Konsep penting dalam matematika adalah fungsi. Dengan bantuannya, Anda dapat memvisualisasikan banyak proses yang terjadi di alam, mencerminkan hubungan antara jumlah tertentu menggunakan rumus, tabel, dan gambar pada grafik. Contohnya adalah ketergantungan tekanan lapisan cairan pada benda pada kedalaman pencelupan, percepatan - pada aksi gaya tertentu pada suatu benda, peningkatan suhu - pada energi yang ditransmisikan, dan banyak proses lainnya. Studi tentang suatu fungsi melibatkan konstruksi grafik, klarifikasi sifat-sifatnya, ruang lingkup dan nilai, interval kenaikan dan penurunan. Poin penting dalam proses ini adalah menemukan titik ekstrem. Tentang bagaimana melakukannya dengan benar, dan percakapan akan berlanjut.
Tentang konsep itu sendiri pada contoh spesifik
Dalam kedokteran, membuat grafik fungsi dapat menunjukkan perkembangan penyakit dalam tubuh pasien, yang secara visual mencerminkan kondisinya. Mari kita asumsikan bahwa waktu dalam hari diplot sepanjang sumbu OX, dan suhu tubuh manusia diplot di sepanjang sumbu OY. Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bagaimana indikator ini meningkat tajam, dankemudian jatuh. Juga mudah untuk melihat titik-titik tunggal yang mencerminkan momen ketika fungsi, yang sebelumnya meningkat, mulai berkurang, dan sebaliknya. Inilah titik ekstrim, yaitu nilai kritis (maksimum dan minimum) dalam hal ini suhu pasien, setelah itu terjadi perubahan kondisinya.
Sudut kemiringan
Sangat mudah untuk menentukan dari gambar bagaimana turunan dari suatu fungsi berubah. Jika garis lurus grafik naik dari waktu ke waktu, maka itu positif. Dan semakin curam, semakin besar nilai turunannya, seiring dengan meningkatnya sudut kemiringan. Selama periode penurunan, nilai ini mengambil nilai negatif, berubah menjadi nol pada titik ekstrem, dan grafik turunan dalam kasus terakhir digambar sejajar dengan sumbu OX.
Proses lainnya harus diperlakukan dengan cara yang sama. Tetapi hal terbaik tentang konsep ini dapat mengetahui pergerakan berbagai benda, ditunjukkan dengan jelas pada grafik.
Gerakan
Misalkan beberapa objek bergerak dalam garis lurus, mendapatkan kecepatan secara merata. Selama periode ini, perubahan koordinat tubuh secara grafis mewakili kurva tertentu, yang oleh ahli matematika disebut sebagai cabang parabola. Pada saat yang sama, fungsinya terus meningkat, karena indikator koordinat berubah lebih cepat dan lebih cepat setiap detik. Grafik kecepatan menunjukkan perilaku turunan, yang nilainya juga meningkat. Artinya gerakan tersebut tidak memiliki titik kritis.
Itu akan terus berlanjut tanpa batas. Tetapi jika tubuh tiba-tiba memutuskan untuk melambat, berhenti dan mulai bergerak di yang lainarah? Dalam hal ini, indikator koordinat akan mulai berkurang. Dan fungsi akan melewati nilai kritis dan berubah dari naik ke turun.
Dalam contoh ini, Anda dapat kembali memahami bahwa titik ekstrem pada grafik fungsi muncul pada saat berhenti monoton.
Makna fisik turunan
Dijelaskan sebelumnya dengan jelas menunjukkan bahwa turunan pada dasarnya adalah laju perubahan fungsi. Penyempurnaan ini mengandung makna fisiknya. Titik ekstrim adalah area kritis pada grafik. Dimungkinkan untuk mengetahui dan mendeteksinya dengan menghitung nilai turunannya, yang ternyata sama dengan nol.
Ada tanda lain, yang merupakan kondisi yang cukup untuk ekstrem. Turunan pada tempat belok tersebut berubah tandanya: dari "+" menjadi "-" pada daerah maksimum dan dari "-" menjadi "+" pada daerah minimum.
