Georg Kantor (foto diberikan kemudian dalam artikel) adalah seorang matematikawan Jerman yang menciptakan teori himpunan dan memperkenalkan konsep bilangan transfinit, besar tak hingga, tetapi berbeda satu sama lain. Dia juga mendefinisikan bilangan ordinal dan kardinal dan membuat aritmatikanya.
Georg Kantor: biografi singkat
Lahir di St. Petersburg pada 1845-03-03. Ayahnya adalah seorang Denmark beragama Protestan, Georg-Valdemar Kantor, yang bergerak di bidang perdagangan, termasuk di bursa efek. Ibunya Maria Bem adalah seorang Katolik dan berasal dari keluarga musisi terkemuka. Ketika ayah Georg jatuh sakit pada tahun 1856, keluarganya pindah pertama ke Wiesbaden dan kemudian ke Frankfurt untuk mencari iklim yang lebih sejuk. Bakat matematika anak itu muncul bahkan sebelum ulang tahunnya yang ke-15 saat belajar di sekolah swasta dan gimnasium di Darmstadt dan Wiesbaden. Pada akhirnya, Georg Cantor meyakinkan ayahnya tentang niatnya yang kuat untuk menjadi ahli matematika, bukan insinyur.
Setelah studi singkat di Universitas Zurich, pada tahun 1863 Kantor dipindahkan ke Universitas Berlin untuk belajar fisika, filsafat dan matematika. Di sana diadiajarkan:
- Karl Theodor Weierstrass, yang spesialisasinya dalam analisis mungkin memiliki pengaruh terbesar pada Georg;
- Ernst Eduard Kummer, yang mengajar aritmatika tingkat tinggi;
- Leopold Kronecker, ahli teori bilangan yang kemudian menentang Cantor.
Setelah menghabiskan satu semester di Universitas Göttingen pada tahun 1866, pada tahun berikutnya Georg menulis disertasi doktoralnya yang berjudul "Dalam matematika seni mengajukan pertanyaan lebih berharga daripada memecahkan masalah", mengenai masalah yang dimiliki Carl Friedrich Gauss dibiarkan tidak terpecahkan dalam bukunya Disquisitiones Arithmeticae (1801). Setelah mengajar sebentar di Sekolah Perempuan Berlin, Kantor mulai bekerja di Universitas Halle, di mana ia tinggal sampai akhir hayatnya, pertama sebagai guru, dari tahun 1872 sebagai asisten profesor, dan dari tahun 1879 sebagai profesor.
Penelitian
Pada awal rangkaian 10 makalah dari tahun 1869 hingga 1873, Georg Cantor mempertimbangkan teori bilangan. Karya tersebut mencerminkan hasratnya terhadap subjek tersebut, studinya tentang Gauss, dan pengaruh Kronecker. Atas saran Heinrich Eduard Heine, rekan Cantor di Halle, yang mengenali bakat matematikanya, ia beralih ke teori deret trigonometri, di mana ia memperluas konsep bilangan real.
Berdasarkan pekerjaan pada fungsi variabel kompleks oleh matematikawan Jerman Bernhard Riemann pada tahun 1854, pada tahun 1870 Kantor menunjukkan bahwa fungsi seperti itu hanya dapat direpresentasikan dalam satu cara - dengan deret trigonometri. Pertimbangan himpunan bilangan (titik) yangtidak akan bertentangan dengan pandangan seperti itu, membawanya, pertama, pada tahun 1872 ke definisi bilangan irasional dalam hal barisan konvergen bilangan rasional (fraksi bilangan bulat) dan selanjutnya ke awal pekerjaan pada pekerjaan hidupnya, teori himpunan dan konsep bilangan transfinit.
