Polyhedra menarik perhatian matematikawan dan ilmuwan bahkan di zaman kuno. Orang Mesir membangun piramida. Dan orang Yunani mempelajari "polyhedra biasa". Mereka kadang-kadang disebut padatan Platonis. "Polihedra tradisional" terdiri dari wajah datar, tepi lurus, dan simpul. Tetapi pertanyaan utama selalu adalah aturan apa yang harus dipenuhi oleh bagian-bagian yang terpisah ini, serta kondisi global tambahan apa yang harus dipenuhi agar suatu objek memenuhi syarat sebagai polihedron. Jawaban atas pertanyaan ini akan disajikan dalam artikel.
Masalah dalam definisi
Terdiri dari apakah angka ini? Sebuah polihedron adalah bentuk padat tertutup yang memiliki wajah datar dan tepi lurus. Oleh karena itu, masalah pertama definisinya dapat disebut dengan tepat sisi-sisi gambar. Tidak semua wajah yang terletak di pesawat selalu merupakan tanda polihedron. Mari kita ambil "silinder segitiga" sebagai contoh. Terdiri dari apa? Bagian dari permukaannya tiga pasangberpotongan bidang vertikal tidak dapat dianggap poligon. Alasannya adalah karena tidak memiliki simpul. Permukaan gambar tersebut dibentuk berdasarkan tiga sinar yang bertemu pada satu titik.
Satu masalah lagi - pesawat. Dalam kasus "silinder segitiga" itu terletak di bagian yang tidak terbatas. Suatu bangun dikatakan cembung jika ruas garis yang menghubungkan dua titik pada himpunan juga ada di dalamnya. Mari kita sajikan salah satu sifat penting mereka. Untuk himpunan cembung, himpunan titik-titik yang sama pada himpunan tersebut. Ada jenis figur lain. Ini adalah polihedra 2D non-cembung yang memiliki takik atau lubang.
Bentuk yang bukan polihedra
Satu set titik datar dapat berbeda (misalnya, tidak cembung) dan tidak memenuhi definisi polihedron yang biasa. Bahkan melalui itu, dibatasi oleh bagian garis. Garis-garis polihedron cembung terdiri dari angka-angka cembung. Namun, pendekatan definisi ini mengecualikan angka yang menuju tak terhingga. Contohnya adalah tiga sinar yang tidak bertemu di titik yang sama. Tetapi pada saat yang sama, mereka terhubung ke simpul dari sosok lain. Secara tradisional, penting untuk polihedron yang terdiri dari permukaan datar. Namun seiring berjalannya waktu, konsep tersebut berkembang, yang menghasilkan peningkatan signifikan dalam memahami kelas polihedra asli yang "lebih sempit", serta munculnya definisi baru yang lebih luas.
Benar
Mari kita perkenalkan satu definisi lagi. Polihedron beraturan adalah polihedron yang setiap mukanya beraturan yang kongruenpoligon cembung, dan semua simpul adalah "sama". Ini berarti bahwa setiap simpul memiliki jumlah poligon beraturan yang sama. Gunakan definisi ini. Jadi Anda dapat menemukan lima polihedra biasa.
Langkah pertama ke Teorema Euler untuk polihedra
Orang Yunani tahu tentang poligon, yang sekarang disebut pentagram. Poligon ini dapat disebut beraturan karena semua sisinya sama panjang. Ada juga catatan penting lainnya. Sudut antara dua sisi yang berurutan selalu sama. Namun, ketika digambar dalam bidang, itu tidak mendefinisikan himpunan cembung, dan sisi-sisi polihedron saling berpotongan. Namun, ini tidak selalu terjadi. Matematikawan telah lama mempertimbangkan gagasan polihedra biasa "tidak cembung". Pentagram adalah salah satunya. "Poligon bintang" juga diizinkan. Beberapa contoh baru "polyhedra biasa" telah ditemukan. Sekarang mereka disebut polihedra Kepler-Poinsot. Kemudian, G. S. M. Coxeter dan Branko Grünbaum memperluas aturan dan menemukan "polyhedra biasa" lainnya.
Rumus polihedral
Studi sistematis tentang angka-angka ini dimulai relatif awal dalam sejarah matematika. Leonhard Euler adalah orang pertama yang memperhatikan bahwa rumus yang menghubungkan jumlah simpul, wajah, dan tepinya berlaku untuk polihedra 3D cembung.
Dia terlihat seperti ini:
V + F - E=2, di mana V adalah jumlah simpul polihedral, F adalah jumlah tepi polihedral, dan E adalah jumlah wajah.
Leonhard Euler adalah orang Swissmatematikawan yang dianggap sebagai salah satu ilmuwan terbesar dan paling produktif sepanjang masa. Dia telah buta untuk sebagian besar hidupnya, tetapi kehilangan penglihatannya memberinya alasan untuk menjadi lebih produktif. Ada beberapa rumus yang dinamai menurut namanya, dan rumus yang baru saja kita lihat terkadang disebut rumus polihedra Euler.
