siku. Kemudian formula khusus ditemukan, yang memungkinkan untuk memperluas batas penggunaan dalam kehidupan sehari-hari dari bagian matematika ini.
Pembelajaran trigonometri di sekolah hari ini dimulai dengan segitiga siku-siku, setelah itu pengetahuan yang diperoleh digunakan oleh siswa dalam fisika dan memecahkan persamaan trigonometri abstrak, pekerjaan yang dimulai di sekolah menengah.
trigonometri bola
Kemudian, ketika sains mencapai tingkat perkembangan berikutnya, rumus dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen mulai digunakan dalam geometri bola, di mana aturan lain berlaku, dan jumlah sudut dalam segitiga selalu lebih banyak dari 180 derajat. Bagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu diketahui keberadaannya, setidaknya karena permukaan bumi, dan permukaan planet lain, adalah cembung, yang berarti bahwa setiap tanda permukaan akan "berbentuk busur". " dalam ruang tiga dimensi.
Ambil bola dunia dan seutas benang. Pasang utas ke dua titik mana pun di globe sehingga kencang. Perhatikan - ia telah memperoleh bentuk busur. Ini berhubungan dengan bentuk-bentuk seperti itugeometri bola yang digunakan dalam geodesi, astronomi dan bidang teoretis dan terapan lainnya.
Segitiga siku-siku
Setelah belajar sedikit tentang cara menggunakan trigonometri, mari kembali ke trigonometri dasar untuk lebih memahami apa itu sinus, kosinus, tangen, perhitungan apa yang dapat dilakukan dengan bantuan mereka, dan rumus apa yang digunakan.
Pertama-tama, Anda perlu memahami konsep yang terkait dengan segitiga siku-siku. Pertama, sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Dia yang terpanjang. Kita ingat bahwa menurut teorema Pythagoras, nilai numeriknya sama dengan akar jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya.
Misalnya, jika dua sisi masing-masing berukuran 3 dan 4 sentimeter, panjang sisi miringnya adalah 5 sentimeter. Omong-omong, orang Mesir kuno tahu tentang ini sekitar empat setengah ribu tahun yang lalu.
Dua sisi tersisa yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Selain itu, kita harus ingat bahwa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat persegi panjang adalah 180 derajat.
Definisi
Akhirnya, dengan pemahaman yang kuat tentang dasar geometri, kita dapat beralih ke definisi sinus, cosinus, dan tangen suatu sudut.
Sinus suatu sudut adalah rasio sisi yang berlawanan (yaitu, sisi yang berlawanan dengan sudut yang diinginkan) dengan sisi miring. Kosinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Ingat bahwa baik sinus maupun cosinus tidak boleh lebih besar dari satu! Mengapa?Karena sisi miring secara default adalah sisi terpanjang dari segitiga siku-siku. Tidak peduli berapa panjang kakinya, itu akan lebih pendek dari sisi miring, yang berarti rasio mereka akan selalu kurang dari satu. Jadi, jika Anda mendapatkan sinus atau kosinus dengan nilai lebih besar dari 1 dalam jawaban soal, cari kesalahan dalam perhitungan atau penalaran. Jawaban ini jelas salah.
Akhirnya, garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang bersebelahan. Hasil yang sama akan memberikan pembagian sinus dengan kosinus. Lihat: menurut rumus, kita membagi panjang sisi dengan sisi miring, setelah itu kita membagi dengan panjang sisi kedua dan dikalikan dengan sisi miring. Dengan demikian, kita mendapatkan rasio yang sama seperti pada definisi garis singgung.
Cotangen, berturut-turut, adalah rasio sisi yang berdekatan dengan sudut ke sisi yang berlawanan. Kami mendapatkan hasil yang sama dengan membagi unit dengan tangen.
Jadi, kita telah mempertimbangkan definisi dari sinus, kosinus, tangen dan kotangen, dan kita dapat menangani rumus.
Rumus sederhana
Dalam trigonometri, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa rumus - bagaimana menemukan sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpanya? Tapi inilah yang dibutuhkan saat memecahkan masalah.
Rumus pertama yang perlu Anda ketahui ketika mulai belajar trigonometri mengatakan bahwa jumlah kuadrat dari sinus dan cosinus suatu sudut sama dengan satu. Rumus ini merupakan konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras, tetapi menghemat waktu jika Anda perlu mencari nilai sudut, bukan sisinya.
Banyak siswa yang tidak dapat mengingat rumus kedua, juga sangatpopuler dalam memecahkan masalah sekolah: jumlah satu dan kuadrat dari garis singgung suatu sudut sama dengan satu dibagi dengan kuadrat dari kosinus sudut. Perhatikan lebih dekat: bagaimanapun, ini adalah pernyataan yang sama seperti pada rumus pertama, hanya kedua sisi identitas yang dibagi dengan kuadrat kosinus. Ternyata operasi matematika sederhana membuat rumus trigonometri benar-benar tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apa itu sinus, kosinus, tangen dan kotangen, aturan konversi dan beberapa rumus dasar, Anda dapat setiap saat secara mandiri menurunkan rumus yang lebih kompleks yang diperlukan pada selembar kertas.
