Ada banyak jawaban untuk pertanyaan tentang apa itu persegi. Itu semua tergantung pada siapa Anda mengajukan pertanyaan ini. Musisi akan mengatakan bahwa alun-alun adalah 4, 8, 16, 32 bar atau improvisasi jazz. Anak - apa itu permainan bola atau majalah anak-anak. Printer akan mengirim Anda untuk mempelajari ukuran jenis, dan teknisi akan mengirimkan jenis profil canai logam.
Ada banyak arti lain dari kata ini, tetapi hari ini kita akan mengajukan pertanyaan kepada ahli matematika. Jadi…
Kita akan membahas angka ini secara bertahap, dari yang sederhana hingga yang kompleks, dan mulai dengan sejarah alun-alun. Bagaimana kemunculannya, bagaimana persepsinya oleh orang-orang, ilmuwan dari berbagai negara dan peradaban?
Sejarah mempelajari persegi
Dunia kuno memandang alun-alun, terutama sebagai empat titik mata angin. Secara umum, meskipun ada banyak segi empat, bujur sangkarlah yang memiliki nomor utama - empat. untuk Asyur danAlun-alun Peru - seluruh dunia, yaitu, mewakili empat arah utama, titik mata angin.
Bahkan Semesta disajikan sebagai persegi, juga dibagi menjadi empat bagian - ini adalah visi penduduk Amerika Utara. Untuk Celtic, alam semesta adalah sebanyak tiga kotak bersarang satu sama lain, dan empat (!) Sungai mengalir dari pusat. Dan orang Mesir umumnya mendewakan sosok ini!
Untuk pertama kalinya, orang Yunani menggambarkan persegi menggunakan rumus matematika. Tetapi bagi mereka, poligon ini hanya memiliki karakteristik negatif. Pythagoras sama sekali tidak menyukai angka genap, karena melihat kelemahan dan feminitas di dalamnya.
Bahkan agama pun memiliki persegi. Dalam Islam, Ka'bah - pusar Bumi - tidak berbentuk bulat, tetapi berbentuk kubus.
Di India, grafem utama yang menggambarkan Bumi, atau simbol bumi, adalah bujur sangkar. Dan sekali lagi, kita berbicara tentang empat mata angin, empat wilayah bumi.
Di Cina, alun-alun adalah kedamaian, harmoni, dan ketertiban. Chaos dikalahkan dengan membangun Vara persegi. Sebuah persegi tertulis dalam lingkaran adalah dasar dari visi dunia, melambangkan kesatuan dan hubungan dari Kosmos dan Bumi.
Pagan Russia - Svarog Square. Simbol ini juga disebut Bintang Svarog, atau Bintang Rusia. Ini cukup kompleks, karena terdiri dari garis berpotongan dan tertutup. Svarog adalah dewa-Pandai Besi, pencipta paling penting, pencipta dan langit itu sendiri dalam pandangan Rusia. Dalam simbol ini ada belah ketupat, yang sekali lagi berbicara tentang Bumi dan empat arahnya. Dan bintang dengan empat sinar - 4 mata angin, 4 wajah Svarog - kemahatahuannya. Dan perpotongan sinar adalah perapian.
Menarik tentang alun-alun
Ungkapan paling populer yang terlintas dalam pikiran tentang karakter utama kita adalah "Kotak Hitam".
Lukisan Malevich masih sangat populer. Penulis sendiri, setelah pembuatannya, untuk waktu yang lama tersiksa oleh pertanyaan tentang apa itu, dan mengapa kotak hitam sederhana dengan latar belakang putih sangat menarik perhatian.
Tetapi jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda akan melihat bahwa bidang bujur sangkar tidak mulus, dan ada banyak corak warna-warni di celah-celah cat hitam. Ternyata, pada awalnya ada komposisi tertentu yang tidak disukai penulis, dan dia menutupnya dari mata kita dengan sosok ini. Kotak hitam tidak seperti apa-apa - lubang hitam, hanya berbentuk persegi ajaib. Dan kekosongan diketahui menarik…
"Kotak ajaib" juga sangat populer. Sebenarnya, ini adalah meja, tentu saja, kotak, diisi dengan angka di setiap kolom. Jumlah angka-angka ini adalah sama di semua baris, kolom dan diagonal (secara individual). Jika diagonal dikecualikan dari persamaan, maka bujur sangkar adalah semimagis.
