Sederhana dan singkatnya, ruang lingkup adalah nilai yang dapat diambil oleh fungsi apa pun. Untuk sepenuhnya mengeksplorasi topik ini, Anda perlu secara bertahap membongkar poin dan konsep berikut. Pertama, mari kita pahami dulu definisi fungsi dan sejarah kemunculannya.
Apa itu fungsi
Semua ilmu eksakta memberi kita banyak contoh di mana variabel-variabel yang dipertanyakan bergantung satu sama lain dalam beberapa hal. Misalnya, massa jenis suatu zat sepenuhnya ditentukan oleh massa dan volumenya. Tekanan gas ideal pada volume konstan bervariasi dengan suhu. Contoh-contoh ini disatukan oleh fakta bahwa semua rumus memiliki ketergantungan antar variabel, yang disebut fungsional.
Fungsi adalah konsep yang menyatakan ketergantungan suatu besaran pada besaran lain. Ini memiliki bentuk y=f(x), di mana y adalah nilai fungsi, yang bergantung pada x - argumen. Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa y adalah variabel yang bergantung pada nilai x. Nilai yang dapat diambil oleh x adalahdomain dari fungsi yang diberikan (D(y) atau D(f)), dan dengan demikian, nilai y merupakan himpunan nilai fungsi (E(f) atau E(y)). Ada kasus ketika suatu fungsi diberikan oleh beberapa rumus. Dalam hal ini, domain definisi terdiri dari nilai variabel tersebut, di mana notasi dengan rumus masuk akal.
Ada fitur yang cocok atau setara. Ini adalah dua fungsi yang memiliki rentang nilai valid yang sama, serta nilai fungsi itu sendiri sama untuk semua argumen yang sama.
Banyak hukum ilmu eksakta diberi nama yang mirip dengan situasi dalam kehidupan nyata. Ada fakta menarik juga tentang fungsi matematika. Ada teorema tentang limit fungsi "terjepit" antara dua orang lain yang memiliki limit yang sama - tentang dua polisi. Mereka menjelaskannya seperti ini: karena dua polisi membawa seorang tahanan ke sel di antara mereka, penjahat itu terpaksa pergi ke sana, dan dia tidak punya pilihan.
Referensi fitur historis
Konsep fungsi tidak serta merta menjadi final dan tepat, tetapi telah mengalami perjalanan panjang. Pertama, Introduksi dan Studi Fermat tentang Bidang dan Tempat Padat, yang diterbitkan pada akhir abad ke-17, menyatakan sebagai berikut:
Setiap kali ada dua yang tidak diketahui dalam persamaan akhir, ada ruang.
Secara umum, karya ini berbicara tentang ketergantungan fungsional dan citra materialnya (tempat=garis).
Juga, pada waktu yang hampir bersamaan, Rene Descartes mempelajari garis dengan persamaannya dalam karyanya "Geometry" (1637), di mana lagi-lagi faktanyaketergantungan dua besaran satu sama lain.
Penyebutan istilah "fungsi" hanya muncul pada akhir abad ke-17 dengan Leibniz, tetapi tidak dalam interpretasi modernnya. Dalam karya ilmiahnya, ia menganggap bahwa fungsi adalah berbagai segmen yang terkait dengan garis lengkung.
Tapi sudah di abad ke-18, fungsi mulai didefinisikan dengan lebih tepat. Bernoulli menulis sebagai berikut:
Fungsi adalah nilai yang terdiri dari variabel dan konstanta.
Pemikiran Euler juga mirip dengan ini:
Fungsi besaran variabel adalah ekspresi analitik yang dibuat dengan cara tertentu dari besaran dan bilangan variabel ini atau besaran konstan.
Ketika beberapa besaran bergantung pada yang lain sedemikian rupa sehingga ketika yang terakhir berubah, mereka sendiri berubah, maka yang pertama disebut fungsi dari yang terakhir.
Grafik Fungsi
Grafik fungsi terdiri dari semua titik yang termasuk dalam sumbu bidang koordinat, absisnya mengambil nilai argumen, dan nilai fungsi pada titik-titik ini adalah ordinat.