Rumus sudut ganda dan penambahan argumen
Dua rumus lagi yang harus dipelajari terkait dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan selisih sudut. Mereka ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Harap dicatat bahwa dalam kasus pertama, sinus dan kosinus dikalikan dua kali, dan dalam kasus kedua, produk berpasangan dari sinus dan kosinus ditambahkan.
Ada juga rumus yang terkait dengan argumen sudut ganda. Mereka sepenuhnya diturunkan dari yang sebelumnya - sebagai latihan, cobalah untuk mendapatkannya sendiri, ambil sudut alfa sama dengan sudut beta.
Akhirnya, perhatikan bahwa rumus sudut ganda dapat dikonversi untuk mengurangi derajat sinus, cosinus, alfa tangen.
Teorema
Dua teorema utama dalam trigonometri dasar adalah teorema sinus dan teorema kosinus. Dengan bantuan teorema ini, Anda dapat dengan mudah memahami cara menemukan sinus, kosinus, dan tangen, dan karenanya luas gambar, dan besarnyasetiap sisi, dll.
Teorema sinus menyatakan bahwa sebagai hasil dari membagi panjang setiap sisi segitiga dengan nilai sudut yang berlawanan, kita mendapatkan angka yang sama. Selain itu, angka ini akan sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi, yaitu lingkaran yang berisi semua titik dari segitiga yang diberikan.
Teorema kosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras, memproyeksikannya ke sembarang segitiga. Ternyata dari jumlah kuadrat kedua sisi, kurangi produknya, dikalikan dengan kosinus ganda dari sudut yang berdekatan dengannya - nilai yang dihasilkan akan sama dengan kuadrat sisi ketiga. Jadi, teorema Pythagoras ternyata merupakan kasus khusus dari teorema kosinus.
Kesalahan karena kurangnya perhatian
Bahkan mengetahui apa itu sinus, cosinus dan tangen, mudah untuk membuat kesalahan karena linglung atau kesalahan dalam perhitungan yang paling sederhana. Untuk menghindari kesalahan seperti itu, mari kita lihat yang paling populer.
Pertama-tama, jangan mengubah pecahan biasa menjadi desimal sebelum mendapatkan hasil akhir - Anda dapat membiarkan jawabannya sebagai pecahan biasa, kecuali dinyatakan lain dalam kondisi. Transformasi seperti itu tidak bisa disebut kesalahan, tetapi harus diingat bahwa pada setiap tahap tugas, akar baru mungkin muncul, yang, menurut ide penulis, harus dikurangi. Dalam hal ini, Anda akan membuang waktu untuk operasi matematika yang tidak perlu. Ini terutama berlaku untuk nilai seperti akar tiga atau dua, karena muncul dalam tugas di setiap langkah. Hal yang sama berlaku untuk pembulatan. Angka "jelek".
Selanjutnya, perhatikan bahwa teorema kosinus berlaku untuk sembarang segitiga, tetapi tidak untuk teorema Pythagoras! Jika Anda secara keliru lupa untuk mengurangi dua kali hasil perkalian sisi-sisinya dikalikan dengan kosinus sudut di antara keduanya, Anda tidak hanya akan mendapatkan hasil yang sepenuhnya salah, tetapi juga menunjukkan kesalahpahaman total tentang subjek tersebut. Ini lebih buruk dari kesalahan yang ceroboh.
Ketiga, jangan bingung nilai sudut 30 dan 60 derajat untuk sinus, cosinus, garis singgung, kotangen. Ingat nilai-nilai ini, karena sinus 30 derajat sama dengan cosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mencampurnya, dan Anda pasti akan mendapatkan hasil yang salah.
Aplikasi
Banyak siswa yang tidak terburu-buru untuk mulai mempelajari trigonometri, karena mereka tidak memahami makna terapannya. Apa sinus, kosinus, tangen untuk seorang insinyur atau astronom? Ini adalah konsep berkat yang Anda dapat menghitung jarak ke bintang-bintang yang jauh, memprediksi jatuhnya meteorit, mengirim penyelidikan penelitian ke planet lain. Tanpa mereka, mustahil untuk membangun sebuah bangunan, merancang mobil, menghitung beban di permukaan atau lintasan suatu benda. Dan ini hanya contoh yang paling jelas! Bagaimanapun, trigonometri dalam satu atau lain bentuk digunakan di mana-mana, dari musik hingga obat-obatan.
Kesimpulan
Jadi, Anda tahu apa itu sinus, cosinus, tangen. Anda dapat menggunakannya dalam perhitungan dan berhasil memecahkan masalah sekolah.
Intinyatrigonometri direduksi menjadi fakta bahwa menurut parameter segitiga yang diketahui, perlu untuk menghitung yang tidak diketahui. Ada enam parameter secara total: panjang tiga sisi dan besar tiga sudut. Perbedaan seluruh tugas terletak pada kenyataan bahwa data masukan yang berbeda diberikan.
Cara mencari sinus, cosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau sisi miring yang diketahui, sekarang Anda tahu. Karena istilah-istilah ini tidak lebih dari rasio, dan rasio adalah pecahan, tujuan utama dari masalah trigonometri adalah untuk menemukan akar persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematika sekolah biasa akan membantu Anda.
