Studi tentang fungsi dan grafiknya merupakan topik yang mendapat perhatian khusus dalam kerangka kurikulum sekolah menengah. Beberapa dasar-dasar analisis matematika - diferensiasi - termasuk dalam profil tingkat ujian dalam matematika. Beberapa anak sekolah memiliki masalah dengan topik ini, karena mereka mengacaukan grafik fungsi dan turunannya, dan juga melupakan algoritma. Artikel ini akan membahas jenis tugas utama dan cara menyelesaikannya.
Berapa nilai fungsinya?
Fungsi matematika adalah persamaan khusus. Ini membangun hubungan antara angka. Fungsi tergantung pada nilai argumen.
Nilai fungsi dihitung menurut rumus yang diberikan. Untuk melakukan ini, gantikan argumen apa pun yang sesuai dengan rentang nilai yang valid dalam rumus ini sebagai ganti x dan lakukan operasi matematika yang diperlukan. Apa?
Bagaimana cara mencari nilai terkecil dari suatu fungsi,menggunakan fungsi grafik?
Representasi grafik ketergantungan suatu fungsi pada argumen disebut grafik fungsi. Itu dibangun di atas bidang dengan segmen unit tertentu, di mana nilai variabel atau argumen diplot di sepanjang sumbu absis horizontal, dan nilai fungsi yang sesuai di sepanjang sumbu ordinat vertikal.
Semakin besar nilai argumen, semakin ke kanan terletak pada grafik. Dan semakin besar nilai fungsi itu sendiri, semakin tinggi poinnya.
Apa yang dikatakan ini? Nilai terkecil dari fungsi akan menjadi titik yang terletak paling rendah pada grafik. Untuk menemukannya di segmen grafik, Anda perlu:
1) Temukan dan tandai ujung segmen ini.
2) Tentukan secara visual titik mana pada segmen ini yang terletak paling rendah.
3) Sebagai tanggapan, tuliskan nilai numeriknya, yang dapat ditentukan dengan memproyeksikan sebuah titik ke sumbu y.
Poin ekstrem pada grafik turunan. Di mana mencarinya?
Namun, saat menyelesaikan masalah, terkadang grafik yang diberikan bukan fungsi, tetapi turunannya. Untuk menghindari kesalahan bodoh yang tidak disengaja, lebih baik membaca ketentuan dengan cermat, karena itu tergantung di mana Anda perlu mencari titik ekstrem.
Jadi, turunannya adalah laju kenaikan fungsi sesaat. Menurut definisi geometris, turunan sesuai dengan kemiringan garis singgung, yang langsung ditarik ke titik yang diberikan.
Diketahui bahwa pada titik-titik ekstrem garis singgung sejajar dengan sumbu Ox. Artinya kemiringannya adalah 0.
Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pada titik ekstrem turunan terletak pada sumbu x atau menghilang. Namun selain itu, pada titik-titik ini, fungsi berubah arahnya. Artinya, setelah periode kenaikan, ia mulai menurun, dan turunannya, karenanya, berubah dari positif menjadi negatif. Atau sebaliknya.
Jika turunannya menjadi negatif dari positif, ini adalah titik maksimumnya. Jika dari negatif menjadi positif - titik minimum.
Penting: jika Anda perlu menentukan titik minimum atau maksimum dalam tugas, maka sebagai tanggapan Anda harus menulis nilai yang sesuai di sepanjang sumbu absis. Tetapi jika Anda perlu menemukan nilai fungsi, maka Anda harus terlebih dahulu mengganti nilai argumen yang sesuai ke dalam fungsi dan menghitungnya.
Bagaimana mencari titik ekstrem menggunakan turunan?
Contoh yang dipertimbangkan terutama mengacu pada tugas nomor 7 dari ujian, yang melibatkan bekerja dengan grafik turunan atau antiturunan. Tetapi tugas 12 dari USE - untuk menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen (terkadang terbesar) - dilakukan tanpa gambar apa pun dan memerlukan keterampilan dasar dalam analisis matematis.
Untuk melakukannya, Anda harus dapat menemukan titik ekstrem menggunakan turunan. Algoritma untuk menemukannya adalah sebagai berikut:
- Temukan turunan dari suatu fungsi.
- Setel ke nol.
- Temukan akar persamaan.
- Periksa apakah titik yang diperoleh adalah titik ekstrem atau titik belok.
Untuk melakukannya, buat diagram dan seterusnyainterval yang dihasilkan menentukan tanda-tanda turunan dengan mengganti angka-angka milik segmen ke dalam turunan. Jika, saat menyelesaikan persamaan, Anda mendapatkan akar perkalian ganda, ini adalah titik belok.
