Teorema Steiner atau teorema sumbu paralel untuk menghitung momen inersia

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Dalam deskripsi matematis gerak rotasi, penting untuk mengetahui momen inersia sistem terhadap sumbu. Dalam kasus umum, prosedur untuk menemukan kuantitas ini melibatkan penerapan proses integrasi. Teorema Steiner yang disebut membuatnya lebih mudah untuk menghitung. Mari kita pertimbangkan lebih detail di artikel.

Apa itu momen inersia?

Sebelum memberikan perumusan teorema Steiner, perlu untuk berurusan dengan konsep momen inersia. Misalkan ada suatu benda dengan massa tertentu dan bentuk yang berubah-ubah. Badan ini dapat berupa titik material atau objek dua dimensi atau tiga dimensi (batang, silinder, bola, dll.). Jika benda yang bersangkutan melakukan gerak melingkar mengelilingi suatu sumbu dengan percepatan sudut konstan, maka persamaan berikut dapat ditulis:

M=sayaα

Di sini, nilai M mewakili momen gaya total, yang memberikan percepatan ke seluruh sistem. Koefisien proporsionalitas di antara mereka - I, disebutmomen inersia. Besaran fisika ini dihitung dengan menggunakan rumus umum berikut:

I=_m (r²dm)

Di sini r adalah jarak antara elemen dengan massa dm dan sumbu rotasi. Ekspresi ini berarti bahwa perlu untuk menemukan jumlah produk dari jarak kuadrat r² dan massa dasar dm. Artinya, momen inersia bukanlah karakteristik murni benda, yang membedakannya dari inersia linier. Itu tergantung pada distribusi massa di seluruh objek yang berputar, serta pada jarak ke sumbu dan pada orientasi tubuh relatif terhadapnya. Misalnya, sebuah batang akan memiliki I yang berbeda jika diputar di sekitar pusat massa dan di ujungnya.

Momen inersia dan teorema Steiner

Ahli matematika terkenal Swiss, Jakob Steiner, membuktikan teorema pada sumbu paralel dan momen inersia, yang sekarang menyandang namanya. Teorema ini mendalilkan bahwa momen inersia untuk setiap benda tegar dari geometri sembarang relatif terhadap beberapa sumbu rotasi adalah sama dengan jumlah momen inersia terhadap sumbu yang memotong pusat massa benda dan sejajar dengan sumbu pertama., dan hasil kali massa tubuh dikali kuadrat jarak antara sumbu-sumbu ini. Secara matematis, rumusan ini ditulis sebagai berikut:

I_Z=I_O + ml²

I_Z dan I_O - momen inersia tentang sumbu Z dan sumbu O yang sejajar dengannya, yang melewati melalui pusat massa benda, l - jarak antara garis Z dan O.

Teorema memungkinkan, mengetahui nilai I_O, untuk menghitungmomen lain I_Z tentang sumbu yang sejajar dengan O.

Bukti teorema

Rumus teorema Steiner dapat dengan mudah diperoleh sendiri. Untuk melakukan ini, pertimbangkan benda sewenang-wenang pada bidang xy. Biarkan asal koordinat melewati pusat massa benda ini. Mari kita hitung momen inersia I_O yang melalui titik asal tegak lurus bidang xy. Karena jarak ke sembarang titik benda dinyatakan dengan rumus r=(x² + y²), maka kita mendapatkan integralnya:

I_O=_m (r²dm)=m _((x2^+y2^{) dm)}

Sekarang mari kita gerakkan sumbu sejajar sumbu x sejauh l, misal ke arah positif, maka perhitungan untuk sumbu baru momen inersia akan terlihat seperti ini:

I_Z=_m(((x+l)²+y ²)dm)

Perbesar kuadrat penuh dalam tanda kurung dan bagi integran, kita dapatkan:

I_Z=_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Suku pertama adalah nilai I_O, suku ketiga, setelah integrasi, memberikan istilah l²m, dan di sini suku kedua adalah nol. Pemnolan integral tertentu disebabkan oleh fakta bahwa itu diambil dari produk x dan elemen massa dm, yang dalamrata-rata memberikan nol, karena pusat massa berada di titik asal. Hasilnya, rumus teorema Steiner diperoleh.

Kasus yang dipertimbangkan pada bidang dapat digeneralisasikan ke benda tiga dimensi.

Memeriksa rumus Steiner pada contoh batang

Mari kita berikan contoh sederhana untuk mendemonstrasikan cara menggunakan teorema di atas.

Diketahui bahwa untuk batang dengan panjang L dan massa m, momen inersia I_O(sumbu yang melalui pusat massa) sama dengan m L² /12, dan momen I_Z(sumbu melewati ujung batang) sama dengan mL 2^{/3. Mari kita periksa data ini menggunakan teorema Steiner. Karena jarak antara kedua sumbu adalah L/2, maka kita mendapatkan momen I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Yaitu, kami memeriksa rumus Steiner dan mendapatkan nilai yang sama untuk I_Z seperti pada sumbernya.

Perhitungan serupa dapat dilakukan untuk benda lain (silinder, bola, piringan), sambil memperoleh momen inersia yang diperlukan, dan tanpa melakukan integrasi.

Momen inersia dan sumbu tegak lurus

Teorema yang dipertimbangkan menyangkut sumbu paralel. Untuk kelengkapan informasi, juga berguna untuk memberikan teorema untuk sumbu tegak lurus. Dirumuskan sebagai berikut: untuk benda datar berbentuk sembarang, momen inersia terhadap sumbu yang tegak lurus terhadapnya akan sama dengan jumlah dua momen inersia tentang dua yang saling tegak lurus dan terletakdi bidang objek sumbu, dengan ketiga sumbu melewati titik yang sama. Secara matematis, ini ditulis sebagai berikut:

Aku_z=aku_x + aku_y

Di sini z, x, y adalah tiga sumbu rotasi yang saling tegak lurus.

Perbedaan penting antara teorema ini dan teorema Steiner adalah bahwa teorema ini hanya berlaku untuk benda padat datar (dua dimensi). Namun demikian, dalam praktiknya ini banyak digunakan, secara mental memotong tubuh menjadi lapisan yang terpisah, dan kemudian menambahkan momen inersia yang diperoleh.