Cukup sering dalam ilmu matematika terdapat sejumlah kesulitan dan pertanyaan, dan banyak jawaban yang tidak selalu jelas. Tidak terkecuali topik seperti kardinalitas himpunan. Faktanya, ini tidak lebih dari ekspresi numerik dari jumlah objek. Dalam pengertian umum, himpunan adalah aksioma; ia tidak memiliki definisi. Ini didasarkan pada objek apa pun, atau lebih tepatnya himpunannya, yang bisa kosong, terbatas, atau tak terbatas. Selain itu, berisi bilangan bulat atau bilangan asli, matriks, barisan, segmen dan garis.
Tentang variabel yang ada
Suatu himpunan kosong atau nol tanpa nilai intrinsik dianggap sebagai elemen kardinal karena merupakan himpunan bagian. Himpunan semua himpunan bagian dari himpunan tak kosong S adalah himpunan. Dengan demikian, himpunan daya dari himpunan yang diberikan dianggap banyak, dapat dibayangkan, tetapi tunggal. Himpunan ini disebut himpunan pangkat dari S dan dilambangkan dengan P (S). Jika S berisi N elemen, maka P(S) berisi 2^n himpunan bagian, karena himpunan bagian dari P(S) adalah atau himpunan yang berisi r elemen dari S, r=1, 2, 3, … Terdiri dari segala sesuatu yang tak terhinggahimpunan M disebut besaran daya dan dilambangkan dengan P (M).
Elemen teori himpunan
Bidang pengetahuan ini dikembangkan oleh George Cantor (1845-1918). Hari ini digunakan di hampir semua cabang matematika dan berfungsi sebagai bagian fundamentalnya. Dalam teori himpunan, unsur-unsur direpresentasikan dalam bentuk daftar dan diberikan berdasarkan jenisnya (kumpulan kosong, tunggal, himpunan hingga dan tak hingga, sama dan setara, universal), persatuan, persimpangan, selisih, dan penambahan angka. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering berbicara tentang kumpulan benda seperti seikat kunci, sekawanan burung, setumpuk kartu, dll. Dalam matematika kelas 5 dan seterusnya, ada bilangan asli, bilangan bulat, prima, dan komposit.
Set berikut dapat dipertimbangkan:
- bilangan asli;
- huruf alfabet;
- peluang utama;
- segitiga dengan sisi yang berbeda.
Dapat dilihat bahwa contoh yang ditentukan ini adalah kumpulan objek yang terdefinisi dengan baik. Pertimbangkan beberapa contoh lagi:
- lima ilmuwan paling terkenal di dunia;
- tujuh gadis cantik di masyarakat;
- tiga ahli bedah terbaik.
Contoh kardinalitas ini bukan kumpulan objek yang terdefinisi dengan baik, karena kriteria untuk "paling terkenal", "paling cantik", "terbaik" bervariasi dari orang ke orang.
Set
Nilai ini adalah jumlah objek yang berbeda yang didefinisikan dengan baik. Dengan asumsi bahwa:
- wordset adalah sinonim, agregat, kelas dan mengandung elemen;
- objek, anggota adalah istilah yang sama;
- set biasanya dilambangkan dengan huruf kapital A, B, C;
- elemen himpunan dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c.
Jika "a" adalah anggota himpunan A, maka dikatakan bahwa "a" milik A. Mari kita nyatakan frasa "milik" dengan karakter Yunani "∈" (epsilon). Jadi, ternyata a A. Jika 'b' adalah elemen yang bukan milik A, ini direpresentasikan sebagai b A. Beberapa himpunan penting yang digunakan dalam matematika kelas 5 direpresentasikan menggunakan tiga metode berikut:
- aplikasi;
- registries atau tabel;
- aturan membuat formasi.
Pada pemeriksaan lebih dekat, formulir aplikasi didasarkan pada berikut ini. Dalam hal ini, deskripsi yang jelas tentang elemen himpunan diberikan. Mereka semua diapit oleh kurung kurawal. Misalnya:
- kumpulan bilangan ganjil kurang dari 7 - ditulis {kurang dari 7};
- kumpulan angka yang lebih besar dari 30 dan kurang dari 55;
- jumlah siswa di kelas yang lebih berat dari gurunya.
