Paralelisme bidang adalah konsep yang pertama kali muncul dalam geometri Euclidean lebih dari dua ribu tahun yang lalu.
Karakteristik utama geometri klasik
Kelahiran disiplin ilmu ini dikaitkan dengan karya terkenal pemikir Yunani kuno Euclid, yang menulis pamflet "Awal" pada abad ketiga SM. Dibagi menjadi tiga belas buku, Elemen adalah pencapaian tertinggi dari semua matematika kuno dan menetapkan postulat dasar yang terkait dengan sifat-sifat bangun datar.
Kondisi klasik untuk paralelisme bidang dirumuskan sebagai berikut: dua bidang dapat disebut sejajar jika mereka tidak memiliki titik yang sama satu sama lain. Ini adalah postulat kelima dari kerja Euclidean.
Sifat-sifat bidang sejajar
Dalam geometri Euclidean, biasanya ada lima di antaranya:
Properti pertama (menggambarkan paralelisme bidang dan keunikannya). Melalui satu titik yang terletak di luar bidang tertentu, kita dapat menggambar satu dan hanya satu bidang yang sejajar dengannya
- Properti kedua (juga disebut properti tiga paralel). Ketika dua pesawat beradasejajar dengan yang ketiga, mereka juga sejajar satu sama lain.
Sifat ketiga (dengan kata lain, disebut sifat garis lurus yang memotong paralelisme bidang). Jika satu garis lurus memotong salah satu bidang sejajar ini, maka garis tersebut akan memotong yang lain
Properti keempat (properti garis lurus yang dipotong pada bidang yang sejajar satu sama lain). Ketika dua bidang sejajar berpotongan dengan bidang ketiga (pada sembarang sudut), garis perpotongannya juga sejajar
Properti kelima (properti yang menggambarkan segmen garis paralel berbeda yang diapit di antara bidang yang sejajar satu sama lain). Ruas-ruas garis sejajar yang diapit antara dua bidang sejajar harus sama
Paralelisme bidang dalam geometri non-Euclidean
Pendekatan seperti itu, khususnya, adalah geometri Lobachevsky dan Riemann. Jika geometri Euclid direalisasikan pada ruang datar, maka geometri Lobachevsky diwujudkan dalam ruang melengkung negatif (cukup melengkung), dan dalam geometri Riemann ia menemukan realisasinya dalam ruang melengkung positif (dengan kata lain, bola). Ada pendapat stereotip yang sangat umum bahwa bidang paralel Lobachevsky (dan juga garis) berpotongan.
Namun, ini tidak benar. Memang, kelahiran geometri hiperbolik dikaitkan dengan bukti postulat kelima Euclid dan perubahannyapandangan di atasnya, bagaimanapun, definisi bidang dan garis paralel menyiratkan bahwa mereka tidak dapat berpotongan baik di Lobachevsky atau Riemann, tidak peduli di ruang apa mereka direalisasikan. Dan perubahan pandangan dan rumusan tersebut adalah sebagai berikut. Postulat bahwa hanya satu bidang sejajar yang dapat ditarik melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu bidang tertentu telah diganti dengan rumusan lain: melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu bidang tertentu, setidaknya dua garis yang terletak di bidang yang sama dengan bidang yang diberikan dan tidak memotongnya.