Ada satu klarifikasi. Rumus Euler, bagaimanapun, hanya bekerja untuk polihedra yang mengikuti aturan tertentu. Mereka terletak pada kenyataan bahwa formulir itu seharusnya tidak memiliki lubang. Dan itu tidak dapat diterima untuk menyeberang sendiri. Sebuah polihedron juga tidak dapat terdiri dari dua bagian yang disatukan, seperti dua kubus dengan titik yang sama. Euler menyebutkan hasil penelitiannya dalam suratnya kepada Christian Goldbach pada tahun 1750. Kemudian, dia menerbitkan dua makalah di mana dia menggambarkan bagaimana dia mencoba menemukan bukti dari penemuan barunya. Nyatanya, ada bentuk yang memberikan jawaban berbeda untuk V + F - E. Jawaban penjumlahan F + V - E=X disebut sifat Euler. Dia memiliki aspek lain. Beberapa bentuk bahkan mungkin memiliki karakteristik Euler yang negatif
Teori Grafik
Kadang-kadang dikatakan bahwa Descartes menurunkan teorema Euler lebih awal. Meskipun ilmuwan ini menemukan fakta tentang polihedra tiga dimensi yang memungkinkannya memperoleh formula yang diinginkan, dia tidak mengambil langkah tambahan ini. Hari ini, Euler dikreditkan dengan "bapak" teori graf. Dia memecahkan masalah jembatan Königsberg menggunakan ide-idenya. Tetapi ilmuwan tidak melihat polihedron dalam konteksteori grafik. Euler mencoba memberikan pembuktian suatu rumus berdasarkan penguraian polihedron menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana. Upaya ini gagal memenuhi standar modern untuk pembuktian. Meskipun Euler tidak memberikan pembenaran pertama yang benar untuk formulanya, seseorang tidak dapat membuktikan dugaan yang belum dibuat. Namun, hasilnya, yang dibuktikan kemudian, memungkinkan untuk menggunakan teorema Euler pada saat ini juga. Bukti pertama diperoleh oleh matematikawan Adrian Marie Legendre.
Bukti rumus Euler
Euler pertama kali merumuskan rumus polihedral sebagai teorema pada polihedra. Hari ini sering diperlakukan dalam konteks yang lebih umum dari grafik terhubung. Misalnya sebagai struktur yang terdiri dari titik-titik dan ruas-ruas garis yang menghubungkannya, yang berada pada bagian yang sama. Augustin Louis Cauchy adalah orang pertama yang menemukan hubungan penting ini. Ini berfungsi sebagai bukti teorema Euler. Dia, pada dasarnya, memperhatikan bahwa grafik polihedron cembung (atau yang sekarang disebut demikian) secara topologis homeomorfik ke bola, memiliki grafik terhubung planar. Apa itu? Graf planar adalah graf yang digambarkan pada bidang sedemikian rupa sehingga ujung-ujungnya bertemu atau berpotongan hanya di sebuah titik. Di sinilah hubungan antara teorema Euler dan grafik ditemukan.
Salah satu indikasi pentingnya hasil adalah bahwa David Epstein mampu mengumpulkan tujuh belas bukti yang berbeda. Ada banyak cara untuk membenarkan rumus polihedral Euler. Dalam arti, bukti yang paling jelas adalah metode yang menggunakan induksi matematika. Hasilnya bisa dibuktikanmenggambarnya sepanjang jumlah salah satu sisi, wajah atau simpul dari grafik.
Bukti Rademacher dan Toeplitz
Yang sangat menarik adalah bukti Rademacher dan Toeplitz berikut, berdasarkan pendekatan Von Staudt. Untuk membenarkan teorema Euler, anggaplah G adalah graf terhubung yang tertanam pada sebuah bidang. Jika memiliki skema, dimungkinkan untuk mengecualikan satu tepi dari masing-masingnya sedemikian rupa untuk mempertahankan properti yang tetap terhubung. Ada korespondensi satu-satu antara bagian-bagian yang dihilangkan untuk menuju ke graf terhubung tanpa penutupan dan bagian-bagian yang bukan merupakan sisi tak berhingga. Penelitian ini mengarah pada klasifikasi "permukaan yang dapat diorientasikan" dalam hal apa yang disebut karakteristik Euler.
Kurva Yordania. Teorema
Tesis utama, yang secara langsung atau tidak langsung digunakan dalam pembuktian rumus polihedra dari teorema Euler untuk graf, bergantung pada kurva Jordan. Ide ini terkait dengan generalisasi. Dikatakan bahwa setiap kurva tertutup sederhana membagi pesawat menjadi tiga set: titik di atasnya, di dalam dan di luarnya. Karena minat pada rumus polihedral Euler dikembangkan pada abad kesembilan belas, banyak upaya dilakukan untuk menggeneralisasikannya. Penelitian ini meletakkan dasar untuk pengembangan topologi aljabar dan menghubungkannya dengan aljabar dan teori bilangan.
