Mempelajari teori peluang dimulai dengan memecahkan masalah penjumlahan dan perkalian peluang. Perlu segera disebutkan bahwa ketika menguasai bidang pengetahuan ini, seorang siswa mungkin menghadapi masalah: jika proses fisik atau kimia dapat direpresentasikan secara visual dan dipahami secara empiris, maka tingkat abstraksi matematika sangat tinggi, dan pemahaman di sini hanya datang dengan pengalaman.
Namun, permainan ini sepadan dengan lilinnya, karena formula - baik yang dipertimbangkan dalam artikel ini dan yang lebih kompleks - digunakan di mana-mana saat ini dan mungkin berguna dalam pekerjaan.
Asal
Anehnya, dorongan untuk pengembangan bagian matematika ini adalah … perjudian. Memang, dadu, lemparan koin, poker, roulette adalah contoh umum yang menggunakan peluang penjumlahan dan perkalian. Pada contoh tugas di buku teks apa pun, ini dapat dilihat dengan jelas. Orang-orang tertarik untuk mempelajari cara meningkatkan peluang mereka untuk menang, dan saya harus mengatakan, beberapa berhasil dalam hal ini.
Misalnya, sudah di abad ke-21, satu orang, yang namanya tidak akan kami ungkapkan,menggunakan pengetahuan ini yang terakumulasi selama berabad-abad untuk benar-benar “membersihkan” kasino, memenangkan beberapa puluh juta dolar di roulette.
Namun, terlepas dari meningkatnya minat pada subjek, baru pada abad ke-20 kerangka teoretis dikembangkan yang menjadikan "theorver" sebagai komponen matematika yang lengkap. Saat ini, di hampir semua ilmu pengetahuan, Anda dapat menemukan perhitungan menggunakan metode probabilistik.
Penerapan
Poin penting ketika menggunakan rumus penjumlahan dan perkalian probabilitas, probabilitas bersyarat adalah pemenuhan teorema limit pusat. Jika tidak, meskipun mungkin tidak disadari oleh siswa, semua perhitungan, betapapun masuk akalnya tampaknya, akan salah.
Ya, pelajar yang bermotivasi tinggi tergoda untuk menggunakan pengetahuan baru di setiap kesempatan. Tetapi dalam kasus ini, seseorang harus sedikit memperlambat dan secara tegas menguraikan ruang lingkup penerapan.
Teori peluang berurusan dengan peristiwa acak, yang secara empiris merupakan hasil eksperimen: kita dapat melempar dadu bersisi enam, menarik kartu dari setumpuk, memprediksi jumlah bagian yang rusak dalam satu kumpulan. Namun, dalam beberapa pertanyaan sangat tidak mungkin menggunakan rumus dari bagian matematika ini. Kita akan membahas ciri-ciri dari mempertimbangkan peluang suatu kejadian, teorema penjumlahan dan perkalian kejadian di akhir artikel, tetapi untuk sekarang mari kita beralih ke contoh.
Konsep dasar
Kejadian acak berarti beberapa proses atau hasil yang mungkin atau mungkin tidak munculsebagai hasil dari percobaan. Misalnya, kita melempar sandwich - itu bisa menjatuhkan mentega atau mentega. Salah satu dari dua hasil akan acak, dan kita tidak tahu sebelumnya yang mana yang akan terjadi.
Saat mempelajari penjumlahan dan perkalian peluang, kita membutuhkan dua konsep lagi.
Peristiwa gabungan adalah peristiwa-peristiwa itu, kemunculan salah satunya tidak mengecualikan kemunculan yang lain. Katakanlah dua orang menembak sasaran secara bersamaan. Jika salah satu dari mereka melepaskan tembakan yang berhasil, itu tidak akan mempengaruhi kemampuan yang lain untuk memukul atau meleset.
Inkonsistensi akan peristiwa seperti itu, yang kemunculannya secara bersamaan tidak mungkin. Misalnya, dengan hanya mengeluarkan satu bola dari kotak, Anda tidak bisa mendapatkan warna biru dan merah sekaligus.
