Persamaan bidang. Sudut antara dua bidang

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Sebuah bidang, bersama dengan titik dan garis lurus, adalah elemen geometris dasar. Dengan penggunaannya, banyak figur dalam geometri spasial yang dibangun. Pada artikel ini, kita akan membahas lebih detail pertanyaan tentang bagaimana mencari sudut antara dua bidang.

Konsep

Sebelum berbicara tentang sudut antara dua bidang, Anda harus memahami dengan baik elemen apa dalam geometri yang sedang kita bicarakan. Mari kita pahami terminologinya. Sebuah pesawat adalah kumpulan tak berujung titik dalam ruang, menghubungkan yang kita dapatkan vektor. Yang terakhir akan tegak lurus terhadap beberapa satu vektor. Hal ini biasa disebut normal ke pesawat.

Gambar di atas menunjukkan sebuah bidang dan dua vektor normal padanya. Terlihat bahwa kedua vektor terletak pada garis lurus yang sama. Sudut antara keduanya adalah 180o.

Persamaan

Sudut antara dua bidang dapat ditentukan jika persamaan matematis dari elemen geometri yang dipertimbangkan diketahui. Ada beberapa jenis persamaan tersebut,yang namanya tercantum di bawah ini:

• tipe umum;
• vektor;
• dalam segmen.

Ketiga jenis ini adalah yang paling nyaman untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah, sehingga paling sering digunakan.

Persamaan tipe umum terlihat seperti ini:

Ax + By + Cz + D=0.

Di sini x, y, z adalah koordinat titik sembarang milik bidang yang diberikan. Parameter A, B, C dan D adalah angka. Kemudahan notasi ini terletak pada kenyataan bahwa bilangan A, B, C adalah koordinat vektor normal terhadap bidang.

Bentuk vektor bidang dapat direpresentasikan sebagai berikut:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + (a₁, b₁, c₁) + (a ₂, b₂, c_2).

Di sini (a₂, b₂, c₂) dan (a ₁, b₁, c₁) - parameter dari dua vektor koordinat yang termasuk dalam bidang yang dipertimbangkan. Titik (x₀, y₀, z_{0) juga terletak pada bidang ini. Parameter dan dapat mengambil nilai independen dan arbitrer.}

Akhirnya, persamaan bidang dalam segmen direpresentasikan dalam bentuk matematika berikut:

x/p + y/q + z/l=1.

Di sini p, q, l adalah bilangan spesifik (termasuk bilangan negatif). Persamaan semacam ini berguna ketika diperlukan untuk menggambarkan sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang, karena angka p, q, l menunjukkan titik potong dengan sumbu x, y dan zpesawat.

Perhatikan bahwa setiap jenis persamaan dapat dikonversi ke persamaan lainnya menggunakan operasi matematika sederhana.

Rumus sudut antara dua bidang

Sekarang perhatikan nuansa berikut. Dalam ruang tiga dimensi, dua bidang dapat ditemukan hanya dengan dua cara. Baik berpotongan atau sejajar. Di antara dua bidang, sudut adalah apa yang terletak di antara vektor pemandu mereka (normal). Berpotongan, 2 vektor membentuk 2 sudut (pada umumnya lancip dan tumpul). Sudut antara bidang dianggap lancip. Perhatikan persamaannya.

Rumus sudut antara dua bidang adalah:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Mudah untuk menebak bahwa ekspresi ini merupakan konsekuensi langsung dari produk skalar dari vektor normal n₁¯ dan n₂ ¯ untuk pesawat yang dipertimbangkan. Modulus hasil kali titik pada pembilang menunjukkan bahwa sudut hanya akan mengambil nilai dari 0^o hingga 90^{o. Hasil kali modulus vektor-vektor normal pada penyebut berarti hasil kali panjangnya.}

Catatan, jika (n₁¯n_{2¯)=0, maka bidang-bidang tersebut berpotongan tegak lurus.}

Contoh soal

Setelah mengetahui apa yang disebut sudut antara dua bidang, kita akan menyelesaikan masalah berikut. Sebagai contoh. Jadi, perlu untuk menghitung sudut antara bidang tersebut:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + (1, 1, -1) + (0, 2, 3).

Untuk menyelesaikan masalah, Anda perlu mengetahui vektor arah bidang. Untuk bidang pertama, vektor normalnya adalah: n₁¯=(2, -3, 0). Untuk menemukan vektor normal bidang kedua, kita harus mengalikan vektor setelah parameter dan. Hasilnya adalah vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Untuk menentukan sudut, kita menggunakan rumus dari paragraf sebelumnya. Kami mendapatkan:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Sudut yang dihitung dalam radian sesuai dengan 31,26^o. Jadi, bidang-bidang dari kondisi masalah berpotongan dengan sudut 31, 26^o.