Logarithms: contoh dan solusi

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan kekuatan, eksponennya selalu dijumlahkan (a^ba^c=a^{b+ c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, matematikawan Virasen membuat tabel indikator bilangan bulat. Merekalah yang bertugas untuk penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di mana-mana di mana diperlukan untuk menyederhanakan perkalian rumit menjadi penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Bahasa yang sederhana dan mudah diakses.}

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dari bentuk berikut: log_ab=c c" di mana Anda perlu menaikkan basis "a" untuk akhirnya mendapatkan nilai " b". Mari kita analisis logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log_{28. Bagaimana menemukan jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu menemukan gelar sedemikian rupa sehingga dari 2 ke tingkat yang diperlukan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan dalam pikiran Anda, kami mendapatkan nomor 3! Dan itu benar, karena2 dipangkatkan 3 memberikan jawaban 8.}

Varietas logaritma

Bagi banyak siswa dan siswa, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi pada kenyataannya, logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami makna umumnya dan mengingat sifat-sifatnya dan beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritma yang terpisah:

logaritma natural ln a, dengan basis adalah bilangan Euler (e=2, 7).
logaritma desimal lg a, dimana basisnya adalah angka 10.
Logaritma dari sembarang bilangan b ke basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan reduksi selanjutnya menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, seseorang harus mengingat sifat-sifatnya dan urutan tindakan dalam menyelesaikannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-pembatasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu, mereka tidak dapat ditawar dan benar. Misalnya, tidak mungkin membagi angka dengan nol, dan juga tidak mungkin untuk mengambil akar genap dari angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, yang dengannya Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

basis "a" harus selalu lebih besar dari nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ekspresi akan kehilangan artinya, karena "1" dan "0" pada tingkat apa pun selalu sama dengan nilainya;
jika > 0, maka ab>0,ternyata "c" juga harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya diberi tugas untuk mencari jawaban dari persamaan 10^x=100. Caranya sangat mudah, kamu harus memilih kekuatan seperti itu, menaikkan angka sepuluh, kita dapatkan 100. Ini, tentu saja, kekuatan kuadrat! 10^2=100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini sebagai logaritma. Kami mendapatkan log_{10100=2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan praktis menyatu untuk menemukan pangkat yang harus dimasukkan basis logaritmanya untuk mendapatkan bilangan tertentu.}

Untuk secara akurat menentukan nilai derajat yang tidak diketahui, Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Tampilannya seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pola pikir teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, nilai yang lebih besar akan membutuhkan tabel daya. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak mengerti sama sekali dalam topik matematika yang kompleks. Kolom kiri berisi angka (basis a), baris angka paling atas adalah nilai pangkat c, di mana angka a dinaikkan. Di persimpangan, sel menentukan nilai angka yang menjadi jawaban (ac=b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan kuadratkan, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan mengerti!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata kapanDalam kondisi tertentu, eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritmik. Misalnya, 3⁴=81 dapat ditulis sebagai logaritma dari 81 ke basis 3, yaitu empat (log₃81=4). Untuk derajat negatif, aturannya sama: 2^-5=1/32 ditulis sebagai logaritma, kita mendapatkan log_{2 (1/32)=-5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan solusi persamaan sedikit lebih rendah, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Untuk saat ini, mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan itu dan bagaimana membedakannya dari persamaan.}

Ekspresi berikut diberikan: log_{2(x-1) > 3 - ini adalah pertidaksamaan logaritmik, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Ekspresi juga membandingkan dua nilai: basis dua logaritma dari angka yang diinginkan lebih besar dari angka tiga.}

Perbedaan paling penting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah bahwa persamaan dengan logaritma (contoh - logaritma₂x=9) _{menyiratkan dalam jawaban satu atau lebih nilai numerik tertentu, sementara ketika memecahkan pertidaksamaan, rentang nilai yang dapat diterima dan titik putus fungsi ini ditentukan. Akibatnya, jawabannya bukan kumpulan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban persamaan, tetapi deret atau kumpulan bilangan yang berkesinambungan.}

Teorema dasar pada logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, Anda mungkin tidak mengetahui propertinya. Namun, ketika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, perlu dipahami dan diterapkan dengan jelas semua sifat dasar logaritma. Nanti kita akan berkenalan dengan contoh-contoh persamaan, mari kita analisa dulu masing-masing sifat lebih detail.

