Masalah Goldbach adalah salah satu masalah tertua dan paling populer dalam sejarah semua matematika.
Tebakan ini telah terbukti benar untuk semua bilangan bulat yang kurang dari 4 × 1018, tetapi tetap tidak terbukti meskipun para ahli matematika telah berusaha keras.
Nomor
Bilangan Goldbach adalah bilangan bulat genap positif yang merupakan jumlah dari pasangan bilangan prima ganjil. Bentuk lain dari dugaan Goldbach adalah bahwa semua bilangan bulat genap yang lebih besar dari empat adalah bilangan Goldbach.
Pemisahan bilangan-bilangan tersebut disebut partisi (atau partisi) Goldbach. Di bawah ini adalah contoh bagian serupa untuk beberapa bilangan genap:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Penemuan hipotesis
Goldbach punya rekan bernama Euler, yang suka berhitung, menulis rumus rumit, dan mengemukakan teori yang tak terpecahkan. Dalam hal ini mereka mirip dengan Goldbach. Euler membuat teka-teki matematika serupa bahkan sebelum Goldbach, dengan siapa diakorespondensi konstan. Dia kemudian mengusulkan saran kedua di margin naskahnya, yang menurutnya bilangan bulat yang lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima. Dia menganggap 1 sebagai bilangan prima.
Kedua hipotesis tersebut sekarang diketahui serupa, tetapi hal ini tampaknya tidak menjadi masalah pada saat itu. Versi modern dari masalah Goldbach menyatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 5 dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima. Euler menjawab dalam sebuah surat tertanggal 30 Juni 1742, dan mengingatkan Goldbach tentang percakapan sebelumnya yang mereka lakukan ("… jadi kita berbicara tentang hipotesis asli (dan bukan marginal) yang muncul dari pernyataan berikut").
Masalah Euler-Goldbach
2 dan bilangan genapnya dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima, yang juga merupakan dugaan Goldbach. Dalam surat tertanggal 30 Juni 1742, Euler menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap adalah hasil penjumlahan dua bilangan prima, yang ia anggap sebagai teorema yang terdefinisi dengan baik, meskipun ia tidak dapat membuktikannya.
Versi ketiga
Versi ketiga dari masalah Goldbach (setara dengan dua versi lainnya) adalah bentuk dugaan yang biasanya diberikan hari ini. Ia juga dikenal sebagai dugaan Goldbach "kuat", "genap", atau "biner" untuk membedakannya dari hipotesis yang lebih lemah yang sekarang dikenal sebagai dugaan Goldbach "lemah", "ganjil", atau "terner". Dugaan lemah menyatakan bahwa semua bilangan ganjil yang lebih besar dari 7 adalah jumlah dari tiga bilangan prima ganjil. Dugaan lemah itu terbukti pada 2013. Hipotesis yang lemah adalahkonsekuensi dari hipotesis yang kuat. Akibat wajar yang terbalik dan dugaan kuat Goldbach tetap tidak terbukti sampai hari ini.
Cek
Untuk nilai n yang kecil, masalah Goldbach (dan karenanya konjektur Goldbach) dapat diverifikasi. Misalnya, Nils Pipping pada tahun 1938 dengan hati-hati menguji hipotesis hingga n 105. Dengan munculnya komputer pertama, lebih banyak nilai n dihitung.
Oliveira Silva melakukan pencarian komputer terdistribusi yang mengkonfirmasi hipotesis untuk n 4 × 1018 (dan pemeriksaan ganda hingga 4 × 1017) pada 2013. Satu entri dari pencarian ini adalah 3.325.581.707.333.960.528 adalah bilangan terkecil yang tidak memiliki pembagian Goldbach dengan bilangan prima di bawah 9781.