Grup Moebius
Segera diketahui bahwa beberapa permukaan hanya dapat "berorientasi" secara konsisten secara lokal, tidak secara global. Grup Möbius yang terkenal berfungsi sebagai ilustrasi seperti itupermukaan. Itu ditemukan lebih awal oleh Johann Listing. Konsep ini mencakup pengertian genus dari suatu graf: jumlah deskriptor paling sedikit g. Itu harus ditambahkan ke permukaan bola, dan itu dapat disematkan pada permukaan yang diperluas sedemikian rupa sehingga ujung-ujungnya hanya bertemu di simpul. Ternyata setiap permukaan yang dapat diorientasikan dalam ruang Euclidean dapat dianggap sebagai bola dengan jumlah pegangan tertentu.
Diagram Euler
Ilmuwan membuat penemuan lain, yang masih digunakan sampai sekarang. Yang disebut diagram Euler ini adalah representasi grafik lingkaran, biasanya digunakan untuk menggambarkan hubungan antara himpunan atau kelompok. Bagan biasanya menyertakan warna yang menyatu di area di mana lingkaran tumpang tindih. Himpunan diwakili secara tepat oleh lingkaran atau oval, meskipun angka lain juga dapat digunakan untuk itu. Inklusi diwakili oleh tumpang tindih elips yang disebut lingkaran Euler.
Mereka mewakili himpunan dan himpunan bagian. Pengecualian adalah lingkaran yang tidak tumpang tindih. Diagram Euler terkait erat dengan representasi grafis lainnya. Mereka sering bingung. Representasi grafis ini disebut diagram Venn. Bergantung pada set yang dimaksud, kedua versi mungkin terlihat sama. Namun, dalam diagram Venn, lingkaran yang tumpang tindih tidak selalu menunjukkan kesamaan antara himpunan, tetapi hanya hubungan logis yang mungkin jika labelnya tidak sesuai.lingkaran berpotongan. Kedua pilihan tersebut diadopsi untuk pengajaran teori himpunan sebagai bagian dari gerakan matematika baru tahun 1960-an.
Teorema Fermat dan Euler
Euler meninggalkan jejak yang nyata dalam ilmu matematika. Teori bilangan aljabar diperkaya oleh teorema yang dinamai menurut namanya. Ini juga merupakan konsekuensi dari penemuan penting lainnya. Inilah yang disebut teorema Lagrange aljabar umum. Nama Euler juga dikaitkan dengan teorema kecil Fermat. Dikatakan bahwa jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi p, maka:
ap-1 - 1 habis dibagi p.
Terkadang penemuan yang sama memiliki nama yang berbeda, paling sering ditemukan dalam literatur asing. Kedengarannya seperti teorema Natal Fermat. Masalahnya, penemuan itu diketahui berkat sepucuk surat dari seorang ilmuwan yang dikirim pada malam 25 Desember 1640. Namun pernyataan itu sendiri sudah pernah ditemui sebelumnya. Itu digunakan oleh ilmuwan lain bernama Albert Girard. Fermat hanya mencoba membuktikan teorinya. Penulis mengisyaratkan dalam surat lain bahwa ia terinspirasi oleh metode keturunan tak terbatas. Tapi dia tidak memberikan bukti apapun. Kemudian, Eider juga beralih ke metode yang sama. Dan setelah dia - banyak ilmuwan terkenal lainnya, termasuk Lagrange, Gauss dan Minkosky.
Fitur identitas
Teorema Kecil Fermat juga disebut kasus khusus dari teorema dari teori bilangan karena Euler. Dalam teori ini, fungsi identitas Euler menghitung bilangan bulat positif hingga bilangan bulat n yang diberikan. Mereka adalah coprime sehubungan dengann. Teorema Euler dalam teori bilangan ditulis menggunakan huruf Yunani dan terlihat seperti (n). Hal ini dapat lebih formal didefinisikan sebagai jumlah bilangan bulat k dalam rentang 1 k n di mana pembagi persekutuan terbesar gcd(n, k) adalah 1. Notasi (n) juga dapat disebut fungsi phi Euler. Bilangan bulat k dari bentuk ini kadang-kadang disebut totatif. Inti dari teori bilangan, fungsi identitas Euler adalah perkalian, artinya jika dua bilangan m dan n adalah koprima, maka (mn)=(m)φ(n). Ini juga memainkan peran kunci dalam mendefinisikan sistem enkripsi RSA.
Fungsi Euler diperkenalkan pada tahun 1763. Namun, pada saat itu ahli matematika tidak memilih simbol khusus untuk itu. Dalam publikasi tahun 1784, Euler mempelajari fungsi ini secara lebih rinci dan memilih huruf Yunani untuk mewakilinya. James Sylvester menciptakan istilah "total" untuk fitur ini. Oleh karena itu, ini juga disebut sebagai total Euler. Jumlah (n) bilangan bulat positif n lebih besar dari 1 adalah banyaknya bilangan bulat positif kurang dari n yang relatif prima sampai n.φ(1) didefinisikan sebagai 1. Fungsi Euler atau fungsi phi(φ) adalah teori bilangan yang sangat penting fungsi yang sangat terkait dengan bilangan prima dan apa yang disebut orde bilangan bulat.