Identitas dasarnya terlihat seperti ini: alogaB=B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
Logaritma produk dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Dalam hal ini, syarat wajibnya adalah: d, s}1 _{dan s}2 _{> 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti untuk rumus logaritma ini, dengan contoh dan solusi. Biarkan log}a_s1 _=f1 _{dan log}a_{s 2}=f₂, lalu a_f1=s¹, a f2_=s2. ^{Kami mendapatkan itu s}1_s2 _=af1_a f2^=af1+f2 ^{(sifat derajat), dan selanjutnya menurut definisi: log}a^(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{yang harus dibuktikan.}

Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.

Teorema dalam bentuk rumus mengambil bentuk berikut: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Rumus ini disebut "sifat derajat logaritma". Ini menyerupai sifat derajat biasa, dan tidak mengherankan, karena semua matematika bertumpu pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log_ab=t, kita mendapatkan a^t=b. Jika Anda menaikkan kedua sisi ke pangkat m: a^tn=b^;

tetapi karena a^tn=(a^q)^nt/q=b^{, maka log}aq _bn=(nt)/t, lalu log^a_q b_{n=n/q log}a^{b. Teorema terbukti.}

Contoh masalah dan ketidaksetaraan

Jenis masalah logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku masalah, dan juga termasuk dalam bagian wajib ujian matematika. Untuk masuk universitas atau lulus tes masuk matematika, Anda perlu tahu bagaimana menyelesaikan masalah seperti itu dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk memecahkan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, tetapi aturan tertentu dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematis atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi dapat disederhanakan atau direduksi menjadi bentuk umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritmik panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita segera mengenal mereka.

Saat menyelesaikan persamaan logaritmik,perlu untuk menentukan jenis logaritma yang kita miliki sebelum kita: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut adalah contoh logaritma desimal: ln100, ln1026. Solusinya bermuara pada fakta bahwa Anda perlu menentukan sejauh mana basis 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma natural, kita harus menerapkan identitas logaritma atau sifat-sifatnya. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritma dari berbagai jenis.

Cara menggunakan rumus logaritma: dengan contoh dan solusi

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema utama tentang logaritma.

Properti logaritma produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk menguraikan nilai besar angka b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log2_{512. Jawabannya adalah 9.}

log₄8=log_2² 2^{3=3/2 log}2_{2=1, 5 - seperti yang Anda lihat, dengan menerapkan properti keempat derajat logaritma, kami berhasil menyelesaikannya secara sekilas ekspresi yang kompleks dan tak terpecahkan. Yang harus Anda lakukan adalah memfaktorkan basis dan kemudian menghilangkan kekuatan dari tanda logaritma.}

Tugas dari ujian

Logarithm banyak ditemukan dalam ujian masuk, terutama banyak sekali soal-soal logaritma di Unified State Examination (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (paling banyak).bagian tes yang mudah dari ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling sulit dan banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik "logaritma natural".

Contoh dan solusi masalah diambil dari versi resmi ujian. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Given log₂(2x-1)=4. Solusi:

tulis ulang ekspresi, sederhanakan sedikit log_{2 (2x-1)=2}2^{, dengan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1=2}4^{, maka 2x=17; x=8, 5.}

Mengikuti beberapa panduan, berikut ini Anda dapat dengan mudah menyelesaikan semua persamaan yang berisi ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma.

Sebaiknya semua logaritma direduksi menjadi basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
Semua ekspresi di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, jadi ketika mengalikan eksponen dari ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.