Heuristik
Versi untuk bentuk kuat dari dugaan Goldbach adalah sebagai berikut: karena kuantitas cenderung tak terhingga ketika n meningkat, kami berharap bahwa setiap bilangan bulat genap besar memiliki lebih dari satu representasi sebagai jumlah dari dua bilangan prima. Tetapi pada kenyataannya, ada banyak representasi seperti itu. Siapa yang memecahkan masalah Goldbach? Sayangnya, masih bukan siapa-siapa.
Argumen heuristik ini sebenarnya agak tidak tepat, karena mengasumsikan bahwa m secara statistik independen dari n. Misalnya, jika m ganjil, maka n - m juga ganjil, dan jika m genap, maka n - m genap, dan ini adalah relasi nontrivial (kompleks), karena selain angka 2 hanya ganjil bilangan bisa prima. Demikian pula, jika n habis dibagi 3 dan m sudah merupakan bilangan prima selain 3, maka n - m juga salingprima dengan 3, jadi lebih mungkin menjadi bilangan prima daripada bilangan total. Melakukan analisis jenis ini dengan lebih hati-hati, Hardy dan Littlewood pada tahun 1923, sebagai bagian dari dugaan tupel sederhana Hardy-Littlewood mereka yang terkenal, membuat penyempurnaan seluruh teori di atas. Tapi itu tidak membantu untuk memecahkan masalah sejauh ini.
Hipotesis kuat
Konjektur Goldbach yang kuat jauh lebih rumit daripada dugaan Goldbach yang lemah. Shnirelman kemudian membuktikan bahwa bilangan asli apa pun yang lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai jumlah dari paling banyak bilangan prima C, di mana C adalah konstanta yang dapat dihitung secara efektif. Banyak matematikawan mencoba menyelesaikannya, menghitung dan mengalikan angka, menawarkan rumus kompleks, dll. Tetapi mereka tidak pernah berhasil, karena hipotesisnya terlalu rumit. Tidak ada rumus yang membantu.
Tetapi ada baiknya menjauh dari pertanyaan untuk sedikit membuktikan masalah Goldbach. Konstanta Shnirelman adalah bilangan C terkecil dengan sifat ini. Shnirelman sendiri mendapatkan C <800 000. Hasil ini kemudian dilengkapi oleh banyak penulis, seperti Olivier Ramaret, yang menunjukkan pada tahun 1995 bahwa setiap bilangan genap n 4 sebenarnya adalah jumlah dari paling banyak enam bilangan prima. Hasil paling terkenal yang saat ini dikaitkan dengan teori Goldbach oleh Harald Helfgott.
Pengembangan lebih lanjut
Pada tahun 1924, Hardy dan Littlewood mengambil alih G. R. H. menunjukkan bahwa jumlah bilangan genap hingga X, melanggar masalah biner Goldbach, jauh lebih sedikit daripada untuk c kecil.
Pada tahun 1973 Chen JingyunSaya mencoba menyelesaikan masalah ini, tetapi tidak berhasil. Dia juga seorang matematikawan, jadi dia sangat suka memecahkan teka-teki dan membuktikan teorema.
Pada tahun 1975, dua ahli matematika Amerika menunjukkan bahwa ada konstanta positif c dan C - konstanta yang N cukup besar. Secara khusus, himpunan bilangan bulat genap memiliki kerapatan nol. Semua ini berguna untuk bekerja pada solusi masalah terner Goldbach, yang akan terjadi di masa depan.
Pada tahun 1951, Linnik membuktikan keberadaan sebuah konstanta K sedemikian rupa sehingga setiap bilangan genap yang cukup besar adalah hasil penjumlahan satu bilangan prima dan bilangan prima lainnya satu sama lain. Roger Heath-Brown dan Jan-Christoph Schlage-Puchta menemukan pada tahun 2002 bahwa K=13 bekerja. Ini sangat menarik bagi semua orang yang suka menjumlahkan satu sama lain, menjumlahkan angka yang berbeda dan melihat apa yang terjadi.
