Dalam artikel yang menarik perhatian Anda, kami menawarkan contoh model matematika. Selain itu, kita akan memperhatikan tahapan membuat model dan menganalisis beberapa tugas yang terkait dengan pemodelan matematika.
Satu lagi pertanyaan kami adalah tentang model matematika dalam perekonomian, contoh, definisi yang akan kami pertimbangkan nanti. Kami mengusulkan untuk memulai percakapan kami dengan konsep "model", secara singkat mempertimbangkan klasifikasi mereka dan beralih ke pertanyaan utama kami.
Konsep "model"
Kita sering mendengar kata "model". Apa itu? Istilah ini memiliki banyak definisi, berikut adalah tiga di antaranya:
- objek tertentu yang dibuat untuk menerima dan menyimpan informasi, yang mencerminkan beberapa properti atau karakteristik, dan seterusnya, dari objek asli ini (objek spesifik ini dapat diekspresikan dalam berbagai bentuk: mental, deskripsi menggunakan tanda, dan seterusnya);
- model juga berarti tampilan situasi tertentu, kehidupan ataumanajerial;
- model dapat berfungsi sebagai salinan yang diperkecil dari objek apa pun (mereka dibuat untuk studi dan analisis yang lebih rinci, karena model mencerminkan struktur dan hubungan).
Berdasarkan semua yang telah dikatakan sebelumnya, kita dapat menarik kesimpulan kecil: model memungkinkan Anda untuk mempelajari sistem atau objek yang kompleks secara detail.
Semua model dapat diklasifikasikan menurut sejumlah kriteria:
- berdasarkan bidang penggunaan (pendidikan, eksperimental, ilmiah dan teknis, permainan, simulasi);
- by dynamics (statis dan dinamis);
- menurut cabang ilmu (fisik, kimia, geografis, sejarah, sosiologis, ekonomi, matematika);
- cara penyajian (materi dan informasi).
Model informasi, pada gilirannya, dibagi menjadi tanda dan verbal. Dan ikonik - di komputer dan non-komputer. Sekarang mari kita beralih ke pertimbangan rinci contoh model matematika.
Model matematika
Seperti yang Anda duga, model matematika mencerminkan beberapa fitur dari suatu objek atau fenomena menggunakan simbol matematika khusus. Matematika diperlukan untuk memodelkan pola-pola dunia sekitar dalam bahasanya sendiri yang spesifik.
Metode pemodelan matematika sudah ada sejak lama, ribuan tahun yang lalu, seiring dengan munculnya ilmu ini. Namun, dorongan untuk pengembangan metode pemodelan ini diberikan oleh munculnya komputer (komputer elektronik).
Sekarang mari kita beralih ke klasifikasi. Itu juga dapat dilakukan sesuai dengan beberapa tanda. Merekadisajikan pada tabel di bawah ini.
| Klasifikasi menurut cabang ilmu | Penerapan model matematika dalam fisika, sosiologi, kimia dan sebagainya |
| Menurut peralatan matematika yang digunakan dalam proses pemodelan | Model berdasarkan persamaan diferensial, transformasi aljabar diskrit dan sejenisnya |
| Dengan memodelkan tujuan | Menurut prinsip ini, ada model deskriptif, optimasi, multi-kriteria, permainan dan simulasi |
Kami mengusulkan untuk berhenti dan melihat lebih dekat pada klasifikasi terakhir, karena ini mencerminkan pola umum pemodelan dan tujuan model yang dibuat.
Model deskriptif
Dalam bab ini, kami mengusulkan untuk membahas lebih detail tentang model matematika deskriptif. Untuk memperjelas semuanya, sebuah contoh akan diberikan.
Untuk memulainya, pandangan ini bisa disebut deskriptif. Ini karena kami hanya membuat perhitungan dan prakiraan, tetapi kami tidak dapat memengaruhi hasil acara dengan cara apa pun.
Contoh mencolok dari model matematika deskriptif adalah perhitungan jalur terbang, kecepatan, jarak dari Bumi dari sebuah komet yang menyerbu tata surya kita yang luas. Model ini deskriptif, karena semua hasil yang diperoleh hanya dapat memperingatkan kita tentang beberapa jenis bahaya. Mempengaruhi hasil acara, sayangnya, kami tidakBisa. Namun, berdasarkan perhitungan yang diperoleh, adalah mungkin untuk mengambil tindakan apa pun untuk menyelamatkan kehidupan di Bumi.
