Salah satu masalah umum dalam stereometri adalah tugas melintasi garis lurus dan bidang dan menghitung sudut di antara mereka. Mari kita pertimbangkan dalam artikel ini secara lebih rinci apa yang disebut metode koordinat dan sudut antara garis dan bidang.
Garis dan bidang dalam geometri
Sebelum mempertimbangkan metode koordinat dan sudut antara garis dan bidang, Anda harus berkenalan dengan objek geometris bernama.
Garis adalah kumpulan titik dalam ruang atau bidang, yang masing-masing dapat diperoleh dengan mentransfer secara linier titik sebelumnya ke vektor tertentu. Berikut ini, kami menyatakan vektor ini dengan simbol u¯. Jika vektor ini dikalikan dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol, maka kita mendapatkan vektor yang sejajar dengan u¯. Garis adalah objek linier tak hingga.
Sebuah bidang juga merupakan kumpulan titik-titik yang terletak sedemikian rupa sehingga jika Anda membuat vektor arbitrer dari mereka, maka semuanya akan tegak lurus terhadap beberapa vektor n¯. Yang terakhir ini disebut normal atau biasa saja. Sebuah bidang, tidak seperti garis lurus, adalah objek tak berhingga dua dimensi.
Metode koordinat untuk menyelesaikan masalah geometri
Berdasarkan nama metode itu sendiri, kita dapat menyimpulkan bahwa kita berbicara tentang metode untuk memecahkan masalah, yang didasarkan pada kinerja perhitungan sekuensial analitik. Dengan kata lain, metode koordinat memungkinkan Anda untuk memecahkan masalah geometris menggunakan alat aljabar universal, yang utamanya adalah persamaan.
Perlu dicatat bahwa metode yang dipertimbangkan muncul pada awal geometri dan aljabar modern. Kontribusi besar untuk perkembangannya dibuat oleh Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton dan Leibniz pada abad ke-17-18.
Inti dari metode ini adalah menghitung jarak, sudut, luas, dan volume elemen geometri berdasarkan koordinat titik yang diketahui. Perhatikan bahwa bentuk persamaan akhir yang diperoleh bergantung pada sistem koordinat. Paling sering, sistem Cartesian persegi panjang digunakan dalam masalah, karena paling nyaman untuk digunakan.
Persamaan Garis
Mempertimbangkan metode koordinat dan sudut antara garis dan bidang, mari kita mulai dengan mengatur persamaan garis. Ada beberapa cara untuk merepresentasikan garis dalam bentuk aljabar. Di sini kita hanya mempertimbangkan persamaan vektor, karena persamaan tersebut dapat dengan mudah diperoleh darinya dalam bentuk lain apa pun dan mudah untuk dikerjakan.
Asumsikan bahwa ada dua titik: P dan Q. Diketahui bahwa garis dapat ditarik melalui mereka, dan ituakan menjadi satu-satunya. Representasi matematis yang sesuai dari elemen terlihat seperti ini:
(x, y, z)=P + PQ¯.
Di mana PQ¯ adalah vektor yang diperoleh koordinat sebagai berikut:
PQ¯=Q - P.
Simbol menunjukkan parameter yang benar-benar dapat mengambil bilangan apa pun.
Dalam ekspresi tertulis, Anda dapat mengubah arah vektor, dan juga mengganti koordinat Q sebagai ganti titik P. Semua transformasi ini tidak akan menyebabkan perubahan lokasi geometris garis.
Perhatikan bahwa ketika memecahkan masalah, terkadang diperlukan untuk merepresentasikan persamaan vektor tertulis dalam bentuk eksplisit (parametrik).
Menyetel pesawat di luar angkasa
Selain untuk garis lurus, ada juga beberapa bentuk persamaan matematika untuk bidang. Di antara mereka, kami mencatat vektor, persamaan dalam segmen dan bentuk umum. Pada artikel ini, kita akan memberikan perhatian khusus pada bentuk terakhir.
Persamaan umum untuk bidang sembarang dapat ditulis sebagai berikut:
Ax + By + Cz + D=0.
Huruf besar Latin adalah angka-angka tertentu yang mendefinisikan sebuah pesawat.
Kemudahan dari notasi ini adalah bahwa notasi ini secara eksplisit berisi vektor normal terhadap bidang. Sama dengan:
n¯=(A, B, C).