Dalam formulir registri (tabel), elemen dari satu set dicantumkan dalam sepasang tanda kurung {} dan dipisahkan dengan koma. Misalnya:
- Biarkan N menyatakan himpunan lima bilangan asli pertama. Oleh karena itu, N=→ formulir pendaftaran
- Set semua vokal alfabet bahasa Inggris. Jadi V={a, e, i, o, u, y} → formulir pendaftaran
- Jumlah semua bilangan ganjil kurang dari 9. Jadi, X={1, 3, 5, 7} → bentukregistri
- Set semua huruf dalam kata "Matematika". Oleh karena itu, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Formulir Pendaftaran
- W adalah himpunan empat bulan terakhir dalam setahun. Oleh karena itu, W={September, Oktober, November, Desember} → registry.
Perhatikan bahwa urutan elemen yang terdaftar tidak penting, tetapi mereka tidak boleh diulang. Bentuk konstruksi yang mapan, dalam kasus tertentu, aturan, rumus atau operator ditulis dalam sepasang tanda kurung sehingga himpunan didefinisikan dengan benar. Dalam bentuk pembuat himpunan, semua elemen harus memiliki properti yang sama untuk menjadi anggota dari nilai yang bersangkutan.
Dalam bentuk representasi himpunan ini, sebuah elemen himpunan dideskripsikan dengan karakter "x" atau variabel lain yang diikuti dengan titik dua (":" atau "|" digunakan untuk menunjukkan). Misalnya, misalkan P adalah himpunan bilangan yang dapat dihitung lebih besar dari 12. P dalam bentuk pembangun himpunan ditulis sebagai - {bilangan yang dapat dihitung dan lebih besar dari 12}. Ini akan membaca dengan cara tertentu. Artinya, "P adalah himpunan x elemen sedemikian rupa sehingga x dapat dihitung dan lebih besar dari 12."
Contoh penyelesaian menggunakan tiga metode representasi himpunan: jumlah bilangan bulat antara -2 dan 3. Di bawah ini adalah contoh berbagai jenis himpunan:
- Sebuah himpunan kosong atau nol yang tidak mengandung elemen apapun dan dilambangkan dengan simbol dan dibaca sebagai phi. Dalam bentuk daftar, ditulis {}. Himpunan hingga kosong, karena jumlah elemennya adalah 0. Misalnya, himpunan nilai bilangan bulat kurang dari 0.
- Jelas seharusnya tidak ada <0. Oleh karena itu, iniset kosong.
- Sebuah himpunan yang hanya berisi satu variabel disebut himpunan tunggal. Bukan sederhana atau majemuk.
Set terbatas
Suatu himpunan yang memuat sejumlah elemen tertentu disebut himpunan berhingga atau tak hingga. Kosong mengacu pada yang pertama. Misalnya, satu set semua warna pelangi.
Tak terhingga adalah himpunan. Unsur-unsur di dalamnya tidak dapat dihitung. Artinya, yang mengandung variabel serupa disebut himpunan tak hingga. Contoh:
- kekuatan himpunan semua titik pada bidang;
- kumpulan semua bilangan prima.
Tetapi Anda harus memahami bahwa semua kardinalitas dari gabungan suatu himpunan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk daftar. Misalnya, bilangan real, karena elemennya tidak sesuai dengan pola tertentu.
Bilangan pokok suatu himpunan adalah banyaknya anggota yang berbeda dalam suatu besaran A. Dinotasikan n (A).
Misalnya:
- A {x: x N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Oleh karena itu, n (A)=4.
- B=himpunan huruf pada kata ALJABAR.
Set ekivalen untuk perbandingan himpunan
Dua kardinalitas himpunan A dan B adalah sedemikian jika nomor kardinalnya sama. Simbol himpunan ekivalen adalah "↔". Contoh: A B.
