Polinomial, atau polinomial - salah satu struktur aljabar dasar, yang ditemukan di sekolah dan matematika tingkat tinggi. Studi tentang polinomial adalah topik yang paling penting dalam kursus aljabar, karena, di satu sisi, polinomial cukup sederhana dibandingkan dengan jenis fungsi lainnya, dan, di sisi lain, banyak digunakan dalam memecahkan masalah analisis matematika.. Jadi apa itu polinomial?
Definisi
Definisi istilah polinomial dapat diberikan melalui konsep monomial, atau monomial.
Sebuah monomial adalah ekspresi dari bentuk cx1i1x2 i2 …x in. Di sini adalah konstanta, x1, x2, … x - variabel, i1, i2, … in - eksponen variabel. Maka polinomial adalah jumlah berhingga dari monomial.
Untuk memahami apa itu polinomial, Anda dapat melihat contoh spesifik.
Trinomial persegi, yang dibahas secara rinci dalam kursus matematika kelas 8, adalah polinomial: ax2+bx+c.
Sebuah polinomial dengan dua variabel mungkin terlihat seperti ini: x2-xy+y2. Sepertipolinomial juga disebut kuadrat tidak lengkap selisih antara x dan y.
Klasifikasi polinomial
Derajat polinomial
Untuk setiap monomial dalam polinomial, cari jumlah eksponen i1+i2+…+in. Jumlah terbesar disebut eksponen polinomial, dan monomial yang sesuai dengan jumlah ini disebut suku tertinggi.
Omong-omong, konstanta apa pun dapat dianggap sebagai polinomial dengan derajat nol.
Polinomial tereduksi dan tak tereduksi
Jika koefisien c sama dengan 1 untuk suku tertinggi, maka diberikan polinomial, sebaliknya tidak.
Misalnya, ekspresi x2+2x+1 adalah polinomial tereduksi, dan 2x2+2x+1 tidak tereduksi.
Polinomial homogen dan tidak homogen
Jika derajat semua anggota polinomial sama, maka kita katakan bahwa polinomial tersebut homogen. Semua polinomial lain dianggap tidak homogen.
Polinomial homogen: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogen: x+1, x2+y.
Ada nama khusus untuk polinomial dua dan tiga suku: masing-masing binomial dan trinomial.
Polinomial dari satu variabel dialokasikan ke dalam kategori terpisah.
Penerapan polinomial satu variabel
Polinomial dari satu variabel mendekati fungsi kontinu yang baik dari berbagai kompleksitas dari satu argumen.
Faktanya adalah bahwa polinomial seperti itu dapat dianggap sebagai jumlah parsial dari deret pangkat, dan fungsi kontinu dapat direpresentasikan sebagai deret dengan kesalahan kecil yang sewenang-wenang. Deret perluasan suatu fungsi disebut deret Taylor, danjumlah parsial dalam bentuk polinomial - polinomial Taylor.
Mempelajari secara grafis perilaku suatu fungsi dengan mendekatinya dengan beberapa polinomial seringkali lebih mudah daripada menyelidiki fungsi yang sama secara langsung atau menggunakan deret.
Mencari turunan polinomial itu mudah. Untuk menemukan akar polinomial derajat 4 dan di bawahnya, ada rumus yang sudah jadi, dan untuk bekerja dengan derajat yang lebih tinggi, algoritma perkiraan presisi tinggi digunakan.
Ada juga generalisasi polinomial yang dijelaskan untuk fungsi beberapa variabel.
Binomial Newton
Polinomial terkenal adalah polinomial Newton, yang diturunkan oleh para ilmuwan untuk menemukan koefisien ekspresi (x + y).
Cukup dengan melihat beberapa pangkat pertama dari dekomposisi binomial untuk memastikan bahwa rumusnya bukan trivial:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Untuk setiap koefisien ada ekspresi yang memungkinkan Anda menghitungnya. Namun, menghafal rumus rumit dan melakukan operasi aritmatika yang diperlukan setiap kali akan sangat merepotkan bagi matematikawan yang sering membutuhkan ekspansi seperti itu. Segitiga Pascal membuat hidup mereka lebih mudah.
Angka dibangun sesuai dengan prinsip berikut. 1 ditulis di bagian atas segitiga, dan di setiap baris berikutnya menjadi satu digit lagi, 1 diletakkan di tepi, dan di tengah baris diisi dengan jumlah dua angka yang berdekatan dari yang sebelumnya.
Saat Anda melihat ilustrasinya, semuanya menjadi jelas.
Tentu saja, penggunaan polinomial dalam matematika tidak terbatas pada contoh yang diberikan, yang paling banyak dikenal.