Mengetahui vektor ini memungkinkan, dengan melihat secara singkat persamaan bidang, untuk membayangkan lokasi yang terakhir dalam sistem koordinat.
Pengaturan bersama dalamruang garis dan bidang
Pada paragraf artikel berikutnya kita akan beralih ke pertimbangan metode koordinat dan sudut antara garis dan bidang. Di sini kami akan menjawab pertanyaan tentang bagaimana elemen geometris yang dipertimbangkan dapat ditempatkan di ruang angkasa. Ada tiga cara:
- Garis lurus memotong bidang. Dengan menggunakan metode koordinat, Anda dapat menghitung di titik mana garis dan bidang berpotongan.
- Bidang garis lurus adalah sejajar. Dalam hal ini, sistem persamaan elemen geometri tidak memiliki solusi. Untuk membuktikan paralelisme, biasanya digunakan sifat perkalian skalar dari vektor pengarah garis lurus dan normal bidang.
- Pesawat berisi garis. Memecahkan sistem persamaan dalam kasus ini, kita akan sampai pada kesimpulan bahwa untuk setiap nilai parameter, persamaan yang benar diperoleh.
Dalam kasus kedua dan ketiga, sudut antara objek geometris yang ditentukan sama dengan nol. Dalam kasus pertama, terletak antara 0 dan 90o.
Perhitungan sudut antara garis dan bidang
Sekarang mari kita langsung ke topik artikel. Setiap perpotongan garis dan bidang terjadi pada suatu sudut. Sudut ini dibentuk oleh garis lurus itu sendiri dan proyeksinya ke bidang. Suatu proyeksi dapat diperoleh jika dari sembarang titik pada suatu garis lurus sebuah garis tegak lurus diturunkan pada bidang tersebut, dan kemudian melalui titik potong yang diperoleh dari bidang tersebut dan garis tegak lurus tersebut dan titik perpotongan bidang tersebut dengan garis semula, gambarlah sebuah garis lurus yang akan menjadi proyeksi.
Menghitung sudut antara garis dan bidang bukanlah tugas yang sulit. Untuk menyelesaikannya, cukup mengetahui persamaan benda-benda geometris yang sesuai. Katakanlah persamaan ini terlihat seperti ini:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + (a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Sudut yang diinginkan mudah ditemukan dengan menggunakan sifat-sifat perkalian vektor skalar u¯ dan n¯. Rumus akhir terlihat seperti ini:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Rumus ini mengatakan bahwa sinus sudut antara garis dan bidang sama dengan rasio modulus produk skalar dari vektor yang ditandai dengan produk panjangnya. Untuk memahami mengapa sinus muncul alih-alih kosinus, mari kita beralih ke gambar di bawah ini.
Dapat dilihat bahwa jika kita menerapkan fungsi kosinus, kita akan mendapatkan sudut antara vektor u¯ dan n¯. Sudut yang diinginkan (α pada gambar) diperoleh sebagai berikut:
θ=90o-.
Sinus muncul sebagai hasil dari penerapan rumus reduksi.
Contoh soal
Mari kita beralih ke penggunaan praktis dari pengetahuan yang diperoleh. Mari kita selesaikan masalah tipikal pada sudut antara garis lurus dan bidang. Koordinat empat titik berikut diberikan:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Diketahui bahwa melalui titik PQMsebuah pesawat melewatinya, dan sebuah garis lurus melewati MN. Dengan menggunakan metode koordinat, sudut antara bidang dan garis harus dihitung.
Pertama, mari kita tulis persamaan garis lurus dan bidang. Untuk garis lurus, mudah untuk menyusunnya:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + (-2, -4, 2).
Untuk membuat persamaan bidang, pertama-tama kita cari normalnya. Koordinatnya sama dengan produk vektor dari dua vektor yang terletak pada bidang tertentu. Kami memiliki:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Sekarang mari kita substitusikan koordinat dari sembarang titik yang terletak di dalamnya ke dalam persamaan bidang umum untuk mendapatkan nilai suku bebas D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Persamaan bidangnya adalah:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Tetap menerapkan rumus sudut yang terbentuk pada perpotongan garis lurus dan bidang untuk mendapatkan jawaban dari soal tersebut. Kami memiliki:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=24; |n¯|=162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Menggunakan masalah ini sebagai contoh, kami menunjukkan cara menggunakan metode koordinat untuk menyelesaikan masalah geometris.