Albrecht Durer pada tahun 1514 menciptakan lukisan "Melancholia I", yang menggambarkan persegi ajaib berukuran 4x4. Di dalamnya, jumlah semua kolom, baris, diagonal, dan bahkan kotak internal adalah tiga puluh empat.
Berdasarkan tabel ini, teka-teki yang sangat menarik dan populer muncul - "Sudoku".
Orang Mesir adalah orang pertama yang menggambar garis interkoneksi antara angka (tanggal lahir) dan kualitas karakter, kemampuan, dan bakat seseorang. Pythagoras mengambil pengetahuan ini, mengolahnya kembali danditempatkan dalam persegi. Hasilnya adalah Pythagoras Square.
Ini sudah merupakan arah tersendiri dalam numerologi. Dari tanggal lahir seseorang, dengan tambahan, empat angka utama dihitung, yang ditempatkan di psychomatrix (persegi). Jadi mereka meletakkan semua informasi rahasia tentang energi Anda, kesehatan, bakat, keberuntungan, temperamen dan hal-hal lain di rak. Rata-rata, menurut jajak pendapat, keandalannya adalah 60% -80%.
Apa itu persegi?
Persegi adalah bangun geometris. Bentuk persegi adalah segi empat yang memiliki sisi dan sudut yang sama besar. Lebih tepatnya, segi empat ini disebut regular.
Bujur sangkar memiliki tanda-tandanya. Ini adalah:
- sisi sama panjang;
- sudut yang sama - lurus (90 derajat).
Karena tanda-tanda dan ciri-ciri ini, sebuah lingkaran dapat ditorehkan di dalam bujur sangkar dan dideskripsikan di sekelilingnya. Lingkaran berbatas akan menyentuh semua simpulnya, lingkaran bertulisan akan menyentuh titik tengah semua sisinya. Pusatnya akan bertepatan dengan pusat bujur sangkar dan akan membagi semua diagonalnya menjadi dua. Yang terakhir, pada gilirannya, sama satu sama lain dan membagi sudut persegi menjadi bagian yang sama.
Satu diagonal membagi persegi menjadi dua segitiga sama kaki, keduanya menjadi empat.
Jadi, jika panjang sisi persegi adalah t, panjang jari-jari lingkaran yang dibatasi adalah R, dan lingkaran yang dibatasi adalah r, maka
luas alas persegi, atau luas persegi (S) akan sama dengan S=t2=2R 2=4r 2;
keliling persegi P harus dihitung menggunakan rumus P=4t=4√2R=8r;
panjang jari-jari lingkaran yang dibatasi R=(√2/2)t;
tertulis - r=t/2
Luas alas persegi juga dapat dihitung dengan mengetahui sisi (a) atau panjang diagonalnya (c), maka rumusnya akan terlihat: S=a 2 danS=1/2c2.
Apa itu persegi, kami temukan. Mari kita lihat lebih dekat detailnya, karena bangun persegi adalah segi empat yang paling simetris. Ini memiliki lima sumbu simetri, dengan satu (orde keempat) melewati pusat dan tegak lurus terhadap bidang bujur sangkar itu sendiri, dan empat lainnya adalah sumbu simetri orde kedua, dua di antaranya sejajar dengan sisi, dan dua lagi melewati diagonal alun-alun.
Metode untuk membuat persegi
Berdasarkan definisi, tampaknya tidak ada yang lebih mudah daripada membangun persegi biasa. Ini benar, tetapi dengan syarat Anda memiliki semua alat ukur. Bagaimana jika ada yang kehabisan?
Mari kita lihat cara yang ada untuk membantu kita membangun bentuk ini.
Mengukur penggaris dan persegi adalah alat utama yang paling mudah digunakan untuk menggambar persegi.
Pertama, tandai satu titik, misalkan A, dari situ kita akan membangun alas persegi.