Pergerakan di bawah pengaruh gravitasi
Mari kita bayangkan situasi lain. Anak-anak, bermain bola, melemparkannya sedemikian rupa sehingga mulai bergerak miring ke cakrawala. Pada saat awal, kecepatan benda ini adalah yang terbesar, tetapi di bawah pengaruh gravitasi ia mulai berkurang, dan setiap detik dengan nilai yang sama, sama dengan sekitar 9,8 m/s2. Ini adalah nilai percepatan yang terjadi di bawah pengaruh gravitasi bumi selama jatuh bebas. Di Bulan, ukurannya sekitar enam kali lebih kecil.
Grafik yang menggambarkan gerak benda adalah parabola bercabang,ke bawah. Bagaimana cara menemukan titik ekstrem? Dalam hal ini, ini adalah titik dari fungsi, di mana kecepatan tubuh (bola) bernilai nol. Turunan fungsi menjadi nol. Dalam hal ini, arah, dan karenanya nilai kecepatan, berubah menjadi kebalikannya. Tubuh terbang ke bawah setiap detik lebih cepat dan lebih cepat, dan berakselerasi dengan jumlah yang sama - 9,8 m/s2.
Turunan kedua
Pada kasus sebelumnya, grafik modulus kecepatan digambarkan sebagai garis lurus. Garis ini pertama-tama diarahkan ke bawah, karena nilai kuantitas ini terus menurun. Setelah mencapai nol di salah satu titik waktu, maka indikator nilai ini mulai meningkat, dan arah representasi grafis dari modul kecepatan berubah secara dramatis. Garis sekarang mengarah ke atas.
Kecepatan, sebagai turunan waktu dari koordinat, juga memiliki titik kritis. Di wilayah ini, fungsinya, yang awalnya menurun, mulai meningkat. Ini adalah tempat titik ekstrem dari turunan fungsi. Dalam hal ini, kemiringan garis singgung menjadi nol. Dan percepatan, sebagai turunan kedua dari koordinat terhadap waktu, berubah tanda dari "-" menjadi "+". Dan gerakan dari seragam lambat menjadi seragam dipercepat.
Grafik akselerasi
Sekarang perhatikan empat gambar. Masing-masing dari mereka menampilkan grafik perubahan dari waktu ke waktu dari kuantitas fisik seperti percepatan. Dalam kasus "A", nilainya tetap positif dan konstan. Ini berarti bahwa kecepatan tubuh, seperti koordinatnya, terus meningkat. Jika sebuahbayangkan bahwa objek akan bergerak dengan cara ini untuk waktu yang sangat lama, fungsi yang mencerminkan ketergantungan koordinat pada waktu akan berubah menjadi terus meningkat. Dari sini dapat disimpulkan bahwa ia tidak memiliki daerah kritis. Juga tidak ada titik ekstrem pada grafik turunan, yaitu kecepatan yang berubah secara linier.
Hal yang sama berlaku untuk kasus "B" dengan percepatan positif dan terus meningkat. Benar, plot untuk koordinat dan kecepatan akan lebih rumit di sini.
Saat akselerasi cenderung ke nol
Melihat gambar "B", Anda dapat melihat gambar yang sama sekali berbeda yang mencirikan gerakan tubuh. Kecepatannya akan digambarkan secara grafis sebagai parabola dengan cabang-cabang mengarah ke bawah. Jika kita melanjutkan garis yang menggambarkan perubahan percepatan hingga berpotongan dengan sumbu OX, dan selanjutnya, kita dapat membayangkan bahwa hingga nilai kritis ini, di mana percepatannya ternyata sama dengan nol, kecepatan benda akan meningkat. semakin lama semakin lambat. Titik ekstrem dari turunan fungsi koordinat akan berada tepat di atas parabola, setelah itu benda akan secara radikal mengubah sifat gerakan dan mulai bergerak ke arah lain.
Dalam kasus terakhir, "G", sifat gerakan tidak dapat ditentukan dengan tepat. Di sini kita hanya tahu bahwa tidak ada percepatan untuk beberapa periode yang dipertimbangkan. Artinya benda dapat tetap di tempatnya atau gerakan terjadi dengan kecepatan konstan.