Solusi dari masalah Goldbach
Seperti banyak dugaan terkenal dalam matematika, ada sejumlah bukti dugaan dugaan Goldbach, tidak ada yang diterima oleh komunitas matematika.
Meskipun dugaan Goldbach menyiratkan bahwa setiap bilangan bulat positif lebih besar dari satu dapat ditulis sebagai jumlah dari paling banyak tiga bilangan prima, tidak selalu mungkin untuk menemukan jumlah seperti itu menggunakan algoritma serakah yang menggunakan bilangan prima terbesar yang mungkin pada setiap langkah. Deret Pillai melacak angka-angka yang membutuhkan bilangan prima paling banyak dalam representasi rakusnya. Oleh karena itu, solusi untuk masalah Goldbachmasih dipertanyakan. Namun demikian, cepat atau lambat kemungkinan besar akan terpecahkan.
Ada teori yang mirip dengan masalah Goldbach di mana bilangan prima diganti dengan himpunan bilangan spesifik lainnya, seperti kuadrat.
Christian Goldbach
Christian Goldbach adalah seorang matematikawan Jerman yang juga belajar hukum. Dia dikenang hari ini karena dugaan Goldbach.
Dia bekerja sebagai ahli matematika sepanjang hidupnya - dia sangat suka menambahkan angka, menemukan formula baru. Dia juga tahu beberapa bahasa, di mana masing-masing dia menyimpan buku harian pribadinya. Bahasa-bahasa tersebut adalah Jerman, Prancis, Italia, dan Rusia. Juga, menurut beberapa sumber, dia berbicara bahasa Inggris dan Latin. Ia dikenal sebagai ahli matematika yang cukup terkenal semasa hidupnya. Goldbach juga memiliki hubungan yang cukup erat dengan Rusia, karena ia memiliki banyak rekan Rusia dan bantuan pribadi dari keluarga kerajaan.
Dia terus bekerja di Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg yang baru dibuka pada tahun 1725 sebagai profesor matematika dan sejarawan akademi. Pada 1728, ketika Peter II menjadi Tsar Rusia, Goldbach menjadi mentornya. Pada 1742 ia memasuki Kementerian Luar Negeri Rusia. Artinya, dia benar-benar bekerja di negara kita. Saat itu, banyak ilmuwan, penulis, filsuf, dan orang militer datang ke Rusia, karena Rusia saat itu adalah negara peluang seperti Amerika. Banyak yang meniti karir di sini. Dan pahlawan kita tidak terkecuali.
Christian Goldbach multibahasa - dia menulis buku harian dalam bahasa Jerman dan Latin, surat-suratnyaditulis dalam bahasa Jerman, Latin, Prancis, dan Italia, dan untuk dokumen resmi ia menggunakan bahasa Rusia, Jerman, dan Latin.
Dia meninggal pada 20 November 1764 pada usia 74 tahun di Moskow. Hari ketika masalah Goldbach terpecahkan akan menjadi penghormatan yang tepat untuk ingatannya.
Kesimpulan
Goldbach adalah ahli matematika hebat yang memberi kita salah satu misteri terbesar dari ilmu ini. Belum diketahui apakah akan terpecahkan atau tidak. Kita hanya tahu bahwa resolusi yang seharusnya, seperti dalam kasus teorema Fermat, akan membuka perspektif baru untuk matematika. Matematikawan sangat suka memecahkan dan menganalisisnya. Hal ini sangat menarik dan penasaran dari sudut pandang heuristik. Bahkan siswa matematika suka memecahkan masalah Goldbach. Bagaimana lagi? Bagaimanapun, orang-orang muda terus-menerus tertarik pada segala sesuatu yang cerah, ambisius, dan tidak terselesaikan, karena dengan mengatasi kesulitan seseorang dapat menegaskan dirinya sendiri. Mari kita berharap bahwa masalah ini akan segera diselesaikan oleh anak-anak muda, ambisius, dan berpikiran ingin tahu.