Menggunakan penggaris, atur jarak ke kanan sama dengan panjang sisinya, misalkan 30 mm, dan beri titik B.
Sekarang dari kedua titik, dengan menggunakan bujur sangkar, buat garis tegak lurus masing-masing 30 mm. Di ujung tegak lurus kami menempatkan titik C dan D, yang kami hubungkan satu sama lain menggunakanpenggaris - itu dia, persegi ABCD dengan sisi 30 mm sudah siap!
Membuat persegi dengan penggaris dan busur derajat juga cukup mudah. Mulai, seperti pada kasus sebelumnya, dari suatu titik, katakanlah H, sisihkan segmen horizontal darinya, misalnya 50 mm. Titik O.
Sekarang hubungkan pusat busur derajat dengan titik H, beri tanda pada nilai sudut 900, buat segmen vertikal 50 mm melaluinya dan titik H, letakkan titik P di ujungnya. Selanjutnya dengan cara yang sama buat segmen ketiga dari titik O melalui sudut 900 sama dengan 50 mm, biarkan berakhir dengan titik P. Hubungkan titik P dan P Anda memiliki persegi NORP dengan panjang sisi 50 mm
Anda dapat membuat persegi hanya dengan menggunakan kompas dan penggaris. Jika ukuran persegi penting bagi Anda dan panjang sisinya diketahui, maka Anda juga memerlukan kalkulator.
Jadi, letakkan titik pertama E - itu akan berasal dari simpul bujur sangkar. Selanjutnya, tunjukkan tempat di mana titik W yang berlawanan akan berada, yaitu, tegakkan HJ diagonal dari gambar Anda. Jika Anda membangun sebuah persegi berukuran, kemudian memiliki panjang sisi, hitung panjang diagonal menggunakan rumus:
d=√2a, di mana a adalah panjang sisinya.
Setelah Anda mengetahui panjang diagonal, buatlah segmen dari dari nilai ini. Dari titik E, dengan menggunakan kompas searah dengan titik F, buatlah setengah lingkaran dengan jari-jari EJ. Dan sebaliknya, dari titik F – setengah lingkaran menuju titik E, dengan jari-jari SAMA. Melalui titik persimpangan setengah lingkaran ini, dengan menggunakan penggaris, buat segmen ZI. Landak dan ZI berpotongan tegak lurus dan merupakan diagonal persegi di masa depan. Dengan menghubungkan titik EI, IZH, ZHZ dan ZEmenggunakan penggaris, Anda akan mendapatkan kotak bertulisan EIHZ.
Masih dimungkinkan untuk membangun persegi dengan penggaris tunggal. Apa itu persegi? Ini adalah bagian dari bidang yang dibatasi oleh segmen yang berpotongan (garis, sinar). Oleh karena itu, kita dapat membuat persegi dari koordinat titik-titiknya. Pertama menggambar sumbu koordinat. Sisi alun-alun dapat terletak di atasnya, atau pusat persimpangan diagonal akan bertepatan dengan titik asal - itu tergantung pada keinginan Anda atau kondisi masalah. Mungkin sosok Anda akan agak jauh dari sumbu. Bagaimanapun, pertama-tama tandai dua titik dengan nilai numerik (secara sewenang-wenang atau bersyarat), maka Anda akan mengetahui panjang sisi bujur sangkar. Sekarang Anda dapat menghitung koordinat dari dua simpul yang tersisa, dengan mengingat bahwa sisi-sisi bujur sangkar adalah sama dan sejajar satu sama lain. Langkah terakhir adalah menghubungkan semua titik secara seri satu sama lain menggunakan penggaris.
Apa itu persegi?
Persegi adalah gambar yang didefinisikan dengan jelas dan dibatasi oleh definisinya, sehingga jenis-jenis persegi tidak berbeda jenisnya.
Dalam geometri non-Euclidean, persegi dianggap lebih luas - itu adalah segi empat dengan sisi dan sudut yang sama, tetapi derajat sudut tidak diatur. Ini berarti sudut-sudutnya bisa 120 derajat (persegi "cembung") dan, misalnya, 72 derajat (persegi "cekung").