Tugas penambahan koordinat
Mari kita beralih ke tugas-tugas yang sering ditemukan dalam studi aljabar di sekolah dan ditawarkan untukpersiapan ujian. Gambar di bawah ini menunjukkan grafik fungsi. Diperlukan untuk menghitung jumlah titik ekstrem.
Mari kita lakukan ini untuk sumbu y dengan menentukan koordinat daerah kritis di mana perubahan karakteristik fungsi diamati. Sederhananya, kami menemukan nilai di sepanjang sumbu x untuk titik belok, dan kemudian melanjutkan untuk menambahkan suku yang dihasilkan. Menurut grafik, jelas bahwa mereka mengambil nilai-nilai berikut: -8; -7; -5; -3; -2; satu; 3. Ini menambahkan hingga -21, yang merupakan jawabannya.
Solusi optimal
Tidak perlu menjelaskan betapa pentingnya pilihan solusi optimal dalam pelaksanaan tugas-tugas praktis. Lagi pula, ada banyak cara untuk mencapai tujuan, dan jalan keluar terbaik, sebagai suatu peraturan, hanya satu. Ini sangat diperlukan, misalnya, ketika merancang kapal, pesawat ruang angkasa dan pesawat terbang, struktur arsitektur untuk menemukan bentuk optimal dari benda-benda buatan manusia ini.
Kecepatan kendaraan sangat bergantung pada minimalisasi kompeten dari hambatan yang mereka alami saat bergerak melalui air dan udara, dari kelebihan beban yang timbul di bawah pengaruh gaya gravitasi dan banyak indikator lainnya. Sebuah kapal di laut membutuhkan kualitas seperti stabilitas selama badai; untuk kapal sungai, draft minimum adalah penting. Saat menghitung desain optimal, titik ekstrem pada grafik secara visual dapat memberikan gambaran tentang solusi terbaik untuk masalah yang kompleks. Tugas semacam ini seringdiselesaikan dalam ekonomi, di bidang ekonomi, dalam banyak situasi kehidupan lainnya.
Dari sejarah kuno
Masalah-masalah ekstrem bahkan menimpa orang bijak kuno. Ilmuwan Yunani berhasil mengungkap misteri luas dan volume melalui perhitungan matematis. Mereka adalah orang pertama yang memahami bahwa pada bidang dengan berbagai angka dengan keliling yang sama, lingkaran selalu memiliki luas terbesar. Demikian pula, sebuah bola diberkahi dengan volume maksimum di antara benda-benda lain di ruang angkasa dengan luas permukaan yang sama. Kepribadian terkenal seperti Archimedes, Euclid, Aristoteles, Apollonius mengabdikan diri untuk memecahkan masalah seperti itu. Heron berhasil dengan sangat baik dalam menemukan titik ekstrem, yang, setelah menggunakan perhitungan, membuat perangkat yang cerdik. Ini termasuk mesin otomatis yang bergerak dengan uap, pompa dan turbin yang beroperasi dengan prinsip yang sama.
Pembangunan Kartago
Ada sebuah legenda, yang plotnya didasarkan pada penyelesaian salah satu masalah ekstrem. Hasil dari pendekatan bisnis yang ditunjukkan oleh putri Fenisia, yang meminta bantuan orang bijak, adalah pembangunan Kartago. Sebidang tanah untuk kota kuno dan terkenal ini diserahkan kepada Dido (itulah nama penguasa) oleh pemimpin salah satu suku Afrika. Area penjatahan tampaknya tidak terlalu besar baginya pada awalnya, karena menurut kontrak itu harus ditutup dengan kulit sapi. Tetapi sang putri memerintahkan prajuritnya untuk memotongnya menjadi potongan-potongan tipis dan membuat ikat pinggang dari mereka. Ternyata sangat panjang sehingga menutupi situs,di mana seluruh kota cocok.