Set yang sama: dua kardinalitas dari himpunan A dan B jika mengandung elemen yang sama. Setiap koefisien dari A adalah variabel dari B, dan masing-masing B adalah nilai tertentu dari A. Oleh karena itu, A=B. Berbagai jenis serikat kardinalitas dan definisinya dijelaskan dengan menggunakan contoh yang diberikan.
Esensi dari keterbatasan dan ketidakterbatasan
Apa perbedaan antara kardinalitas himpunan berhingga dan himpunan tak hingga?
Nilai pertama memiliki nama berikut jika kosong atau memiliki jumlah elemen yang terbatas. Dalam himpunan hingga, variabel dapat ditentukan jika memiliki jumlah terbatas. Misalnya, menggunakan bilangan asli 1, 2, 3. Dan proses daftar berakhir di beberapa N. Banyaknya elemen berbeda yang dihitung dalam himpunan hingga S dilambangkan dengan n (S). Itu juga disebut ordo atau kardinal. Dilambangkan secara simbolis sesuai dengan prinsip standar. Jadi, jika himpunan S adalah alfabet Rusia, maka itu berisi 33 elemen. Penting juga untuk diingat bahwa sebuah elemen tidak muncul lebih dari satu kali dalam sebuah himpunan.
Tak terbatas dalam himpunan
Sebuah himpunan disebut tak hingga jika elemen-elemennya tidak dapat dicacah. Jika ia memiliki bilangan asli 1, 2, 3, 4 yang tidak terbatas (yaitu, tidak dapat dihitung) untuk n apa pun. Himpunan yang tidak berhingga disebut tak hingga. Sekarang kita dapat mendiskusikan contoh nilai numerik yang sedang dipertimbangkan. Opsi nilai akhir:
- Biarkan Q={bilangan asli kurang dari 25}. Maka Q adalah himpunan hingga dan n (P)=24.
- Biarkan R={bilangan bulat antara 5 dan 45}. Maka R adalah himpunan hingga dan n (R)=38.
- Biarkan S={bilangan modulo 9}. Maka S={-9, 9} adalah himpunan hingga dan n (S)=2.
- Set semua orang.
- Jumlah semua burung.
Contoh tak terbatas:
- jumlah titik yang ada di pesawat;
- jumlah semua titik pada ruas garis;
- kumpulan bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 adalah tak hingga;
- semua bilangan bulat dan bilangan asli.
Dengan demikian, dari alasan di atas, jelaslah bagaimana membedakan himpunan berhingga dan tak hingga.
Kekuatan rangkaian kontinum
Jika kita membandingkan himpunan dan nilai-nilai lain yang ada, maka tambahan dilampirkan ke himpunan. Jika bersifat universal dan A adalah himpunan bagian dari, maka komplemen dari A adalah banyaknya semua elemen dari yang bukan elemen dari A. Secara simbolis, komplemen dari A terhadap adalah A'. Misalnya, 2, 4, 5, 6 adalah satu-satunya elemen dari yang bukan milik A. Oleh karena itu, A'={2, 4, 5, 6}
Sebuah himpunan dengan kontinum kardinalitas memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
- pelengkap dari besaran universal adalah nilai kosong yang dimaksud;
- variabel set nol ini bersifat universal;
- jumlah dan komplemennya terputus-putus.
Misalnya:
- Biarkan jumlah bilangan asli menjadi himpunan semesta dan A adalah genap. Maka A '{x:x adalah himpunan ganjil dengan angka yang sama}.
- Biarkan=himpunan huruf dalam alfabet. A=himpunan konsonan Kemudian A '=jumlah vokal.
- Komplemen himpunan semesta adalah besaran kosong. Dapat dilambangkan dengan. Maka '=Himpunan elemen-elemen yang tidak termasuk dalam. Himpunan kosong ditulis dan dilambangkan. Oleh karena itu=. Jadi, komplemen himpunan semesta adalah kosong.
