Masalah geometris yang umum adalah menemukan sudut di antara garis. Pada sebuah bidang, jika persamaan garis diketahui, maka dapat dibuat dan sudut diukur dengan busur derajat. Namun, metode ini melelahkan dan tidak selalu memungkinkan. Untuk mengetahui nama sudut tidak perlu menggambar garis lurus, bisa dihitung. Artikel ini akan menjawab bagaimana hal ini dilakukan.
Garis lurus dan persamaan vektornya
Setiap garis lurus dapat direpresentasikan sebagai vektor yang dimulai dari -∞ dan berakhir di +∞. Dalam hal ini, vektor melewati beberapa titik dalam ruang. Dengan demikian, semua vektor yang dapat ditarik antara dua titik pada garis lurus akan sejajar satu sama lain. Definisi ini memungkinkan Anda untuk mengatur persamaan garis lurus dalam bentuk vektor:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + (a; b; c)
Di sini, vektor dengan koordinat (a; b; c) adalah panduan untuk garis ini melalui titik (x0; y0; z0). Parameter memungkinkan Anda untuk mentransfer titik yang ditentukan ke titik lain untuk baris ini. Persamaan ini intuitif dan mudah digunakan baik di ruang 3D maupun di pesawat. Untuk sebuah bidang, tidak akan memuat koordinat z dan komponen vektor arah ketiga.
Kemudahan melakukan perhitungan dan mempelajari posisi relatif garis lurus karena penggunaan persamaan vektor adalah karena vektor pengarahnya diketahui. Koordinatnya digunakan untuk menghitung sudut antar garis dan jarak antar garis.
Persamaan umum garis lurus pada bidang
Mari kita tulis secara eksplisit persamaan vektor garis lurus untuk kasus dua dimensi. Sepertinya:
x=x0+ a;
y=y0+ b
Sekarang kita menghitung parameter untuk setiap persamaan dan menyamakan bagian kanan dari persamaan yang diperoleh:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Membuka tanda kurung dan memindahkan semua suku ke satu sisi persamaan, kita mendapatkan:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, di mana A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Ekspresi yang dihasilkan disebut persamaan umum untuk garis lurus yang diberikan dalam ruang dua dimensi (dalam tiga dimensi persamaan ini sesuai dengan bidang yang sejajar dengan sumbu z, bukan garis lurus).
Jika kita secara eksplisit menulis y sampai x dalam ekspresi ini, maka kita mendapatkan bentuk berikut, dikenalsetiap siswa:
y=kx + p, di mana k=-A/B, p=-C/B
Persamaan linier ini secara unik mendefinisikan garis lurus pada bidang. Sangat mudah untuk menggambarnya sesuai dengan persamaan yang terkenal, untuk ini Anda harus menempatkan x=0 dan y=0 secara bergantian, tandai titik-titik yang sesuai dalam sistem koordinat dan gambar garis lurus yang menghubungkan titik-titik yang diperoleh.
Rumus sudut antar garis
Pada sebuah bidang, dua garis dapat berpotongan atau sejajar satu sama lain. Di ruang angkasa, opsi ini ditambahkan kemungkinan adanya garis miring. Apa pun versi posisi relatif dari objek geometris satu dimensi ini diterapkan, sudut di antara mereka selalu dapat ditentukan dengan rumus berikut:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Di mana v1¯ dan v2¯ masing-masing adalah vektor pemandu untuk baris 1 dan 2. Pembilangnya adalah modulus hasil kali titik untuk mengecualikan sudut tumpul dan hanya memperhitungkan sudut yang tajam.
Vektor v1¯ dan v2¯ dapat diberikan oleh dua atau tiga koordinat, sedangkan rumus sudut tetap tidak berubah.
Paralelisme dan tegak lurus garis
Jika sudut antara 2 garis yang dihitung menggunakan rumus di atas adalah 0o, maka dikatakan sejajar. Untuk menentukan apakah garis sejajar atau tidak, Anda tidak dapat menghitung sudut, cukup untuk menunjukkan bahwa vektor satu arah dapat direpresentasikan melalui vektor serupa dari garis lain, yaitu:
v1¯=qv2¯
Di sini q adalah beberapa bilangan real.
Jika persamaan garis diberikan sebagai:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
maka keduanya akan sejajar hanya jika koefisien x sama, yaitu:
k1=k2
Fakta ini dapat dibuktikan jika kita mempertimbangkan bagaimana koefisien k dinyatakan dalam koordinat vektor pengarah garis lurus.
Jika sudut perpotongan antara garis adalah 90o, maka disebut tegak lurus. Untuk menentukan tegak lurus garis juga tidak perlu menghitung sudut, untuk ini cukup menghitung hanya perkalian skalar dari vektor v1¯ dan v 2¯. Harus nol.
Dalam kasus perpotongan garis lurus dalam ruang, rumus sudut juga dapat digunakan. Dalam hal ini, hasilnya harus ditafsirkan dengan benar. yang dihitung menunjukkan sudut antara vektor arah garis yang tidak berpotongan dan tidak sejajar.
Tugas 1. Garis tegak lurus
Diketahui bahwa persamaan garis berbentuk:
(x; y)=(1; 2) + (1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + (-4; 2)
Hal ini diperlukan untuk menentukan apakah garis-garis initegak lurus.
Seperti disebutkan di atas, untuk menjawab pertanyaan, cukup menghitung produk skalar dari vektor pemandu, yang sesuai dengan koordinat (1; 2) dan (-4; 2). Kami memiliki:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Karena kita mendapatkan 0, ini berarti bahwa garis-garis yang dipertimbangkan berpotongan tegak lurus, yaitu, mereka tegak lurus.
Tugas 2. Sudut perpotongan garis
Diketahui bahwa dua persamaan garis lurus memiliki bentuk sebagai berikut:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Hal ini diperlukan untuk menemukan sudut antara garis.
Karena koefisien x memiliki nilai yang berbeda, garis-garis ini tidak sejajar. Untuk mencari sudut yang terbentuk saat berpotongan, kita terjemahkan setiap persamaan ke dalam bentuk vektor.
Untuk baris pertama kita mendapatkan:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Di sisi kanan persamaan, kita mendapatkan sebuah vektor yang koordinatnya bergantung pada x. Mari kita nyatakan sebagai jumlah dari dua vektor, dan koordinat yang pertama akan berisi variabel x, dan koordinat yang kedua hanya akan terdiri dari angka:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Karena x mengambil nilai arbitrer, x dapat diganti dengan parameter. Persamaan vektor untuk baris pertama menjadi:
(x; y)=(0; - 1) + (1; 2)
Kami melakukan tindakan yang sama dengan persamaan garis kedua, kami mendapatkan:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + (1; -1)
Kami menulis ulang persamaan asli dalam bentuk vektor. Sekarang Anda dapat menggunakan rumus untuk sudut persimpangan, dengan menggantinya dengan koordinat vektor pengarah garis:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=5;
|(1; -1)|=2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Jadi, garis yang ditinjau berpotongan dengan sudut 71.565o, atau 1,249 radian.
Masalah ini dapat diselesaikan secara berbeda. Untuk melakukan ini, perlu untuk mengambil dua titik sembarang dari setiap garis lurus, menyusun vektor langsung dari mereka, dan kemudian menggunakan rumus untuk.
