Metode aksiomatik adalah cara membangun teori ilmiah yang sudah mapan. Itu didasarkan pada argumen, fakta, pernyataan yang tidak memerlukan bukti atau sanggahan. Faktanya, versi pengetahuan ini disajikan dalam bentuk struktur deduktif, yang awalnya mencakup pembuktian logis konten dari dasar-dasar - aksioma.
Metode ini tidak bisa menjadi penemuan, tetapi hanya konsep klasifikasi. Lebih cocok untuk mengajar. Dasar berisi ketentuan awal, dan sisa informasi berikut sebagai konsekuensi logis. Di mana metode aksiomatik membangun teori? Itu terletak pada inti dari sebagian besar ilmu pengetahuan modern dan mapan.
Pembentukan dan pengembangan konsep metode aksiomatik, definisi kata
Pertama-tama, konsep ini muncul di Yunani Kuno berkat Euclid. Ia menjadi pendiri metode aksiomatik dalam geometri. Hari ini adalah umum dalam semua ilmu pengetahuan, tetapi terutama dalam matematika. Metode ini dibentuk atas dasar pernyataan-pernyataan yang mapan, dan teori-teori selanjutnya diturunkan dengan konstruksi logis.
Ini dijelaskan sebagai berikut: ada kata dan konsep yangdidefinisikan oleh istilah lain. Akibatnya, para peneliti sampai pada kesimpulan bahwa ada kesimpulan dasar yang dibenarkan dan konstan - dasar, yaitu aksioma. Misalnya, ketika membuktikan suatu teorema, mereka biasanya mengandalkan fakta yang sudah mapan dan tidak memerlukan sanggahan.
Namun, sebelum itu, mereka perlu dibuktikan. Dalam prosesnya, ternyata pernyataan yang tidak beralasan diambil sebagai aksioma. Berdasarkan seperangkat konsep konstan, teorema lain dibuktikan. Mereka membentuk dasar planimetri dan merupakan struktur logis dari geometri. Aksioma yang mapan dalam ilmu ini didefinisikan sebagai objek dari alam apa pun. Mereka, pada gilirannya, memiliki sifat yang ditentukan dalam konsep konstan.
Eksplorasi lebih lanjut dari aksioma
Metode ini dianggap ideal sampai abad kesembilan belas. Cara logis untuk mencari konsep dasar tidak dipelajari pada masa itu, tetapi dalam sistem Euclid orang dapat mengamati struktur untuk memperoleh konsekuensi yang berarti dari metode aksiomatik. Penelitian ilmuwan menunjukkan gagasan tentang bagaimana mendapatkan sistem pengetahuan geometris yang lengkap berdasarkan jalur deduktif murni. Mereka ditawari sejumlah kecil aksioma yang ditegaskan yang terbukti benar.
Manfaat pikiran Yunani kuno
Euclid membuktikan banyak konsep, dan beberapa di antaranya dibenarkan. Namun, mayoritas menganggap manfaat ini berasal dari Pythagoras, Democritus, dan Hippocrates. Yang terakhir menyusun kursus geometri yang lengkap. Benar, kemudian di Alexandria keluarkoleksi "Awal", penulisnya adalah Euclid. Kemudian, namanya diubah menjadi "Geometri Dasar". Setelah beberapa saat, mereka mulai mengkritiknya berdasarkan beberapa alasan:
- semua nilai dibangun hanya dengan penggaris dan kompas;
- geometri dan aritmatika dipisahkan dan dibuktikan dengan bilangan dan konsep yang valid;
- aksioma, beberapa di antaranya, khususnya postulat kelima, diusulkan untuk dihapus dari daftar umum.
Akibatnya, geometri non-Euclidean muncul pada abad ke-19, di mana tidak ada postulat yang benar secara objektif. Tindakan ini memberikan dorongan untuk pengembangan lebih lanjut dari sistem geometris. Dengan demikian, peneliti matematika sampai pada metode konstruksi deduktif.
Pengembangan pengetahuan matematika berdasarkan aksioma
Ketika sistem geometri baru mulai berkembang, metode aksiomatik juga berubah. Dalam matematika, mereka mulai lebih sering beralih ke konstruksi teori deduktif murni. Akibatnya, seluruh sistem pembuktian telah muncul dalam logika numerik modern, yang merupakan bagian utama dari semua ilmu pengetahuan. Dalam struktur matematika mulai memahami perlunya pembenaran.