Dalam matematika, "kontinum" terkadang digunakan untuk mewakili garis nyata. Dan secara lebih umum, untuk mendeskripsikan objek serupa:
- continuum (dalam teori himpunan) - garis nyata atau bilangan pokok yang sesuai;
- linear - setiap himpunan terurut yang berbagi properti tertentu dari garis nyata;
- continuum (dalam topologi) - ruang metrik terhubung kompak yang tidak kosong (terkadang Hausdorff);
- hipotesis bahwa tidak ada himpunan tak hingga yang lebih besar dari bilangan bulat tetapi lebih kecil dari bilangan real;
- kekuatan kontinum adalah bilangan kardinal yang mewakili ukuran himpunan bilangan real.
Pada dasarnya, kontinum (pengukuran), teori atau model yang menjelaskan transisi bertahap dari satu keadaan ke keadaan lain tanpa perubahan mendadak.
Masalah persatuan dan persimpangan
Diketahui bahwa perpotongan dua atau lebih himpunan adalah bilangan yang memuat semua elemen yang sekutu dalam nilai-nilai tersebut. Tugas kata pada himpunan diselesaikan untuk mendapatkan ide dasar tentang cara menggunakan properti gabungan dan persimpangan himpunan. Memecahkan masalah utama kata-kata diset terlihat seperti ini:
Biarkan A dan B dua himpunan berhingga. Sehingga n (A)=20, n (B)=28 dan n (A B)=36, cari n (A B)
Hubungan dalam himpunan menggunakan diagram Venn:
- Gabungan dua himpunan dapat dinyatakan dengan luas daerah yang diarsir yang menyatakan A B. A B jika A dan B adalah himpunan lepas.
- Perpotongan dua himpunan dapat digambarkan dengan diagram Venn. Dengan daerah yang diarsir mewakili A B.
- Perbedaan antara kedua himpunan dapat direpresentasikan dengan diagram Venn. Dengan daerah yang diarsir mewakili A - B.
- Hubungan antara tiga himpunan menggunakan diagram Venn. Jika menyatakan besaran universal, maka A, B, C adalah tiga himpunan bagian. Di sini ketiga himpunan saling tumpang tindih.
Meringkas kumpulan informasi
Kardinalitas suatu himpunan didefinisikan sebagai jumlah total elemen individu dalam himpunan tersebut. Dan nilai yang ditentukan terakhir digambarkan sebagai jumlah semua himpunan bagian. Saat mempelajari masalah seperti itu, metode, metode, dan solusi diperlukan. Jadi, untuk kardinalitas suatu himpunan, contoh berikut dapat berfungsi sebagai:
Biarkan A={0, 1, 2, 3}| |=4, dimana | Sebuah | merepresentasikan kardinalitas himpunan A.
Sekarang Anda dapat menemukan power pack Anda. Ini juga cukup sederhana. Seperti yang telah dikatakan, set daya diatur dari semua himpunan bagian dari nomor tertentu. Jadi pada dasarnya seseorang harus mendefinisikan semua variabel, elemen, dan nilai A lainnya,yaitu {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Sekarang hitung daya P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} yang memiliki 16 elemen. Jadi, kardinalitas himpunan A=16. Jelas, ini adalah metode yang membosankan dan tidak praktis untuk memecahkan masalah ini. Namun, ada rumus sederhana yang dengannya, secara langsung, Anda dapat mengetahui jumlah elemen dalam himpunan pangkat dari angka tertentu. | P |=2 ^ N, di mana N adalah jumlah elemen dalam beberapa A. Rumus ini dapat diperoleh dengan menggunakan kombinatorik sederhana. Jadi pertanyaannya adalah 2^11 karena jumlah anggota himpunan A adalah 11.
Jadi, himpunan adalah kuantitas yang dinyatakan secara numerik, yang dapat berupa objek apa pun yang mungkin. Misalnya, mobil, orang, angka. Dalam arti matematis, konsep ini lebih luas dan lebih umum. Jika pada tahap awal jumlah dan opsi untuk solusi mereka diurutkan, maka pada tahap menengah dan lebih tinggi, kondisi dan tugas menjadi rumit. Faktanya, kardinalitas persatuan suatu himpunan ditentukan oleh kepemilikan objek ke grup mana pun. Artinya, satu elemen milik kelas, tetapi memiliki satu atau lebih variabel.
