Munculnya konsep integral disebabkan karena kebutuhan untuk mencari fungsi antiturunan turunannya, serta untuk menentukan besar usaha, luas bangun kompleks, jarak yang ditempuh, dengan parameter yang digariskan oleh kurva yang dijelaskan oleh rumus nonlinier.
Dari kursus
dan fisika tahu bahwa usaha sama dengan hasil kali gaya dan jarak. Jika semua gerakan terjadi pada kecepatan konstan atau jarak diatasi dengan penerapan gaya yang sama, maka semuanya jelas, Anda hanya perlu mengalikannya. Apa yang dimaksud dengan integral konstanta? Ini adalah fungsi linier dari bentuk y=kx+c.
Tetapi gaya selama bekerja dapat berubah, dan dalam beberapa jenis ketergantungan alami. Situasi yang sama terjadi dengan perhitungan jarak yang ditempuh jika kecepatannya tidak konstan.
Jadi, sudah jelas untuk apa integral itu. Definisinya sebagai jumlah produk dari nilai-nilai fungsi dengan peningkatan argumen yang sangat kecil sepenuhnya menggambarkan arti utama dari konsep ini sebagai luas dari suatu gambar yang dibatasi dari atas oleh garis fungsi, dan di tepi dengan batas definisi.
Jean Gaston Darboux, matematikawan Prancis, di paruh kedua XIXabad dengan sangat jelas menjelaskan apa itu integral. Beliau menjelaskan dengan sangat jelas bahwa secara umum tidak akan sulit bahkan bagi siswa sekolah menengah pertama untuk memahami masalah ini.
Katakanlah ada fungsi dari bentuk kompleks apa pun. Sumbu y, di mana nilai-nilai argumen diplot, dibagi menjadi interval kecil, idealnya mereka sangat kecil, tetapi karena konsep infinity agak abstrak, cukup untuk membayangkan hanya segmen kecil, nilainya yang biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani (delta).
Fungsinya ternyata "dipotong" menjadi batu bata kecil.
Setiap nilai argumen sesuai dengan titik pada sumbu y, di mana nilai fungsi yang sesuai diplot. Tetapi karena area yang dipilih memiliki dua batas, maka akan ada juga dua nilai fungsi, lebih dan lebih sedikit.
Jumlah produk dari nilai yang lebih besar dengan kenaikan disebut jumlah Darboux besar, dan dilambangkan sebagai S. Dengan demikian, nilai yang lebih kecil di area terbatas, dikalikan dengan, semuanya membentuk jumlah Darboux kecil s. Bagian itu sendiri menyerupai trapesium persegi panjang, karena kelengkungan garis fungsi dengan kenaikan yang sangat kecil dapat diabaikan. Cara termudah untuk menemukan luas bangun geometris seperti itu adalah dengan menjumlahkan produk dari nilai fungsi yang lebih besar dan lebih kecil dengan kenaikan dan membaginya dengan dua, yaitu, menentukannya sebagai rata-rata aritmatika.
Inilah integral Darboux:
s=Σf(x) adalah jumlah yang kecil;
S=f(x+Δ)Δ adalah jumlah yang besar.
Jadi apa itu integral? Area yang dibatasi oleh garis fungsi dan batas definisi adalah:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Artinya, rata-rata aritmatika dari jumlah Darboux besar dan kecil.c adalah nilai konstanta yang disetel ke nol selama diferensiasi.
Berdasarkan ekspresi geometrik dari konsep ini, arti fisis integral menjadi jelas. Luas bangun tersebut, yang digariskan oleh fungsi kecepatan, dan dibatasi oleh selang waktu sepanjang sumbu absis, akan menjadi panjang lintasan yang ditempuh.
L=f(x)dx pada interval dari t1 sampai t2, Dimana
f(x) – fungsi kecepatan, yaitu rumus yang digunakan untuk mengubahnya dari waktu ke waktu;
L – panjang jalur;
t1 – waktu mulai;
t2 – waktu akhir perjalanan.
Persis sesuai dengan prinsip yang sama, jumlah kerja ditentukan, hanya jarak yang akan diplot sepanjang absis, dan jumlah gaya yang diterapkan pada setiap titik tertentu akan diplot di sepanjang ordinat.
