Saat memecahkan masalah geometris dalam ruang, seringkali ada masalah di mana perlu untuk menghitung sudut antara objek spasial yang berbeda. Dalam artikel ini, kita akan membahas masalah mencari sudut antara bidang dan antara mereka dan garis lurus.
Garis dalam spasi
Diketahui bahwa secara mutlak setiap garis lurus pada bidang dapat didefinisikan dengan persamaan berikut:
y=ax + b
Di sini a dan b adalah beberapa angka. Jika kita mewakili garis lurus dalam ruang dengan ekspresi yang sama, maka kita mendapatkan bidang yang sejajar dengan sumbu z. Untuk definisi matematis dari garis spasial, metode solusi yang berbeda digunakan daripada dalam kasus dua dimensi. Ini terdiri dari penggunaan konsep "vektor arah".
Vektor pengarah garis lurus menunjukkan orientasinya dalam ruang. Parameter ini milik baris. Karena ada himpunan tak hingga dari vektor-vektor yang paralel dalam ruang, maka untuk menentukan objek geometris yang dipertimbangkan secara unik, juga perlu diketahui koordinat titik yang dimilikinya.
Asumsikan adatitik P(x0; y0; z0) dan vektor arah v¯(a; b; c), maka persamaan garis lurus dapat diberikan sebagai berikut:
(x; y; z)=P +v¯ atau
(x; y; z)=(x0; y0; z0) +(a; b; c)
Ungkapan ini disebut persamaan vektor parametrik garis lurus. Koefisien adalah parameter yang dapat mengambil nilai riil apa pun secara mutlak. Koordinat garis dapat direpresentasikan secara eksplisit dengan memperluas persamaan ini:
x=x0+a;
y=y0+b;
z=z0+c
Persamaan bidang
Ada beberapa bentuk penulisan persamaan bidang dalam ruang. Di sini kita akan mempertimbangkan salah satunya, yang paling sering digunakan saat menghitung sudut antara dua bidang atau antara salah satunya dan garis lurus.
Jika diketahui beberapa vektor n¯(A; B; C) yang tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan, dan titik P(x0; y 0; z0), yang termasuk di dalamnya, maka persamaan umum untuk yang terakhir adalah:
Ax + By + Cz + D=0 di mana D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Kami telah menghilangkan turunan dari ekspresi ini, yang cukup sederhana. Di sini kami hanya mencatat bahwa, mengetahui koefisien variabel dalam persamaan bidang, seseorang dapat dengan mudah menemukan semua vektor yang tegak lurus terhadapnya. Yang terakhir disebut normal dan digunakan dalam menghitung sudut antara bidang miring dan bidang dan antaraanalog sewenang-wenang.
Lokasi bidang dan rumus sudut di antaranya
Katakanlah ada dua pesawat. Apa pilihan untuk posisi relatif mereka di luar angkasa. Karena bidang memiliki dua dimensi tak terbatas dan satu nol, hanya dua opsi untuk orientasi timbal baliknya yang mungkin:
- mereka akan sejajar satu sama lain;
- mereka mungkin tumpang tindih.
Sudut antar bidang adalah indeks antara vektor arahnya, yaitu antara normalnya n1¯ dan n2¯.
Jelas, jika mereka sejajar dengan bidang, maka sudut persimpangan adalah nol di antara mereka. Jika mereka berpotongan, maka itu bukan nol, tetapi selalu tajam. Kasus khusus perpotongan adalah sudut 90o, ketika bidang saling tegak lurus satu sama lain.
Sudut antara n1¯ dan n2¯ mudah ditentukan dari produk skalar vektor-vektor ini. Artinya, rumus terjadi:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Asumsikan bahwa koordinat vektor-vektor ini adalah: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Kemudian, dengan menggunakan rumus untuk menghitung produk skalar dan modul vektor melalui koordinatnya, ekspresi di atas dapat ditulis ulang sebagai:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)(a22 + b 22 + c22)))
Modulus pada pembilang muncul karena mengecualikan nilai sudut tumpul.
Contoh penyelesaian masalah menentukan sudut perpotongan bidang
Mengetahui cara mencari sudut antara bidang, kita akan menyelesaikan masalah berikut. Dua bidang diberikan, persamaannya adalah:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Berapa sudut antara bidang?
