Mengetahui jarak dari suatu titik ke bidang atau ke garis lurus memungkinkan Anda menghitung volume dan luas permukaan gambar di ruang angkasa. Perhitungan jarak ini dalam geometri dilakukan dengan menggunakan persamaan yang sesuai untuk objek geometris yang ditentukan. Dalam artikel ini kami akan menunjukkan rumus apa yang dapat digunakan untuk menentukannya.
Persamaan garis dan bidang
Sebelum memberikan rumus untuk menentukan jarak dari titik ke bidang dan ke garis, mari kita tunjukkan persamaan apa yang menggambarkan benda-benda ini.
Untuk mendefinisikan suatu titik, digunakan seperangkat koordinat dalam sistem sumbu koordinat yang diberikan. Di sini kita hanya akan mempertimbangkan sistem persegi Cartesian di mana sumbu memiliki vektor satuan yang sama dan saling tegak lurus. Di pesawat, titik sewenang-wenang dijelaskan oleh dua koordinat, dalam ruang - oleh tiga.
Berbagai jenis persamaan digunakan untuk mendefinisikan garis lurus. Sesuai dengan topik artikel yang kami sajikanhanya dua dari mereka, yang digunakan dalam ruang dua dimensi untuk mendefinisikan garis.
Persamaan vektor. Ini memiliki notasi berikut:
(x; y)=(x0; y0) + (a; b).
Suku pertama di sini menunjukkan koordinat titik yang diketahui terletak pada garis. Suku kedua adalah koordinat vektor arah dikalikan dengan bilangan arbitrer.
Persamaan umum. Notasinya adalah sebagai berikut:
Ax + By + C=0;
di mana A, B, C adalah beberapa koefisien.
Persamaan umum lebih sering digunakan untuk menentukan garis pada bidang, namun, untuk menemukan jarak dari suatu titik ke garis pada bidang, akan lebih mudah untuk bekerja dengan ekspresi vektor.
Sebuah bidang dalam ruang tiga dimensi juga dapat ditulis dalam beberapa cara matematis. Namun demikian, paling sering dalam masalah ada persamaan umum, yang ditulis sebagai berikut:
Ax + By + Cz + D=0.
Keuntungan dari notasi ini dalam hubungannya dengan yang lain adalah bahwa notasi ini secara eksplisit memuat koordinat vektor yang tegak lurus bidang. Vektor ini disebut panduan untuk itu, bertepatan dengan arah normal, dan koordinatnya sama dengan (A; B; C).
Perhatikan bahwa ekspresi di atas bertepatan dengan bentuk penulisan persamaan umum untuk garis lurus dalam ruang dua dimensi, jadi ketika memecahkan masalah, Anda harus berhati-hati untuk tidak membingungkan objek geometris ini.
Jarak antara titik dan garis
Mari tunjukkan cara menghitung jarak antara garis lurus dantitik dalam ruang dua dimensi.
Biarkan ada beberapa titik Q(x1; y1) dan garis yang diberikan oleh:
(x; y)=(x0; y0) + (a; b).
Jarak antara garis dan titik dipahami sebagai panjang segmen yang tegak lurus terhadap garis ini, diturunkan dari titik Q.
Sebelum menghitung jarak ini, Anda harus mengganti koordinat Q ke dalam persamaan ini. Jika mereka memenuhinya, maka Q termasuk dalam garis yang diberikan, dan jarak yang sesuai sama dengan nol. Jika koordinat titik tidak mengarah pada kesetaraan, maka jarak antara objek geometris adalah bukan nol. Itu dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Di sini P adalah titik sembarang dari garis lurus, yang merupakan awal dari vektor PQ¯. Vektor u¯ adalah segmen pemandu untuk garis lurus, yaitu koordinatnya adalah (a; b).
Menggunakan rumus ini membutuhkan kemampuan untuk menghitung perkalian silang dalam pembilang.
Masalah dengan titik dan garis
Katakanlah Anda perlu mencari jarak antara Q(-3; 1) dan garis lurus yang memenuhi persamaan:
y=5x -2.
Mengganti koordinat Q ke dalam ekspresi, kita dapat memastikan bahwa Q tidak terletak pada garis. Anda dapat menerapkan rumus untuk d yang diberikan dalam paragraf di atas jika Anda mewakili persamaan ini dalam bentuk vektor. Mari kita lakukan seperti ini:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + (1; 5).
Sekarang mari kita ambil titik mana pun pada baris ini, misalnya (0; -2), dan buat vektor mulai dari itu dan berakhir di Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Sekarang terapkan rumus untuk menentukan jarak, kita mendapatkan:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 3, 53.
Jarak dari titik ke pesawat
Seperti dalam kasus garis lurus, jarak antara bidang dan titik dalam ruang dipahami sebagai panjang segmen, yang dari titik tertentu diturunkan secara tegak lurus ke bidang dan memotongnya.
Dalam ruang, sebuah titik diberikan oleh tiga koordinat. Jika sama dengan (x1; y1; z1), maka jarak antara bidang dan titik tersebut dapat dihitung dengan rumus:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Perhatikan bahwa menggunakan rumus memungkinkan Anda untuk menemukan hanya jarak dari bidang ke garis. Untuk menemukan koordinat titik di mana segmen tegak lurus berpotongan dengan bidang, perlu untuk menulis persamaan untuk garis yang dimiliki segmen ini, dan kemudian menemukan titik yang sama untuk garis ini dan bidang yang diberikan.
Masalah dengan bidang dan titik
Cari jarak dari suatu titik ke bidang jika diketahui bahwa titik tersebut memiliki koordinat (3; -1; 2) dan bidang tersebut diberikan oleh:
-y + 3z=0.
Untuk menggunakan rumus yang sesuai, pertama-tama kita tuliskan koefisien untukdiberikan pesawat. Karena variabel x dan suku bebas tidak ada, koefisien A dan D sama dengan nol. Kami memiliki:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa bidang ini melalui titik asal dan sumbu x adalah miliknya.
Substitusikan koordinat titik dan koefisien bidang ke dalam rumus jarak d, kita peroleh:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 2, 21.
Perhatikan bahwa jika Anda mengubah koordinat x suatu titik, maka jarak d tidak akan berubah. Fakta ini berarti bahwa himpunan titik (x; -1; 2) membentuk garis lurus yang sejajar dengan bidang yang diberikan.