Jika Anda bertanya kepada ahli geometri atau komputer apa itu persegi, mereka akan menjawab bahwa itu adalah graf lengkap atau planar (grafik dari K1 hingga K 4). Dan inibenar-benar adil. Graf memiliki simpul dan sisi. Ketika mereka membentuk pasangan terurut, grafik terbentuk. Jumlah simpul adalah urutan graf, jumlah sisi adalah ukurannya. Jadi persegi adalah graf planar dengan empat titik dan enam sisi, atau K4:6.
sisi persegi
Salah satu syarat utama keberadaan persegi - adanya sisi yang sama panjang - membuat sisi sangat penting untuk berbagai perhitungan. Tetapi pada saat yang sama, ini memberikan banyak cara untuk menghitung panjang sisi persegi dengan adanya berbagai data input.
Jadi bagaimana cara mencari sisi persegi?
- Jika Anda hanya mengetahui panjang diagonal persegi d, maka Anda dapat menghitung sisinya menggunakan rumus berikut: a=d/√2.
- Diameter lingkaran bertulisan sama dengan sisi bujur sangkar dan, oleh karena itu, menjadi dua jari-jari, yaitu: a=D=2R.
- Jari-jari lingkaran yang dibatasi juga dapat membantu Anda menghitung sisi persegi. Kita dapat mengetahui diameter D dari jari-jari R, yang pada gilirannya sama dengan diagonal persegi d, dan kita telah mengetahui rumus sisi persegi yang melalui diagonal: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
- Dari persamaan sisi, Anda dapat menemukan sisi persegi (a) dengan menggunakan keliling P atau luas S: a=√S=P/4.
- Jika kita mengetahui panjang garis yang keluar dari sudut bujur sangkar dan melintasi tengah sisi C yang berdekatan, maka kita juga akan dapat mengetahui berapa panjang sisi persegi tersebut kuadrat: a=2C/√5.
Ada banyak cara untuk mengetahui parameter penting seperti panjang sisi persegi.
Volume persegi
Ungkapan itu sendiri tidak masuk akal. Apa itu persegi? Ini adalah sosok datar yang hanya memiliki dua parameter - panjang dan lebar. Dan volumenya? Ini adalah karakteristik kuantitatif dari ruang yang ditempati suatu benda, yaitu hanya dapat dihitung untuk benda volumetrik.
3D tubuh, semua wajah yang persegi - kubus. Terlepas dari perbedaan yang sangat besar dan mendasar, anak sekolah cukup sering mencoba menghitung volume persegi. Jika seseorang berhasil, Hadiah Nobel dijamin.
Dan untuk mengetahui volume kubus V, cukup dengan mengalikan ketiga rusuknya - a, b, c: V=abc. Dan karena definisinya sama, rumusnya mungkin terlihat berbeda: V=a3.
Jumlah, suku cadang, dan spesifikasi
Persegi, seperti poligon apa pun, memiliki simpul - ini adalah titik di mana sisi-sisinya berpotongan. Titik sudut bujur sangkar terletak pada lingkaran yang dibatasi di sekelilingnya. Sebuah diagonal melewati titik sudut ke pusat bujur sangkar, yang juga merupakan garis bagi dan jari-jari lingkaran yang dibatasi.
Karena persegi adalah bangun datar, tidak mungkin untuk membedah dan membuat bagian persegi. Tapi itu bisa menjadi hasil dari perpotongan banyak benda tiga dimensi oleh sebuah pesawat. Misalnya silinder. Bagian aksial silinder adalah persegi panjang atau persegi. Bahkan ketika tubuh berpotongan dengan bidang pada sudut yang berubah-ubah, sebuah bujur sangkar dapat berubah!
Tapi bujur sangkar memiliki hubungan lain dengan bagian, tetapi tidak dengan siapa pun, tetapi dengan Bagian Emas.
Kita semua tahu bahwa Rasio Emas adalah proporsi di mana satu nilai terkait dengan yang lain dengan cara yang sama sepertijumlah mereka ke nilai yang lebih besar. Dalam persentase umum, terlihat seperti ini: nilai asli (jumlah) dibagi 62 dan 38 persen.