Dengan demikian, pada akhir abad ini, tugas yang jelas dan konstruksi konsep kompleks terbentuk, yang dari teorema kompleks direduksi menjadi pernyataan logis paling sederhana. Dengan demikian, geometri non-Euclidean merangsang dasar yang kuat untuk keberadaan lebih lanjut dari metode aksiomatik, serta untuk memecahkan masalah yang bersifat umum.konstruksi matematika:
- konsistensi;
- kepenuhan;
- kemerdekaan.
Dalam prosesnya, sebuah metode interpretasi muncul dan berhasil dikembangkan. Metode ini dijelaskan sebagai berikut: untuk setiap konsep keluaran dalam teori, objek matematika ditetapkan, yang totalitasnya disebut bidang. Pernyataan tentang elemen tertentu bisa salah atau benar. Akibatnya, pernyataan diberi nama tergantung pada kesimpulannya.
Fitur teori interpretasi
Sebagai aturan, bidang dan properti juga dipertimbangkan dalam sistem matematika, dan, pada gilirannya, dapat menjadi aksiomatik. Interpretasi membuktikan pernyataan di mana ada konsistensi relatif. Opsi tambahan adalah sejumlah fakta di mana teori menjadi kontradiktif.
Bahkan, kondisi terpenuhi dalam beberapa kasus. Akibatnya, ternyata jika ada dua konsep yang salah atau benar dalam pernyataan dari salah satu pernyataan, maka itu dianggap negatif atau positif. Metode ini digunakan untuk membuktikan konsistensi geometri Euclid. Dengan menggunakan metode interpretatif, seseorang dapat memecahkan pertanyaan tentang independensi sistem aksioma. Jika Anda perlu menyangkal teori apa pun, maka cukup untuk membuktikan bahwa salah satu konsep tidak diturunkan dari yang lain dan salah.
Namun, selain pernyataan yang berhasil, metode ini juga memiliki kelemahan. Konsistensi dan independensi sistem aksioma diselesaikan sebagai pertanyaan yang mendapatkan hasil yang relatif. Satu-satunya pencapaian interpretasi yang penting adalahpenemuan peran aritmatika sebagai struktur di mana pertanyaan tentang konsistensi direduksi menjadi sejumlah ilmu lain.
Perkembangan modern matematika aksiomatik
Metode aksiomatik mulai berkembang dalam karya Gilbert. Di sekolahnya, konsep teori dan sistem formal diklarifikasi. Akibatnya, sistem umum muncul, dan objek matematika menjadi presisi. Selain itu, menjadi mungkin untuk menyelesaikan masalah pembenaran. Dengan demikian, sistem formal dibangun oleh kelas eksak, yang berisi subsistem rumus dan teorema.
Untuk membangun struktur ini, Anda hanya perlu dipandu oleh kemudahan teknis, karena mereka tidak memiliki beban semantik. Mereka dapat ditulis dengan tanda, simbol. Artinya, sebenarnya sistem itu sendiri dibangun sedemikian rupa sehingga teori formal dapat diterapkan secara memadai dan lengkap.
Akibatnya, tujuan atau tugas matematika tertentu dituangkan ke dalam teori berdasarkan konten faktual atau penalaran deduktif. Bahasa ilmu numerik ditransfer ke sistem formal, dalam proses ekspresi konkret dan bermakna ditentukan oleh rumus.
Metode formalisasi
Dalam keadaan alami, metode seperti itu akan mampu memecahkan masalah global seperti konsistensi, serta membangun esensi positif dari teori matematika sesuai dengan rumus turunan. Dan pada dasarnya semua ini akan diselesaikan dengan sistem formal berdasarkan pernyataan yang terbukti. Teori matematika terus-menerus diperumit oleh pembenaran, danGilbert mengusulkan untuk menyelidiki struktur ini menggunakan metode hingga. Tapi program ini gagal. Hasil Gödel sudah di abad kedua puluh mengarah pada kesimpulan berikut:
- konsistensi alami tidak mungkin karena fakta bahwa aritmatika formal atau ilmu serupa lainnya dari sistem ini tidak akan lengkap;
- rumus yang tidak dapat dipecahkan muncul;
- klaim tidak dapat dibuktikan.
Penilaian yang benar dan penyelesaian terbatas yang masuk akal dianggap dapat diformalkan. Dengan pemikiran ini, metode aksiomatik memiliki batasan dan kemungkinan yang pasti dan jelas dalam teori ini.