Cakupan suatu fungsi berhubungan langsung dengan grafiknya, karena jika ada absis yang dikecualikan oleh rentang nilai yang valid, maka Anda perlu menggambar titik-titik kosong pada grafik atau menggambar grafik dalam batas-batas tertentu. Misalnya, jika diambil grafik bentuk y=tgx, maka nilai x=pi / 2 + pin, n∉R dikeluarkan dari area definisi, dalam kasus grafik tangen, Anda perlu menggambargaris vertikal sejajar sumbu y (disebut asimtot) melalui titik ±pi/2.
Setiap studi fungsi yang menyeluruh dan cermat merupakan cabang besar matematika yang disebut kalkulus. Dalam matematika dasar, pertanyaan dasar tentang fungsi juga dibahas, misalnya, membuat grafik sederhana dan menetapkan beberapa sifat dasar suatu fungsi.
Fungsi apa yang dapat disetel ke
Fungsi dapat:
- menjadi rumus, contoh: y=cos x;
- ditetapkan oleh sembarang tabel pasangan berbentuk (x; y);
- langsung memiliki tampilan grafis, untuk ini pasangan dari item sebelumnya dalam bentuk (x; y) harus ditampilkan pada sumbu koordinat.
Hati-hati saat menyelesaikan beberapa masalah tingkat tinggi, hampir semua ekspresi dapat dianggap sebagai fungsi sehubungan dengan beberapa argumen untuk nilai fungsi y (x). Menemukan domain definisi dalam tugas-tugas tersebut dapat menjadi kunci solusi.
Untuk apa cakupannya?
Hal pertama yang perlu Anda ketahui tentang suatu fungsi untuk mempelajari atau membangunnya adalah ruang lingkupnya. Grafik harus hanya berisi titik-titik di mana fungsi tersebut dapat eksis. Domain definisi (x) juga dapat disebut sebagai domain nilai yang dapat diterima (disingkat ODZ).
Untuk membuat grafik fungsi dengan benar dan cepat, Anda perlu mengetahui domain fungsi ini, karena tampilan grafik dan fidelitas bergantung padanyakonstruksi. Misalnya, untuk membuat fungsi y=x, Anda perlu mengetahui bahwa x hanya dapat mengambil nilai positif. Oleh karena itu, dibangun hanya di kuadran koordinat pertama.
Cakupan definisi pada contoh fungsi dasar
Dalam gudang senjatanya, matematika memiliki sejumlah kecil fungsi sederhana yang terdefinisi. Mereka memiliki ruang lingkup yang terbatas. Solusi untuk masalah ini tidak akan menimbulkan kesulitan bahkan jika Anda memiliki apa yang disebut fungsi kompleks di depan Anda. Ini hanya kombinasi dari beberapa yang sederhana.
- Jadi, fungsinya bisa berupa pecahan, misalnya: f(x)=1/x. Jadi, variabel (argumen kami) ada di penyebut, dan semua orang tahu bahwa penyebut pecahan tidak boleh sama dengan 0, oleh karena itu, argumen dapat mengambil nilai apa pun kecuali 0. Notasinya akan terlihat seperti ini: D(y)=x∈ (-∞; 0) (0; +∞). Jika ada beberapa ekspresi dengan variabel dalam penyebut, maka Anda perlu menyelesaikan persamaan untuk x dan mengecualikan nilai yang mengubah penyebut menjadi 0. Untuk representasi skema, 5 poin yang dipilih dengan baik sudah cukup. Grafik fungsi ini adalah hiperbola dengan asimtot vertikal yang melalui titik (0; 0) dan, dalam kombinasi, sumbu Ox dan Oy. Jika gambar grafik berpotongan dengan asimtot, maka kesalahan seperti itu akan dianggap paling kotor.