Rasio emas sangat populer. Ini digunakan dalam desain, arsitektur, di mana saja, bahkan dalam ekonomi. Tapi ini jauh dari satu-satunya proporsi yang diturunkan oleh Pythagoras. Ada, misalnya, ekspresi lain "√2". Atas dasar itu, persegi panjang dinamis dibangun, yang, pada gilirannya, merupakan pendiri format grup A (A6, A5, A4, dll.). Mengapa kita berbicara tentang persegi panjang dinamis? Karena konstruksinya dimulai dengan persegi.
Ya, pertama-tama Anda perlu membuat persegi. Sisinya akan sama dengan sisi yang lebih kecil dari persegi panjang di masa depan. Maka perlu untuk menggambar diagonal bujur sangkar ini dan, menggunakan kompas, sisihkan panjang diagonal ini pada kelanjutan sisi bujur sangkar. Dari titik yang diperoleh di persimpangan, kami membangun persegi panjang, di mana kami membangun kembali diagonal dan menyisihkan panjangnya pada kelanjutan sisi. Jika Anda terus bekerja sesuai dengan skema ini, Anda akan mendapatkan persegi panjang dinamis yang sama.
Perbandingan sisi panjang persegi panjang pertama dengan sisi pendeknya adalah 0,7. Rasio Emasnya hampir 0,68.
Persegi sudut
Sebenarnya, sudah sulit untuk mengatakan sesuatu yang segar tentang tikungan. Semua properti, mereka adalah tanda persegi, kami telah membuat daftar. Adapun sudut-sudutnya ada empat (seperti pada segiempat mana pun), setiap sudut dalam bujur sangkar adalah siku-siku, yaitu memiliki ukuran sembilan puluh derajat. A-prioritas,hanya ada persegi empat persegi panjang. Jika sudutnya lebih besar atau lebih kecil, ini adalah bentuk lain.
Diagonal persegi membagi dua sudutnya, yaitu, membagi dua.
Persamaan persegi
Jika perlu menghitung nilai berbagai besaran persegi (luas, keliling, panjang sisi atau diagonal), gunakan berbagai persamaan yang diturunkan dari sifat-sifat persegi, hukum dasar dan aturan geometri.
1. Persamaan luas persegi
Dari persamaan untuk menghitung luas segi empat, kita tahu bahwa itu (luas) sama dengan produk panjang dan lebar. Dan karena sisi-sisi persegi sama panjang, maka luasnya akan sama dengan panjang sisi mana pun yang dipangkatkan kedua
S=a2.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita dapat menghitung luas persegi berdasarkan panjang diagonalnya.
S=d2/2.
2. Persamaan Keliling Persegi
Keliling persegi, seperti semua segi empat, sama dengan jumlah panjang sisinya, dan karena semuanya sama, kita dapat mengatakan bahwa keliling persegi sama dengan panjang sisi dikalikan empat
P=a+a+a+a=4a.
Sekali lagi, teorema Pythagoras akan membantu kita menemukan keliling melalui diagonal. Anda perlu mengalikan nilai panjang diagonal dengan dua akar dari dua
P=2√2d
3. Persamaan diagonal persegi
Diagonal persegi sama panjang, berpotongan tegak lurus dan membagi dua titik potong.
Kamu dapat menemukannya berdasarkan persamaan di atas untuk luas dan keliling persegi
d=√2a, d=√2S,d=P/2√2
Ada cara lain untuk mengetahui panjang diagonal persegi. Jari-jari lingkaran pada persegi sama dengan setengah dari diagonalnya, maka
d=√2D=2√2R, di mana D adalah diameter dan R adalah jari-jari lingkaran bertulisan.
Mengetahui jari-jari lingkaran yang dibatasi, lebih mudah untuk menghitung diagonal, karena itu adalah diameter, yaitu d=D=2R.
Dimungkinkan juga untuk menghitung panjang diagonal, mengetahui panjang garis yang membentang dari sudut ke pusat sisi bujur sangkar C: d=√8/5C.