Model optimasi
Sekarang kita akan berbicara sedikit tentang model ekonomi dan matematis, contohnya dapat berupa situasi yang berbeda. Dalam hal ini, kita berbicara tentang model yang membantu menemukan jawaban yang tepat dalam kondisi tertentu. Mereka harus memiliki beberapa parameter. Untuk memperjelas, perhatikan contoh dari bagian pertanian.
Kami memiliki lumbung, tetapi biji-bijian cepat rusak. Dalam hal ini, kita perlu memilih rezim suhu yang tepat dan mengoptimalkan proses penyimpanan.
Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan konsep "model optimasi". Dalam pengertian matematis, ini adalah sistem persamaan (baik linier maupun tidak), solusinya membantu menemukan solusi optimal dalam situasi ekonomi tertentu. Kami telah mempertimbangkan contoh model matematika (optimasi), tetapi saya ingin menambahkan: jenis ini termasuk dalam kelas masalah ekstrem, mereka membantu menggambarkan fungsi sistem ekonomi.
Perhatikan satu nuansa lagi: model bisa berbeda sifatnya (lihat tabel di bawah).
| deterministik | Dalam hal ini, hasilnya tergantung pada data input |
| stochastic | Deskripsi proses acak. Dalam hal ini, hasilnya tetap tidak terdefinisi |
Model multikriteria
Sekarang kami mengundang Anda untuk berbicara sedikit tentangmodel matematika optimasi multiobjektif. Sebelumnya, kami memberikan contoh model matematika untuk mengoptimalkan proses menurut salah satu kriteria, tetapi bagaimana jika ada banyak?
Contoh mencolok dari tugas multikriteria adalah pengaturan nutrisi yang tepat, sehat dan sekaligus ekonomis untuk kelompok besar orang. Tugas seperti itu sering ditemukan di tentara, kantin sekolah, perkemahan musim panas, rumah sakit, dan sebagainya.
Kriteria apa yang kita berikan dalam soal ini?
- Makanan harus sehat.
- Pengeluaran makanan harus diminimalkan.
Seperti yang Anda lihat, tujuan ini tidak sama sekali. Artinya dalam memecahkan suatu masalah perlu dicari solusi yang optimal, keseimbangan antara dua kriteria.
Model Game
Berbicara tentang model permainan, perlu dipahami konsep "teori permainan". Sederhananya, model-model ini mencerminkan model matematika dari konflik nyata. Perlu diketahui bahwa, tidak seperti konflik nyata, model matematika permainan memiliki aturan spesifiknya sendiri.
Sekarang akan ada sedikit informasi dari teori permainan yang akan membantu Anda memahami apa itu model permainan. Jadi, dalam model pasti ada pihak (dua atau lebih), yang biasanya disebut pemain.
Semua model memiliki beberapa karakteristik.
| Mata Pelajaran | Jumlah pemain |
| Strategi | Opsi untuk tindakan yang mungkin |
| Pembayaran | Hasil dari konflik (menang atau kalah). |
Model permainan dapat dipasangkan atau digandakan. Jika kita memiliki dua subjek, maka konfliknya berpasangan, jika lebih - kelipatan. Permainan antagonis juga dapat dibedakan, disebut juga permainan zero-sum. Ini adalah model di mana keuntungan salah satu peserta sama dengan kerugian yang lain.
Model simulasi
Pada bagian ini, kita akan memperhatikan simulasi model matematika. Contoh tugas adalah:
- model dinamika jumlah mikroorganisme;
- model pergerakan molekul, dan seterusnya.
Dalam hal ini, kita berbicara tentang model yang sedekat mungkin dengan proses nyata. Pada umumnya, mereka meniru manifestasi apa pun di alam. Dalam kasus pertama, misalnya, kita dapat memodelkan dinamika jumlah semut dalam satu koloni. Dalam hal ini, Anda dapat mengamati nasib setiap individu. Dalam hal ini, deskripsi matematis jarang digunakan, lebih sering ada kondisi tertulis:
- setelah lima hari betina bertelur;
- 20 hari kemudian semut mati, dan seterusnya.
Dengan demikian, model simulasi digunakan untuk menggambarkan sistem yang besar. Kesimpulan matematis adalah pengolahan data statistik yang diterima.