Asal usul kalkulus
Dan sekarang mari kita beralih dari zaman kuno ke zaman selanjutnya. Menariknya, pada abad ke-17, Kepler terdorong untuk memahami dasar-dasar analisis matematis melalui pertemuan dengan seorang penjual anggur. Pedagang itu sangat berpengalaman dalam profesinya sehingga dia dapat dengan mudah menentukan volume minuman di dalam tong hanya dengan menurunkan torniket besi ke dalamnya. Berkaca pada keingintahuan seperti itu, ilmuwan terkenal itu berhasil memecahkan dilema ini untuk dirinya sendiri. Ternyata para pekerja yang terampil pada masa itu menguasai pembuatan bejana sedemikian rupa sehingga pada ketinggian dan jari-jari tertentu dari keliling cincin pengikat mereka akan memiliki kapasitas maksimum.
Ini untuk alasan Kepler untuk refleksi lebih lanjut. Bochars sampai pada solusi optimal dengan pencarian panjang, kesalahan dan upaya baru, melewati pengalaman mereka dari generasi ke generasi. Tapi Kepler ingin mempercepat proses dan belajar bagaimana melakukan hal yang sama dalam waktu singkat melalui perhitungan matematis. Semua perkembangannya, diambil oleh rekan-rekannya, berubah menjadi teorema Fermat dan Newton - Leibniz yang sekarang dikenal.
Masalah area maksimum
Mari kita bayangkan bahwa kita memiliki kawat dengan panjang 50 cm. Bagaimana cara membuat persegi panjang dengan luas terbesar?
Memulai keputusan, seseorang harus melanjutkan dari kebenaran yang sederhana dan diketahui. Jelas bahwa keliling gambar kita adalah 50 cm, juga terdiri dari dua kali panjang kedua sisi. Artinya, dengan menetapkan salah satunya sebagai "X", yang lain dapat dinyatakan sebagai (25 - X).
Dari sini kita mendapatkanluas yang sama dengan X (25 - X). Ekspresi ini dapat direpresentasikan sebagai fungsi yang mengambil banyak nilai. Penyelesaian soal membutuhkan pencarian maksimumnya, yang berarti Anda harus mencari titik ekstremnya.
Untuk melakukan ini, kami menemukan turunan pertama dan menyamakannya dengan nol. Hasilnya adalah persamaan sederhana: 25 - 2X=0.
Dari sini kita mengetahui bahwa salah satu sisi X=12, 5.
Karena itu, yang lain: 25 – 12, 5=12, 5.
Ternyata penyelesaian soal adalah persegi dengan sisi 12,5 cm.
Cara mencari kecepatan maksimum
Mari kita perhatikan satu contoh lagi. Bayangkan ada sebuah benda yang gerak lurusnya digambarkan dengan persamaan S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, dimana jarak perjalanan dinyatakan dalam meter, dan waktu dalam detik. Diperlukan untuk menemukan kecepatan maksimum. Bagaimana cara melakukannya? Download temukan kecepatannya, yaitu turunan pertama.
Kita mendapatkan persamaan: V=- 3t2 + 18t – 24. Sekarang, untuk menyelesaikan soal, kita perlu mencari titik ekstrem lagi. Ini harus dilakukan dengan cara yang sama seperti pada tugas sebelumnya. Temukan turunan pertama dari kecepatan dan samakan dengan nol.
Kami mendapatkan: - 6t + 18=0. Jadi t=3 s. Ini adalah waktu ketika kecepatan tubuh mengambil nilai kritis. Kami mengganti data yang diperoleh ke dalam persamaan kecepatan dan mendapatkan: V=3 m/s.
Tetapi bagaimana memahami bahwa ini adalah kecepatan maksimum, karena titik kritis suatu fungsi dapat berupa nilai maksimum atau minimumnya? Untuk memeriksa, Anda perlu mencari yang keduaturunan dari kecepatan. Itu dinyatakan sebagai angka 6 dengan tanda minus. Ini berarti bahwa titik yang ditemukan adalah maksimum. Dan dalam kasus nilai positif dari turunan kedua, akan ada minimum. Jadi, solusi yang ditemukan ternyata benar.
Tugas yang diberikan sebagai contoh hanyalah sebagian dari tugas yang dapat diselesaikan dengan cara menemukan titik ekstrem dari suatu fungsi. Sebenarnya masih banyak lagi. Dan pengetahuan seperti itu membuka kemungkinan tak terbatas bagi peradaban manusia.