Hasil pengembangan aksioma dalam karya matematikawan
Meskipun beberapa penilaian telah disangkal dan tidak dikembangkan dengan benar, metode konsep konstan memainkan peran penting dalam membentuk dasar matematika. Selain itu, interpretasi dan metode aksiomatik dalam sains telah mengungkapkan hasil mendasar dari konsistensi, independensi pernyataan pilihan, dan hipotesis dalam teori ganda.
Dalam menyikapi persoalan konsistensi, yang utama bukan hanya menerapkan konsep yang sudah mapan. Mereka juga perlu dilengkapi dengan ide, konsep dan sarana finishing yang terbatas. Dalam hal ini, berbagai pandangan, metode, teori dipertimbangkan, yang harus mempertimbangkan makna logis dan pembenaran.
Konsistensi sistem formal menunjukkan penyelesaian aritmatika yang serupa, yang didasarkan pada induksi, penghitungan, bilangan transfinit. Di bidang ilmiah, aksiomatisasi adalah yang paling pentingalat yang memiliki konsep dan pernyataan tak terbantahkan yang diambil sebagai dasar.
Inti dari pernyataan awal dan perannya dalam teori
Evaluasi metode aksiomatik menunjukkan bahwa beberapa struktur terletak pada esensinya. Sistem ini dibangun dari identifikasi konsep yang mendasari dan pernyataan mendasar yang tidak terdefinisi. Hal yang sama terjadi dengan teorema yang dianggap asli dan diterima tanpa pembuktian. Dalam ilmu alam, pernyataan seperti itu didukung oleh aturan, asumsi, hukum.
Kemudian proses memperbaiki dasar-dasar penalaran yang mapan berlangsung. Sebagai aturan, segera ditunjukkan bahwa yang lain disimpulkan dari satu posisi, dan dalam proses sisanya keluar, yang, pada dasarnya, bertepatan dengan metode deduktif.
Fitur sistem di zaman modern
Sistem aksiomatik meliputi:
- kesimpulan logis;
- istilah dan definisi;
- pernyataan dan konsep yang salah sebagian.
Dalam sains modern, metode ini telah kehilangan keabstrakannya. Aksiomatisasi geometri Euclidean didasarkan pada proposisi intuitif dan benar. Dan teori itu ditafsirkan dengan cara yang unik dan alami. Hari ini, aksioma adalah ketentuan yang jelas dalam dirinya sendiri, dan kesepakatan, dan kesepakatan apa pun, dapat bertindak sebagai konsep awal yang tidak memerlukan pembenaran. Akibatnya, nilai aslinya mungkin jauh dari deskriptif. Metode ini membutuhkan kreativitas, pengetahuan tentang hubungan dan teori yang mendasarinya.
Prinsip dasar untuk menarik kesimpulan
Metode aksiomatik deduktif adalah pengetahuan ilmiah, dibangun menurut skema tertentu, yang didasarkan pada hipotesis yang direalisasikan dengan benar, yang menghasilkan pernyataan tentang fakta empiris. Kesimpulan semacam itu dibangun atas dasar struktur logis, dengan derivasi keras. Aksioma pada awalnya adalah pernyataan tak terbantahkan yang tidak memerlukan bukti.
Selama deduksi, persyaratan tertentu diterapkan pada konsep awal: konsistensi, kelengkapan, kemandirian. Seperti yang ditunjukkan oleh praktik, kondisi pertama didasarkan pada pengetahuan logis formal. Artinya, teori tidak boleh memiliki arti kebenaran dan kepalsuan, karena tidak akan lagi memiliki arti dan nilai.
Jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka dianggap tidak sesuai dan hilang makna di dalamnya, karena beban semantik antara kebenaran dan kebatilan hilang. Secara deduktif, metode aksiomatik adalah cara membangun dan memperkuat pengetahuan ilmiah.
Aplikasi praktis dari metode
Metode aksiomatik dalam membangun pengetahuan ilmiah memiliki aplikasi praktis. Bahkan, cara ini mempengaruhi dan memiliki signifikansi global untuk matematika, meskipun pengetahuan ini telah mencapai puncaknya. Contoh metode aksiomatik adalah sebagai berikut:
- bidang affine memiliki tiga pernyataan dan satu definisi;
- teori kesetaraan memiliki tiga bukti;
- hubungan biner dibagi menjadi sistem definisi, konsep, dan latihan tambahan.
Jika Anda ingin merumuskan makna aslinya, Anda perlu mengetahui sifat himpunan dan elemen. Pada intinya, metode aksiomatik menjadi dasar dari berbagai bidang ilmu pengetahuan.