Penunjukan
Konsep probabilitas dilambangkan dengan huruf kapital Latin P. Berikutnya dalam tanda kurung adalah argumen yang menunjukkan beberapa peristiwa.
Dalam rumus teorema penjumlahan, probabilitas bersyarat, teorema perkalian, Anda akan melihat ekspresi dalam tanda kurung, misalnya: A+B, AB atau A|B. Mereka akan dihitung dengan berbagai cara, sekarang kita akan beralih ke mereka.
Penambahan
Mari kita perhatikan kasus di mana rumus penjumlahan dan perkalian digunakan.
Untuk kejadian yang tidak kompatibel, rumus penjumlahan yang paling sederhana adalah relevan: probabilitas salah satu hasil acak akan sama dengan jumlah probabilitas masing-masing hasil ini.
Misalkan ada sebuah kotak dengan 2 balon biru, 3 merah dan 5 kuning. Total ada 10 item di dalam kotak. Berapa persentase kebenaran pernyataan bahwa kita akan mengambil bola biru atau merah? Ini akan sama dengan 2/10 + 3/10, yaitu lima puluh persen.
Dalam kasus kejadian yang tidak kompatibel, rumus menjadi lebih rumit, karena istilah tambahan ditambahkan. Kami akan kembali ke dalam satu paragraf, setelah mempertimbangkan satu formula lagi.
Perkalian
Penjumlahan dan perkalian peluang kejadian independen digunakan dalam kasus yang berbeda. Jika, menurut kondisi percobaan, kami puas dengan salah satu dari dua hasil yang mungkin, kami akan menghitung jumlahnya; jika kita ingin mendapatkan dua hasil tertentu satu demi satu, kita akan menggunakan rumus yang berbeda.
Kembali ke contoh dari bagian sebelumnya, kita ingin menggambar bola biru terlebih dahulu dan kemudian yang merah. Angka pertama yang kita ketahui adalah 2/10. Apa yang terjadi selanjutnya? Ada 9 bola tersisa, masih ada jumlah yang sama yang merah - tiga buah. Menurut perhitungan, Anda mendapatkan 3/9 atau 1/3. Tapi apa yang harus dilakukan dengan dua angka sekarang? Jawaban yang benar adalah mengalikan untuk mendapatkan 2/30.
Acara Bersama
Sekarang kita dapat meninjau kembali rumus penjumlahan untuk acara bersama. Mengapa kita menyimpang dari topik? Untuk mempelajari bagaimana probabilitas dikalikan. Sekarang pengetahuan ini akan berguna.
Kita sudah tahu apa yang akan menjadi dua suku pertama (sama seperti pada rumus penjumlahan yang dibahas sebelumnya), sekarang kita perlu mengurangiproduk dari probabilitas yang baru saja kita pelajari untuk menghitung. Untuk kejelasan, kami menulis rumus: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Ternyata penjumlahan dan perkalian peluang digunakan dalam satu ekspresi.
Katakanlah kita harus menyelesaikan salah satu dari dua masalah untuk mendapatkan kredit. Kita dapat menyelesaikan yang pertama dengan probabilitas 0,3, dan yang kedua - 0,6. Solusi: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Perhatikan bahwa menjumlahkan angka di sini saja tidak akan cukup.
Probabilitas Bersyarat
Akhirnya, ada konsep probabilitas bersyarat, argumen yang ditunjukkan dalam tanda kurung dan dipisahkan oleh batang vertikal. Entri P(A|B) berbunyi sebagai berikut: “probabilitas kejadian A diberikan kejadian B”.
Mari kita lihat sebuah contoh: seorang teman memberi Anda beberapa perangkat, biarkan itu menjadi telepon. Bisa rusak (20%) atau bagus (80%). Anda dapat memperbaiki perangkat apa pun yang jatuh ke tangan Anda dengan probabilitas 0,4 atau Anda tidak dapat melakukannya (0,6). Terakhir, jika perangkat berfungsi dengan baik, Anda dapat menghubungi orang yang tepat dengan probabilitas 0,7.