Menerapkan teorema, menentukan titik mana yang minimum dan mana yang maksimum
Menghitung nilai terkecil dari suatu fungsi menggunakan turunan
Namun, setelah melakukan semua tindakan ini, kami akan menemukan nilai titik minimum dan maksimum di sepanjang sumbu x. Tetapi bagaimana cara menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen?
Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan bilangan yang sesuai dengan fungsi pada titik tertentu? Anda perlu mengganti nilai argumen ke dalam rumus ini.
Titik minimum dan maksimum sesuai dengan nilai terkecil dan terbesar dari fungsi pada segmen. Jadi, untuk mencari nilai fungsi, Anda perlu menghitung fungsi menggunakan nilai x yang diperoleh.
Penting! Jika tugas mengharuskan Anda untuk menentukan titik minimum atau maksimum, maka sebagai tanggapan Anda harus menulis nilai yang sesuai di sepanjang sumbu x. Tetapi jika Anda perlu mencari nilai fungsi, maka Anda harus terlebih dahulu mengganti nilai yang sesuai dari argumen ke dalam fungsi dan melakukan operasi matematika yang diperlukan.
Apa yang harus saya lakukan jika tidak ada titik terendah di segmen ini?
Tetapi bagaimana cara menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada segmen tanpa titik ekstrem?
Ini berarti bahwa fungsi tersebut secara monoton menurun atau meningkat di atasnya. Maka Anda perlu mengganti nilai titik ekstrem dari segmen ini ke dalam fungsi. Ada dua cara.
1) Setelah dihitungturunan dan interval yang positif atau negatif, untuk menyimpulkan apakah fungsi tersebut menurun atau meningkat pada segmen tertentu.
Sesuai dengan mereka, substitusikan nilai argumen yang lebih besar atau lebih kecil ke dalam fungsi.
2) Cukup substitusikan kedua titik ke dalam fungsi dan bandingkan nilai fungsi yang dihasilkan.
Di mana tugas menemukan turunan adalah opsional
Sebagai aturan, dalam penugasan USE, Anda masih perlu menemukan turunannya. Hanya ada beberapa pengecualian.
1) Parabola.
Simpul parabola ditemukan dengan rumus.
Jika < 0, maka cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah. Dan puncaknya adalah titik maksimum.
Jika > 0, maka cabang parabola mengarah ke atas, titik minimumnya adalah titik puncaknya.
Setelah menghitung titik puncak parabola, Anda harus memasukkan nilainya ke dalam fungsi dan menghitung nilai fungsi yang sesuai.
2) Fungsi y=tg x. Atau y=ctg x.
Fungsi ini meningkat secara monoton. Oleh karena itu, semakin besar nilai argumen, semakin besar nilai fungsi itu sendiri. Selanjutnya, kita akan melihat bagaimana mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen dengan contoh.
Jenis tugas utama
Tugas: nilai terbesar atau terkecil dari fungsi. Contoh pada grafik.
Pada gambar terlihat grafik turunan fungsi f(x) pada interval [-6; 6]. Pada titik segmen mana [-3; 3] f(x) mengambil nilai terkecil?
Jadi, sebagai permulaan, Anda harus memilih segmen yang ditentukan. Di atasnya, fungsi sekali mengambil nilai nol dan mengubah tandanya - ini adalah titik ekstrem. Karena turunan dari negatif menjadi positif, itu berarti bahwa ini adalah titik minimum dari fungsi tersebut. Poin ini sesuai dengan nilai argumen 2.
Jawaban: 2.
Lanjutkan melihat contoh. Tugas: menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen.
Temukan nilai terkecil dari fungsi y=(x - 8) ex-7 pada interval [6; 8].
1. Ambil turunan dari fungsi kompleks.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Samakan turunan yang dihasilkan dengan nol dan selesaikan persamaannya.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, atau ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, tanpa akar
3. Substitusikan nilai titik ekstrem ke dalam fungsi, serta akar persamaan yang diperoleh.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Jawaban: -1.
Jadi, dalam artikel ini, teori utama dibahas tentang cara menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada segmen, yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas USE dalam matematika khusus dengan sukses. Juga elemen matematikaanalisis digunakan saat menyelesaikan tugas dari bagian C ujian, tetapi jelas mereka mewakili tingkat kerumitan yang berbeda, dan algoritme untuk solusinya sulit untuk dimasukkan ke dalam kerangka satu materi.