Teori Himpunan
Georg Cantor, yang teori himpunannya berasal dari korespondensi dengan ahli matematika dari Institut Teknik Braunschweig Richard Dedekind, adalah temannya sejak kecil. Mereka menyimpulkan bahwa himpunan, baik berhingga atau tak terhingga, adalah kumpulan elemen (misalnya bilangan, {0, ±1, ±2…}) yang memiliki sifat tertentu sambil mempertahankan individualitasnya. Tetapi ketika Georg Cantor menggunakan korespondensi satu-ke-satu (misalnya, {A, B, C} ke {1, 2, 3}) untuk mempelajari karakteristik mereka, dia dengan cepat menyadari bahwa mereka berbeda dalam derajat keanggotaannya, bahkan jika mereka adalah himpunan tak terbatas., yaitu himpunan, bagian atau subset yang mencakup objek sebanyak itu sendiri. Metodenya segera memberikan hasil yang luar biasa.
Pada tahun 1873, Georg Cantor (ahli matematika) menunjukkan bahwa bilangan rasional, meskipun tak hingga, dapat dihitung karena dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-satu dengan bilangan asli (yaitu 1, 2, 3, dll.). d.). Dia menunjukkan bahwa himpunan bilangan real, yang terdiri dari yang irasional dan rasional, tidak terbatas dan tak terhitung. Lebih paradoksnya, Cantor membuktikan bahwa himpunan semua bilangan aljabar mengandung elemen sebanyakberapa banyak himpunan semua bilangan bulat, dan bilangan transendental itu, yang bukan aljabar, yang merupakan bagian dari bilangan irasional, tidak dapat dihitung dan, oleh karena itu, jumlahnya lebih besar dari bilangan bulat, dan harus dianggap tak terbatas.
Lawan dan pendukung
Tapi makalah Kantor, di mana dia pertama kali mengemukakan hasil ini, tidak diterbitkan di Krell, karena salah satu pengulas, Kronecker, ditentang keras. Tetapi setelah intervensi Dedekind, ia diterbitkan pada tahun 1874 dengan judul "Tentang sifat-sifat karakteristik semua bilangan aljabar real."
Ilmu pengetahuan dan kehidupan pribadi
Pada tahun yang sama, saat berbulan madu dengan istrinya Wally Gutman di Interlaken, Swiss, Kantor bertemu Dedekind, yang berbicara positif tentang teori barunya. Gaji George kecil, tetapi dengan uang ayahnya, yang meninggal pada tahun 1863, ia membangun rumah untuk istri dan lima anaknya. Banyak makalahnya diterbitkan di Swedia dalam jurnal baru Acta Mathematica, diedit dan didirikan oleh Gesta Mittag-Leffler, yang termasuk orang pertama yang mengakui bakat matematikawan Jerman.
Koneksi dengan metafisika
Teori Cantor menjadi subjek studi yang sama sekali baru mengenai matematika tak hingga (misalnya deret 1, 2, 3, dll., dan himpunan yang lebih kompleks), yang sangat bergantung pada korespondensi satu-satu. Pengembangan metode pementasan baru oleh Kantorpertanyaan tentang kontinuitas dan ketidakterbatasan, memberikan penelitiannya karakter yang ambigu.
Ketika dia berargumen bahwa bilangan tak terhingga benar-benar ada, dia beralih ke filsafat kuno dan abad pertengahan mengenai ketakterhinggaan aktual dan potensial, serta pendidikan agama awal yang diberikan orang tuanya. Pada tahun 1883, dalam bukunya Foundations of General Set Theory, Kantor menggabungkan konsepnya dengan metafisika Plato.
Kronecker, yang mengklaim bahwa hanya bilangan bulat yang “ada” (“Tuhan menciptakan bilangan bulat, sisanya adalah pekerjaan manusia”), selama bertahun-tahun dengan keras menolak alasannya dan mencegah pengangkatannya di Universitas Berlin.
Bilangan tak berhingga
Pada tahun 1895-97. Georg Cantor sepenuhnya membentuk gagasannya tentang kontinuitas dan tak terhingga, termasuk bilangan ordinal dan kardinal tak terbatas, dalam karyanya yang paling terkenal, diterbitkan sebagai Kontribusi untuk Pembentukan Teori Bilangan Transfinit (1915). Esai ini berisi konsepnya, yang dipimpinnya dengan mendemonstrasikan bahwa himpunan tak hingga dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-satu dengan salah satu himpunan bagiannya.