Sangat mudah untuk melihat bagaimana probabilitas bersyarat bekerja dalam kasus ini: Anda tidak dapat menghubungi seseorang jika telepon rusak, dan jika itu baik, Anda tidak perlu memperbaikinya. Jadi, untuk mendapatkan hasil apa pun pada "tingkat kedua", Anda perlu mengetahui peristiwa apa yang dijalankan pada tingkat pertama.
Perhitungan
Mari kita perhatikan contoh penyelesaian masalah penjumlahan dan perkalian peluang, dengan menggunakan data dari paragraf sebelumnya.
Pertama, mari kita cari probabilitas bahwa Andaperbaiki perangkat yang diberikan kepada Anda. Untuk melakukan ini, pertama, itu harus rusak, dan kedua, Anda harus mengatasi perbaikannya. Ini adalah masalah perkalian yang khas: kita mendapatkan 0.20.4=0.08.
Berapa probabilitas bahwa Anda akan segera bertemu dengan orang yang tepat? Lebih mudah dari sederhana: 0,80,7=0,56. Dalam hal ini, Anda menemukan bahwa telepon berfungsi dan berhasil melakukan panggilan.
Akhirnya, pertimbangkan skenario ini: Anda menerima telepon yang rusak, memperbaikinya, lalu memutar nomornya, dan orang di seberang menjawab telepon. Di sini, perkalian tiga komponen sudah diperlukan: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Dan bagaimana jika Anda memiliki dua ponsel yang tidak berfungsi sekaligus? Seberapa besar kemungkinan Anda untuk memperbaiki setidaknya satu dari mereka? Ini adalah masalah penjumlahan dan perkalian probabilitas, karena digunakan event gabungan. Solusi: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Hati-hati digunakan
Seperti yang disebutkan di awal artikel, penggunaan teori probabilitas harus disengaja dan disadari.
Semakin besar rangkaian eksperimen, semakin dekat nilai prediksi teoritis mendekati nilai praktis. Misalnya, kita melempar koin. Secara teoritis, dengan mengetahui adanya rumus penjumlahan dan perkalian peluang, kita dapat memprediksi berapa kali kerontokan kepala dan ekor jika kita melakukan percobaan sebanyak 10 kali. Kami melakukan percobaan danSecara kebetulan, rasio sisi yang dijatuhkan adalah 3 banding 7. Tetapi jika Anda melakukan serangkaian upaya 100, 1000 atau lebih, ternyata grafik distribusi semakin mendekati grafik teoretis: 44 menjadi 56, 482 menjadi 518 dan seterusnya.
Sekarang bayangkan percobaan ini dilakukan bukan dengan koin, tetapi dengan produksi beberapa zat kimia baru, yang kemungkinannya tidak kita ketahui. Kami akan menjalankan 10 percobaan dan, jika kami tidak mendapatkan hasil yang sukses, kami dapat menggeneralisasi: "zat tidak dapat diperoleh." Tapi siapa yang tahu, jika kita melakukan upaya kesebelas, apakah kita akan mencapai tujuan atau tidak?
Jadi jika Anda pergi ke alam yang tidak diketahui, alam yang belum dijelajahi, teori probabilitas mungkin tidak berlaku. Setiap upaya berikutnya dalam kasus ini mungkin berhasil dan generalisasi seperti "X tidak ada" atau "X tidak mungkin" akan prematur.
Kata penutup
Jadi, kita telah melihat dua jenis penjumlahan, perkalian dan probabilitas bersyarat. Dengan studi lebih lanjut di bidang ini, perlu untuk belajar membedakan situasi ketika setiap formula khusus digunakan. Selain itu, Anda perlu memahami apakah metode probabilistik secara umum dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah Anda.
Jika Anda berlatih, setelah beberapa saat Anda akan mulai melakukan semua operasi yang diperlukan secara eksklusif dalam pikiran Anda. Bagi mereka yang menyukai permainan kartu, keterampilan ini dapat dipertimbangkansangat berharga - Anda akan secara signifikan meningkatkan peluang Anda untuk menang, hanya dengan menghitung kemungkinan kartu atau setelan tertentu jatuh. Namun, pengetahuan yang diperoleh dapat dengan mudah diterapkan di bidang kegiatan lain.