- Tapi apa domain dari root? Domain suatu fungsi dengan ekspresi radikal (f(x)=(2x + 5)), berisi variabel, juga memiliki nuansa tersendiri (hanya berlaku untuk akar pangkat genap). Sebagaiakar aritmatika adalah ekspresi positif atau sama dengan 0, maka ekspresi akar harus lebih besar dari atau sama dengan 0, kita menyelesaikan pertidaksamaan berikut: 2x + 5 0, x -2, 5, oleh karena itu, domain dari ini fungsi: D(y)=x (-2, 5; +∞). Grafik tersebut merupakan salah satu cabang parabola yang berotasi 90 derajat, terletak pada kuadran koordinat pertama.
- Jika kita berurusan dengan fungsi logaritma, maka Anda harus ingat bahwa ada batasan mengenai basis logaritma dan ekspresi di bawah tanda logaritma, dalam hal ini Anda dapat menemukan domain definisi sebagai berikut. Kami memiliki fungsi: y=loga(x + 7), kami menyelesaikan pertidaksamaan: x + 7 > 0, x > -7. Maka domain dari fungsi ini adalah D(y)=x (-7; +∞).
- Perhatikan juga fungsi trigonometri dari bentuk y=tgx dan y=ctgx, karena y=tgx=sinx/cos/x dan y=ctgx=cosx/sinx, oleh karena itu, Anda perlu mengecualikan nilai di mana penyebutnya bisa sama dengan nol. Jika Anda terbiasa dengan grafik fungsi trigonometri, memahami domainnya adalah tugas yang mudah.
Bagaimana bekerja dengan fungsi kompleks yang berbeda
Ingat beberapa aturan dasar. Jika kita bekerja dengan fungsi kompleks, maka tidak perlu menyelesaikan sesuatu, menyederhanakan, menjumlahkan pecahan, mengurangi ke penyebut umum terendah dan mengekstrak akar. Kita harus menyelidiki fungsi ini karena operasi yang berbeda (bahkan identik) dapat mengubah ruang lingkup fungsi, menghasilkan jawaban yang salah.
Misalnya, kita memiliki fungsi kompleks: y=(x2 - 4)/(x - 2). Kami tidak dapat mengurangi pembilang dan penyebut pecahan, karena ini hanya mungkin jika x 2, dan ini adalah tugas untuk menemukan domain fungsi, jadi kami tidak memfaktorkan pembilang dan tidak menyelesaikan pertidaksamaan apa pun, karena nilai di mana fungsinya tidak ada, terlihat dengan mata telanjang. Dalam hal ini, x tidak dapat mengambil nilai 2, karena penyebut tidak dapat menuju ke 0, notasinya akan terlihat seperti ini: D(y)=x (-∞; 2) (2; +∞).
Fungsi timbal balik
Sebagai permulaan, perlu dikatakan bahwa suatu fungsi dapat menjadi reversibel hanya pada interval kenaikan atau penurunan. Untuk menemukan fungsi invers, Anda perlu menukar x dan y dalam notasi dan menyelesaikan persamaan untuk x. Domain definisi dan domain nilai dibalik.
Syarat utama untuk reversibilitas adalah interval monoton dari suatu fungsi, jika suatu fungsi memiliki interval naik dan turun, maka adalah mungkin untuk menyusun fungsi invers dari salah satu interval (naik atau turun).
Misalnya, untuk fungsi eksponensial y=exkebalikannya adalah fungsi logaritma natural y=logea=lna. Untuk trigonometri, ini akan menjadi fungsi dengan awalan arc-: y=sinx dan y=arcsinx dan seterusnya. Grafik akan ditempatkan secara simetris terhadap beberapa sumbu atau asimtot.
Kesimpulan
Mencari rentang nilai yang dapat diterima turun untuk memeriksa grafik fungsi (jika ada),merekam dan memecahkan sistem pertidaksamaan spesifik yang diperlukan.
Jadi, artikel ini membantu Anda memahami untuk apa ruang lingkup suatu fungsi dan bagaimana menemukannya. Semoga dapat membantu anda dalam memahami pelajaran sekolah dasar dengan baik.
