Polyhedra tidak hanya menempati tempat yang menonjol dalam geometri, tetapi juga terjadi dalam kehidupan sehari-hari setiap orang. Belum lagi barang-barang rumah tangga yang dibuat secara artifisial dalam bentuk berbagai poligon, dimulai dengan kotak korek api dan diakhiri dengan elemen arsitektur, kristal berbentuk kubus (garam), prisma (kristal), piramida (scheelite), segi delapan (berlian), dll. e.
Konsep polihedron, jenis polihedra dalam geometri
Geometri sebagai ilmu berisi bagian stereometri yang mempelajari karakteristik dan sifat bangun tiga dimensi. Badan geometris, yang sisi-sisinya dalam ruang tiga dimensi dibentuk oleh bidang terbatas (wajah), disebut "polihedra". Jenis polihedra mencakup lebih dari selusin perwakilan, berbeda dalam jumlah dan bentuk wajah.
Namun, semua polihedra memiliki sifat yang sama:
- Mereka semua memiliki 3 komponen penting: wajah(permukaan poligon), vertex (sudut yang terbentuk pada pertemuan dua sisi), edge (sisi suatu bangun atau segmen yang terbentuk pada pertemuan dua sisi).
- Setiap tepi poligon menghubungkan dua dan hanya dua wajah yang saling berdekatan.
- Konveksitas berarti bahwa tubuh sepenuhnya terletak hanya pada satu sisi bidang di mana salah satu wajah terletak. Aturan ini berlaku untuk semua permukaan polihedron. Angka-angka geometris seperti itu dalam stereometri disebut polihedra cembung. Pengecualian adalah polihedral berbentuk bintang, yang merupakan turunan dari padatan geometris polihedral beraturan.
Polyhedra dapat secara kondisional dibagi menjadi:
- Jenis polihedra cembung, terdiri dari kelas-kelas berikut: biasa atau klasik (prisma, piramida, paralelepiped), reguler (juga disebut padatan Platonis), semi-reguler (nama kedua - padatan Archimedean).
- Polihedra tidak cembung (berbentuk bintang).
Prisma dan sifat-sifatnya
Stereometri sebagai cabang geometri mempelajari sifat-sifat bangun datar tiga dimensi, jenis polihedra (prisma adalah salah satunya). Prisma adalah benda geometris yang harus memiliki dua wajah yang benar-benar identik (mereka juga disebut alas) yang terletak pada bidang paralel, dan jumlah sisi ke-n dalam bentuk jajaran genjang. Pada gilirannya, prisma juga memiliki beberapa varietas, termasuk jenis polihedra seperti:
- Sejajar - dibentuk jika alasnya jajar genjang -poligon dengan 2 pasang sudut yang berhadapan sama besar dan 2 pasang sisi berhadapan yang kongruen.
- Sebuah prisma lurus memiliki tepi yang tegak lurus dengan alasnya.
- Prisma miring ditandai dengan adanya sudut tidak siku-siku (selain 90) antara permukaan dan alasnya.
- Prisma beraturan dicirikan oleh alas berbentuk poligon beraturan dengan sisi sisi yang sama.
Sifat dasar prisma:
- Basis kongruen.
- Semua tepi prisma sama dan sejajar satu sama lain.
- Semua sisi sisi berbentuk jajar genjang.
Piramida
Piramida adalah tubuh geometris, yang terdiri dari satu alas dan jumlah wajah segitiga ke-n, terhubung pada satu titik - bagian atas. Perlu dicatat bahwa jika sisi sisi piramida harus diwakili oleh segitiga, maka alasnya dapat berupa poligon segitiga, atau segi empat, atau segi lima, dan seterusnya ad infinitum. Dalam hal ini, nama piramida akan sesuai dengan poligon di pangkalan. Misalnya, jika sebuah segitiga terletak di dasar piramida, itu adalah piramida segitiga, segiempat adalah segi empat, dll.
Piramida adalah polihedra seperti kerucut. Jenis polihedra dari kelompok ini, selain yang tercantum di atas, juga termasuk perwakilan berikut:
- Piramida beraturan memiliki poligon beraturan di dasarnya, dan tingginya diproyeksikan ke tengahlingkaran tertulis di dasar atau dibatasi di sekitarnya.
- Piramida segi empat terbentuk jika salah satu sisinya berpotongan dengan alasnya membentuk sudut siku-siku. Dalam hal ini, juga adil untuk menyebut tepi ini sebagai ketinggian piramida.
Properti Piramida:
- Jika semua sisi piramida kongruen (dengan ketinggian yang sama), maka mereka semua berpotongan dengan alas pada sudut yang sama, dan di sekitar alas Anda dapat menggambar lingkaran dengan pusat yang bertepatan dengan proyeksi puncak piramida.
- Jika alas piramida adalah poligon beraturan, maka semua sisi sisinya kongruen, dan sisi-sisinya adalah segitiga sama kaki.
Polihedron beraturan: jenis dan sifat polihedra
Dalam stereometri, tempat khusus ditempati oleh benda-benda geometris dengan wajah yang benar-benar sama, di simpul-simpul di mana jumlah tepi yang sama terhubung. Padatan ini disebut padatan Platonis, atau polihedra biasa. Jenis polihedra dengan sifat seperti itu hanya memiliki lima bentuk:
- Tetrahedron.
- Heksahedron.
- Octahedron.
- Dodecahedron.
- Icosahedron.