Tapi jangan lupa bahwa persegi adalah bagian dari bidang yang dibatasi oleh empat garis yang berpotongan.
Ada cukup persamaan untuk garis (dan angka yang dibentuk olehnya) yang tidak memerlukan deskripsi tambahan, tetapi garisnya tidak terbatas. Dan poligon dibatasi oleh perpotongan garis. Bagi mereka, Anda dapat menggunakan persamaan linier yang digabungkan menjadi sistem yang mendefinisikan garis lurus. Tetapi perlu untuk menentukan parameter tambahan, kondisi.
Untuk mendefinisikan poligon, perlu untuk membuat persamaan yang tidak menggambarkan garis, tetapi segmen arbitrer yang terpisah tanpa intervensi kondisi dan deskripsi tambahan.
[x/xi][xi/x]yi - berikut adalah persamaan khusus untuk poligon.
Kurung persegi di dalamnya menunjukkan kondisi untuk mengecualikan bagian pecahan dari angka, yaitu, kita harus meninggalkan hanya bilangan bulat. yi - fungsi yang akan dieksekusi dalam rentang parameter dari x ke xi.
Menggunakan persamaan ini, kita dapat memperoleh yang barupersamaan untuk menghitung segmen dan garis yang terdiri dari beberapa segmen. Ini adalah dasar, universal untuk poligon.
Ingatlah bahwa persegi adalah bagian dari bidang, sehingga deskripsinya seperti y=f(x) dapat direpresentasikan, paling sering, hanya sebagai fungsi multi-nilai, yang, pada gilirannya, dapat dinyatakan dalam istilah fungsi bernilai tunggal jika mereka diwakili secara parametrik, yaitu tergantung pada beberapa parameter t:
x=f(t), y=f(t).
Jadi, jika Anda menggunakan persamaan universal dan representasi parametrik bersama-sama, Anda sebenarnya dapat memperoleh persamaan untuk menyatakan poligon:
x=((A2+A3)A5+A4P)Cos(L)
y=((A1+A4)A5+A3P)Sin(L), dimana
A1=[1/[T/P][T/P]; A2=[2/[T/P][T/P]/2); A3=[3/[T/P][T/P]/3]; A4=[4/[T/P][T/P]/4]; A5=T-P[T/P], di mana P adalah diagonal persegi panjang, L adalah sudut kemiringan terhadap horizontal diagonal P, T adalah parameter mulai dari P hingga 5P.
Jika L=3, 14/4, maka persamaan tersebut akan menggambarkan kuadrat yang berbeda ukuran, tergantung pada ukuran diagonal P.
Menerapkan persegi
Di dunia modern, teknologi memungkinkan untuk memberikan berbagai bahan bentuk persegi, lebih tepatnya bagian persegi.
Dalam banyak hal lebih menguntungkan, lebih murah, lebih tahan lama, dan lebih aman. Jadi, sekarang mereka membuat pipa persegi, tiang pancang, kawat (kawat) dan bahkan benang persegi.
Keuntungan utamanya sudah jelas, mereka berasal dari geometri dasar. Dengan ukuran yang sama, luas lingkaran bertulisan lebih kecil dari luas bujur sangkar di mana ia tertulis, oleh karena itu,throughput pipa persegi atau kandungan energi kawat persegi akan lebih tinggi daripada pipa bulat.
Barang habis pakai bagian persegi seringkali lebih estetis dan nyaman untuk digunakan, dipasang, dipasang.
Saat memilih bahan ini, penting untuk menghitung dengan benar penampang persegi sehingga kawat atau pipa dapat menahan beban yang diperlukan. Dalam setiap kasus individu, tentu saja, parameter seperti kekuatan atau tekanan saat ini akan diperlukan, tetapi seseorang tidak dapat melakukannya tanpa aturan geometrik dasar persegi. Meskipun dimensi bagian persegi tidak lagi dihitung sebanyak yang dipilih sesuai dengan parameter yang diberikan dari tabel yang dibuat oleh GOST untuk industri yang berbeda.