Persyaratan
Sangat pentingketahuilah bahwa ada beberapa persyaratan untuk model jenis ini, di antaranya adalah yang diberikan dalam tabel di bawah ini.
| Fleksibilitas | Properti ini memungkinkan Anda untuk menggunakan model yang sama saat mendeskripsikan grup objek dengan tipe yang sama. Penting untuk dicatat bahwa model matematika universal sepenuhnya independen dari sifat fisik objek yang diteliti |
| Kecukupan | Penting untuk dipahami di sini bahwa properti ini memungkinkan Anda untuk mereproduksi proses nyata seakurat mungkin. Dalam masalah operasi, sifat pemodelan matematika ini sangat penting. Contoh model adalah proses optimasi penggunaan sistem gas. Dalam hal ini, indikator yang dihitung dan yang sebenarnya dibandingkan, sebagai hasilnya, kebenaran model yang dikompilasi diperiksa |
| Akurasi | Persyaratan ini menyiratkan kebetulan nilai yang kita dapatkan saat menghitung model matematika dan parameter input dari objek nyata kita |
| Ekonomi | Persyaratan efektivitas biaya untuk setiap model matematika ditandai dengan biaya implementasi. Jika pekerjaan dengan model dilakukan secara manual, maka perlu untuk menghitung berapa banyak waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu masalah dengan menggunakan model matematika ini. Jika kita berbicara tentang desain berbantuan komputer, maka indikator biaya waktu dan memori komputer dihitung |
Tahappemodelan
Secara keseluruhan, merupakan kebiasaan untuk membedakan empat tahap dalam pemodelan matematika.
- Memformulasikan hukum yang menghubungkan bagian-bagian model.
- Penelitian masalah matematika.
- Klarifikasi kebetulan hasil praktis dan teoritis.
- Analisis dan modernisasi model.
Model ekonomi dan matematika
Pada bagian ini, kami akan menyoroti masalah model ekonomi dan matematika secara singkat. Contoh tugas adalah:
- pembentukan program produksi untuk produksi produk daging, memastikan keuntungan produksi yang maksimal;
- memaksimalkan keuntungan organisasi dengan menghitung jumlah optimal meja dan kursi yang akan diproduksi di pabrik mebel, dan seterusnya.
Model ekonomi-matematis menampilkan abstraksi ekonomi, yang dinyatakan menggunakan istilah dan tanda matematika.
Model matematika komputer
Contoh model matematika komputer adalah:
- masalah hidrolika menggunakan flowchart, diagram, tabel, dan sebagainya;
- masalah mekanika padat, dan sebagainya.
Model komputer adalah gambar dari suatu objek atau sistem yang disajikan sebagai:
- tabel;
- flowchart;
- diagram;
- grafik, dan seterusnya.
Pada saat yang sama, model ini mencerminkan struktur dan interkoneksi sistem.
Membangun model ekonomi-matematis
Kita sudah bicara tentang apa itu ekonomimodel matematika. Contoh pemecahan masalah akan dipertimbangkan sekarang. Kita perlu menganalisis program produksi untuk mengidentifikasi cadangan untuk meningkatkan keuntungan dengan pergeseran dalam bermacam-macam.
Kami tidak akan sepenuhnya mempertimbangkan masalah, tetapi hanya membangun model ekonomi dan matematis. Kriteria tugas kami adalah memaksimalkan keuntungan. Maka fungsi tersebut berbentuk:=р1х1+р2х2… cenderung maksimal. Dalam model ini, p adalah keuntungan per unit, x adalah jumlah unit yang diproduksi. Selanjutnya, berdasarkan model yang dibangun, perlu dilakukan perhitungan dan ringkasan.
Contoh membangun model matematika sederhana
Tugas. Nelayan kembali dengan hasil tangkapan sebagai berikut:
- 8 ikan - penghuni laut utara;
- 20% tangkapan - penghuni laut selatan;
- tidak ada satu ikan pun yang ditemukan dari sungai setempat.
Berapa banyak ikan yang dia beli di toko?
Jadi, contoh membangun model matematika dari masalah ini adalah sebagai berikut. Kami menyatakan jumlah total ikan sebagai x. Mengikuti kondisi tersebut, 0,2x adalah jumlah ikan yang hidup di garis lintang selatan. Sekarang kita menggabungkan semua informasi yang tersedia dan mendapatkan model matematika dari masalah: x=0, 2x+8. Kami memecahkan persamaan dan mendapatkan jawaban untuk pertanyaan utama: dia membeli 10 ikan di toko.