Untuk menjawab pertanyaan soal, mari kita ingat bahwa koefisien variabel dalam persamaan umum bidang adalah koordinat vektor pemandu. Untuk pesawat yang ditunjukkan, kami memiliki koordinat normal berikut:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Sekarang kita menemukan produk skalar dari vektor-vektor ini dan modulnya, kita memiliki:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=(9 + 16 + 1)=26;
|n2¯|=(1 + 4 + 25)=30
Sekarang Anda dapat mengganti angka-angka yang ditemukan ke dalam rumus yang diberikan di paragraf sebelumnya. Kami mendapatkan:
α=arccos(|-16 | / (√2630) 55, 05o
Nilai yang dihasilkan sesuai dengan sudut lancip dari perpotongan bidang yang ditentukan dalam kondisitugas.
Sekarang perhatikan contoh lain. Diberikan dua pesawat:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Apakah mereka berpotongan? Mari kita tulis nilai koordinat vektor arahnya, hitung produk skalar dan modulnya:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=2;
|n2¯|=18
Maka sudut perpotongannya adalah:
α=arccos(|6| / (√218)=0o.
Sudut ini menunjukkan bahwa bidang tidak berpotongan, tetapi sejajar. Fakta bahwa mereka tidak cocok satu sama lain mudah untuk diperiksa. Mari kita ambil untuk ini titik sewenang-wenang milik yang pertama, misalnya, P(0; 3; 2). Substitusikan koordinatnya ke persamaan kedua, kita peroleh:
30 +33 + 8=17 0
Artinya, titik P hanya milik bidang pertama.
Jadi dua bidang sejajar ketika normalnya.
Bidang dan garis lurus
Dalam hal mempertimbangkan posisi relatif antara bidang dan garis lurus, ada beberapa opsi lebih banyak daripada dengan dua bidang. Fakta ini terhubung dengan fakta bahwa garis lurus adalah objek satu dimensi. Garis dan bidang dapat berupa:
- saling sejajar, dalam hal ini bidang tidak memotong garis;
- yang terakhir mungkin milik pesawat, sementara itu juga akan sejajar dengannya;
- kedua benda bisaberpotongan di beberapa sudut.
Mari kita pertimbangkan kasus terakhir terlebih dahulu, karena memerlukan pengenalan konsep sudut persimpangan.
Garis dan bidang, sudut di antara keduanya
Jika sebuah garis lurus memotong sebuah bidang, maka garis itu disebut miring terhadapnya. Titik potong tersebut disebut pangkal lereng. Untuk menentukan sudut antara benda-benda geometris ini, perlu untuk menurunkan garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang dari titik mana pun. Kemudian titik potong garis tegak lurus dengan bidang dan tempat perpotongan garis miring dengan bidang tersebut membentuk garis lurus. Yang terakhir disebut proyeksi garis asli ke bidang yang dipertimbangkan. Sudut lancip antara garis dan proyeksinya adalah yang diperlukan.
Definisi sudut antara bidang dan miring yang agak membingungkan akan memperjelas gambar di bawah ini.
Di sini sudut ABO adalah sudut antara garis AB dan bidang a.
Untuk menuliskan rumusnya, perhatikan sebuah contoh. Biarkan ada garis lurus dan bidang, yang dijelaskan oleh persamaan:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) +(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Sangat mudah untuk menghitung sudut yang diinginkan untuk benda-benda ini jika Anda menemukan produk skalar antara vektor arah garis dan bidang. Sudut lancip yang dihasilkan harus dikurangi dari 90o, kemudian diperoleh antara garis lurus dan bidang.
Gambar di atas menunjukkan algoritma yang dijelaskan untuk menemukandianggap sudut. Di sini adalah sudut antara normal dan garis, dan adalah antara garis dan proyeksinya ke bidang. Dapat dilihat bahwa jumlah mereka adalah 90o.
Di atas, disajikan rumus yang menjawab pertanyaan tentang cara mencari sudut antar bidang. Sekarang kami memberikan ekspresi yang sesuai untuk kasus garis lurus dan bidang:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)(A 2 + B 2 + C 2)))
Modulus dalam rumus hanya memungkinkan sudut lancip yang dihitung. Fungsi arcsine muncul sebagai ganti arccosine karena penggunaan rumus reduksi yang sesuai antara fungsi trigonometri (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Masalah: Sebuah bidang memotong garis lurus
Sekarang mari kita tunjukkan bagaimana bekerja dengan rumus di atas. Mari kita selesaikan masalah: perlu untuk menghitung sudut antara sumbu y dan bidang yang diberikan oleh persamaan:
y - z + 12=0
Pesawat ini ditunjukkan pada gambar.