Polihedra biasa berutang nama mereka kepada filsuf Yunani kuno Plato, yang menggambarkan benda-benda geometris ini dalam tulisannya dan menghubungkannya dengan unsur-unsur alam: bumi, air, api, udara. Kelima sosok itu dianugerahi kesamaan dengan struktur alam semesta. Menurutnya, atom-atom unsur alam bentuknya menyerupai jenis polihedra biasa. Karena propertinya yang paling menarik -simetri, benda-benda geometris ini sangat menarik tidak hanya bagi matematikawan dan filsuf kuno, tetapi juga bagi arsitek, seniman, dan pematung sepanjang masa. Kehadiran hanya 5 jenis polihedra dengan simetri mutlak dianggap sebagai penemuan mendasar, mereka bahkan dianugerahi hubungan dengan prinsip ilahi.
Heksahedron dan sifat-sifatnya
Dalam bentuk segi enam, penerus Plato memiliki kesamaan dengan struktur atom bumi. Tentu saja, pada saat ini, hipotesis ini telah sepenuhnya terbantahkan, yang, bagaimanapun, tidak menghalangi para tokoh untuk menarik pikiran tokoh-tokoh terkenal dengan estetika mereka di zaman modern.
Dalam geometri, segi enam, juga dikenal sebagai kubus, dianggap sebagai kasus khusus dari paralelepiped, yang, pada gilirannya, adalah sejenis prisma. Dengan demikian, sifat-sifat kubus terkait dengan sifat-sifat prisma, dengan satu-satunya perbedaan adalah bahwa semua wajah dan sudut kubus sama satu sama lain. Properti berikut mengikuti dari ini:
- Semua rusuk kubus kongruen dan terletak pada bidang sejajar satu sama lain.
- Semua wajah adalah persegi yang kongruen (ada total 6 dalam kubus), salah satunya dapat diambil sebagai alas.
- Semua sudut antarmuka adalah 90.
- Jumlah sisi yang sama keluar dari setiap titik, yaitu 3.
- Kubus memiliki 9 sumbu simetri, yang semuanya berpotongan di titik perpotongan diagonal segi enam, yang disebut pusat simetri.
Tetrahedron
Tetrahedron adalah tetrahedron dengan wajah yang sama dalam bentuk segitiga, yang masing-masing simpulnyaadalah titik pertemuan tiga wajah.
Sifat tetrahedron beraturan:
- Semua wajah tetrahedron adalah segitiga sama sisi, yang berarti semua wajah tetrahedron kongruen.
- Karena alas diwakili oleh bangun geometris beraturan, yaitu memiliki sisi yang sama, wajah tetrahedron bertemu pada sudut yang sama, yaitu, semua sudutnya sama.
- Jumlah sudut datar pada setiap simpul adalah 180, karena semua sudutnya sama, maka setiap sudut dari segi empat beraturan adalah 60.
- Masing-masing simpul diproyeksikan ke titik perpotongan dari ketinggian wajah (orthocenter) yang berlawanan.
Segi delapan dan sifat-sifatnya
Menggambarkan jenis polihedra beraturan, orang tidak dapat gagal untuk mencatat objek seperti segi delapan, yang dapat direpresentasikan secara visual sebagai dua piramida beraturan segi empat yang direkatkan oleh alas.
Sifat segi delapan:
- Nama benda geometris itu sendiri menunjukkan jumlah wajahnya. Oktahedron terdiri dari 8 segitiga sama sisi yang kongruen, pada setiap titik sudutnya bertemu jumlah wajah yang sama, yaitu 4.
- Karena semua wajah segi delapan adalah sama, sudut antarmukanya juga sama, masing-masing sama dengan 60, dan jumlah sudut bidang dari salah satu simpul adalah 240.
Dodecahedron
Jika kita membayangkan bahwa semua wajah benda geometris adalah segi lima biasa, maka kita mendapatkan dodecahedron -gambar 12 poligon.
Sifat dodecahedron:
- Tiga wajah berpotongan di setiap titik.
- Semua sisi adalah sama dan memiliki panjang rusuk yang sama dan luas yang sama.
- Dodecahedron memiliki 15 sumbu dan bidang simetri, dan salah satunya melewati titik puncak wajah dan tengah sisi yang berlawanan.
Icosahedron
Tidak kalah menarik dari dodecahedron, sosok icosahedron adalah tubuh geometris tiga dimensi dengan 20 wajah yang sama. Di antara sifat-sifat dua puluh hedron biasa, berikut ini dapat dicatat:
- Semua wajah ikosahedron adalah segitiga sama kaki.
- Lima wajah bertemu di setiap titik polihedron, dan jumlah sudut yang berdekatan dari titik tersebut adalah 300.
- Icosahedron, seperti dodecahedron, memiliki 15 sumbu dan bidang simetri yang melewati titik tengah wajah yang berlawanan.
Poligon semi-reguler
Selain padatan Platonis, kelompok polihedra cembung juga termasuk padatan Archimedean, yaitu polihedra beraturan yang terpotong. Jenis polihedra dari kelompok ini memiliki sifat-sifat berikut:
- Badan geometris memiliki wajah berpasangan yang sama dari beberapa jenis, misalnya, tetrahedron terpotong memiliki 8 wajah, seperti tetrahedron biasa, tetapi dalam kasus padatan Archimedean, 4 wajah akan berbentuk segitiga dan 4 akan menjadi heksagonal.
- Semua sudut dari satu simpul kongruen.
Bintang polihedra
Perwakilan dari jenis benda geometris non-volumetrik adalah polihedra berbintang yang wajahnya saling berpotongan. Mereka dapat dibentuk dengan menggabungkan dua padatan 3D biasa atau dengan memperluas wajah mereka.
Dengan demikian, polihedra berbintang tersebut dikenal sebagai: bentuk-bentuk berbintang dari oktahedron, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedron, icosododecahedron.