Di bawah bilangan kardinal transfinit terkecil, yang dia maksud adalah kardinalitas himpunan apa pun yang dapat dikorespondensikan satu-satu dengan bilangan asli. Cantor menyebutnya aleph-null. Himpunan transfinit besar dilambangkan dengan aleph-one, aleph-two, dll. Dia mengembangkan lebih lanjut aritmatika bilangan transfinit, yang analog dengan aritmatika hingga. jadi, diamemperkaya konsep tak terhingga.
Pertentangan yang dia hadapi dan waktu yang dibutuhkan agar ide-idenya dapat diterima sepenuhnya adalah karena sulitnya mengevaluasi kembali pertanyaan kuno tentang apa itu bilangan. Cantor menunjukkan bahwa himpunan titik-titik pada suatu garis memiliki kardinalitas yang lebih tinggi daripada aleph-zero. Hal ini menyebabkan masalah yang terkenal dari hipotesis kontinum - tidak ada bilangan kardinal antara aleph-nol dan kekuatan titik pada garis. Masalah ini pada paruh pertama dan kedua abad ke-20 membangkitkan minat yang besar dan dipelajari oleh banyak matematikawan, termasuk Kurt Gödel dan Paul Cohen.
Depresi
Biografi Georg Kantor sejak tahun 1884 dibayangi oleh penyakit mentalnya, tetapi ia terus bekerja secara aktif. Pada tahun 1897 ia membantu mengadakan kongres matematika internasional pertama di Zurich. Sebagian karena dia ditentang oleh Kronecker, dia sering bersimpati dengan calon matematikawan muda dan mencari cara untuk menyelamatkan mereka dari pelecehan guru yang merasa terancam oleh ide-ide baru.
Pengakuan
Pada pergantian abad, karyanya diakui sepenuhnya sebagai dasar teori fungsi, analisis, dan topologi. Selain itu, buku Cantor Georg berfungsi sebagai dorongan untuk pengembangan lebih lanjut dari sekolah intuisionis dan formalis dari dasar logis matematika. Ini secara signifikan mengubah sistem pengajaran dan sering dikaitkan dengan "matematika baru".
Pada tahun 1911, Kantor termasuk di antara mereka yang diundang untukperayaan ulang tahun ke 500 Universitas St. Andrews di Skotlandia. Dia pergi ke sana dengan harapan bertemu Bertrand Russell, yang, dalam karyanya yang baru-baru ini diterbitkan Principia Mathematica, berulang kali merujuk ke ahli matematika Jerman, tetapi ini tidak terjadi. Universitas memberikan Kantor gelar kehormatan, tetapi karena sakit ia tidak dapat menerima penghargaan secara langsung.
Kantor pensiun pada tahun 1913, hidup dalam kemiskinan dan kelaparan selama Perang Dunia Pertama. Perayaan untuk menghormati ulang tahunnya yang ke-70 pada tahun 1915 dibatalkan karena perang, tetapi sebuah upacara kecil diadakan di rumahnya. Dia meninggal pada 1918-06-01 di Halle, di rumah sakit jiwa, di mana dia menghabiskan tahun-tahun terakhir hidupnya.
Georg Kantor: biografi. Keluarga
9 Agustus 1874, seorang matematikawan Jerman menikah dengan Wally Gutmann. Pasangan ini memiliki 4 putra dan 2 putri. Anak terakhir lahir pada tahun 1886 di sebuah rumah baru yang dibeli oleh Kantor. Warisan ayahnya membantunya menghidupi keluarganya. Kesehatan Kantor sangat terpengaruh oleh kematian putra bungsunya pada tahun 1899, dan depresi tidak meninggalkannya sejak itu.