Anda dapat melihat bahwa sumbu tersebut memotong sumbu y dan z di masing-masing titik (0; -12; 0) dan (0; 0; 12), dan sejajar dengan sumbu x.
Vektor arah garis y memiliki koordinat (0; 1; 0). Sebuah vektor tegak lurus terhadap bidang tertentu dicirikan oleh koordinat (0; 1; -1). Kami menerapkan rumus untuk sudut perpotongan garis lurus dan bidang, kami mendapatkan:
α=arcsin(|1| / (√12))=arcsin(1 / 2)=45o
Soal: garis lurus sejajar bidang
Sekarang mari kita putuskanmirip dengan masalah sebelumnya, pertanyaan yang diajukan berbeda. Persamaan bidang dan garis lurus diketahui:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) +(0; 2; 2)
Hal ini diperlukan untuk mengetahui apakah benda-benda geometris ini sejajar satu sama lain.
Kami memiliki dua vektor: arah garis lurus adalah (0; 2; 2) dan arah bidang adalah (1; 1; -1). Temukan produk titik mereka:
01 + 12 - 12=0
Hasil nol menunjukkan bahwa sudut antara vektor-vektor ini adalah 90o, yang membuktikan bahwa garis dan bidang sejajar.
Sekarang mari kita periksa apakah garis ini hanya sejajar atau juga terletak pada bidang. Untuk melakukan ini, pilih titik sembarang pada garis dan periksa apakah itu milik pesawat. Misalkan=0, maka titik P(1; 0; 0) termasuk ke dalam garis. Substitusikan ke persamaan bidang P:
1 - 3=-2 0
Titik P bukan milik bidang, yang berarti seluruh garis juga tidak terletak di dalamnya.
Di mana penting untuk mengetahui sudut antara objek geometris yang dipertimbangkan?
Rumus dan contoh pemecahan masalah di atas tidak hanya menarik secara teoritis. Mereka sering digunakan untuk menentukan kuantitas fisik penting dari sosok tiga dimensi nyata, seperti prisma atau piramida. Penting untuk dapat menentukan sudut antara bidang ketika menghitung volume gambar dan luas permukaannya. Selain itu, jika dalam kasus prisma lurus dimungkinkan untuk tidak menggunakan rumus ini untuk menentukannilai yang ditentukan, maka untuk semua jenis piramida penggunaannya tidak dapat dihindari.
Di bawah ini, perhatikan contoh penggunaan teori di atas untuk menentukan sudut piramida dengan alas persegi.
Piramida dan sudut-sudutnya
Gambar di bawah menunjukkan sebuah piramida, yang alasnya terletak sebuah bujur sangkar dengan sisi a. Tinggi bangun tersebut adalah h. Perlu menemukan dua sudut:
- antara permukaan samping dan alas;
- antara rusuk samping dan alas.
Untuk menyelesaikan masalah, Anda harus terlebih dahulu memasukkan sistem koordinat dan menentukan parameter dari simpul yang sesuai. Gambar tersebut menunjukkan bahwa titik asal koordinat bertepatan dengan titik di tengah alas bujur sangkar. Dalam hal ini, bidang dasar dijelaskan oleh persamaan:
z=0
Artinya, untuk setiap x dan y, nilai koordinat ketiga selalu nol. Bidang lateral ABC memotong sumbu z di titik B(0; 0; h), dan sumbu y di titik dengan koordinat (0; a/2; 0). Itu tidak melintasi sumbu x. Ini berarti bahwa persamaan bidang ABC dapat ditulis sebagai:
y / (a / 2) + z / h=1 atau
2hy + az - ah=0
Vektor AB¯ adalah sisi samping. Koordinat awal dan akhir adalah: A(a/2; a/2; 0) dan B(0; 0; h). Maka koordinat dari vektor itu sendiri:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Kami telah menemukan semua persamaan dan vektor yang diperlukan. Sekarang tinggal menggunakan formula yang dipertimbangkan.
Pertama kita hitung di piramida sudut antara bidang alasnyadan samping. Vektor normal yang sesuai adalah: n1¯(0; 0; 1) dan n2¯(0; 2h; a). Maka sudutnya adalah:
α=arccos(a / (4h2 + a2))
Sudut antara bidang dan tepi AB adalah:
β=arcsin(h / (a2 / 2 + h2))
Tetap menggantikan nilai spesifik dari sisi alas a dan tinggi h untuk mendapatkan sudut yang diperlukan.
