Pada kata "tak terhingga" setiap orang memiliki asosiasinya sendiri. Banyak yang menggambar dalam imajinasi mereka laut yang melampaui cakrawala, sementara yang lain memiliki gambar langit berbintang yang tak berujung di depan mata mereka. Matematikawan, yang terbiasa bekerja dengan angka, membayangkan ketidakterbatasan dengan cara yang sama sekali berbeda. Selama berabad-abad mereka telah berusaha menemukan besaran fisika terbesar yang diperlukan untuk pengukuran. Salah satunya adalah nomor Graham. Berapa banyak angka nol di dalamnya dan untuk apa digunakan, artikel ini akan memberi tahu.
Jumlah besar tak terhingga
Dalam matematika, ini adalah nama variabel seperti itu x , jika untuk sembarang bilangan positif M, seseorang dapat menentukan bilangan asli N sedemikian sehingga untuk semua bilangan n lebih besar dari N pertidaksamaan |x| > M. Namun, tidak, misalnya, bilangan bulat Z dapat dianggap besar tak terhingga, karena akan selalu lebih kecil dari (Z + 1).
Beberapa kata tentang "raksasa"
Bilangan terbesar yang memiliki arti fisik dianggap:
- 1080. Angka ini, yang biasa disebut quinquavigintillion, digunakan untuk menunjukkan perkiraan jumlah quark dan lepton (partikel terkecil) di Alam Semesta.
- 1 Google. Angka seperti itu dalam sistem desimal ditulis sebagai unit dengan 100 nol. Menurut beberapa model matematika, dari saat big bang hingga ledakan lubang hitam paling masif, dari 1 hingga 1,5 tahun googol akan berlalu, setelah itu alam semesta kita akan bergerak ke tahap terakhir keberadaannya, yaitu, kita dapat asumsikan bahwa angka ini memiliki arti fisik tertentu.
- 8, 5 x 10185. Konstanta Planck adalah 1.616199 x 10-35 m, yaitu dalam notasi desimal terlihat seperti 0,000000000000000000000000000616199 m. Ada sekitar 1 googol Planck panjang dalam satu inci. Diperkirakan sekitar 8,5 x 10185 Panjang Planck dapat muat di seluruh alam semesta kita.
- 277 232 917 – 1. Ini adalah bilangan prima terbesar yang diketahui. Jika notasi binernya memiliki bentuk yang cukup kompak, maka untuk menggambarkannya dalam bentuk desimal, dibutuhkan tidak kurang dari 13 juta karakter. Ditemukan pada tahun 2017 sebagai bagian dari proyek untuk mencari nomor Mersenne. Jika peminat terus bekerja ke arah ini, maka pada tingkat perkembangan teknologi komputer saat ini, dalam waktu dekat mereka tidak mungkin dapat menemukan bilangan Mersenne yang urutan besarnya lebih besar dari 277 232 917 - 1, meskipun demikianpemenang yang beruntung akan menerima US$150.000.
- Hugoplex. Disini kita hanya mengambil 1 dan menambahkan angka nol setelahnya sebesar 1 googol. Anda dapat menulis angka ini sebagai 10^10^100. Mustahil untuk menyatakannya dalam bentuk desimal, karena jika seluruh ruang Semesta diisi dengan potongan-potongan kertas, di mana masing-masing 0 akan ditulis dengan ukuran font "Word" 10, maka dalam hal ini hanya setengah dari semua 0 setelah 1 akan diperoleh untuk nomor googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Ini adalah angka yang menunjukkan jumlah tahun setelah itu, menurut teorema Poincaré, Alam Semesta kita, sebagai akibat dari fluktuasi kuantum acak, akan kembali ke keadaan yang mendekati hari ini.
Bagaimana nomor Graham muncul
Pada tahun 1977, pempopuler sains terkenal Martin Gardner menerbitkan sebuah artikel di Scientific American tentang bukti Graham tentang salah satu masalah teori Ramse. Di dalamnya, ia menyebut batas yang ditetapkan oleh ilmuwan sebagai bilangan terbesar yang pernah digunakan dalam penalaran matematis yang serius.
Siapa Ronald Lewis Graham
Ilmuwan, sekarang berusia 80-an, lahir di California. Pada tahun 1962, ia menerima gelar Ph. D di bidang matematika dari Universitas Berkeley. Dia bekerja di Bell Labs selama 37 tahun dan kemudian pindah ke AT&T Labs. Ilmuwan secara aktif berkolaborasi dengan salah satu matematikawan terbesar abad ke-20, Pal Erdős, dan merupakan pemenang banyak penghargaan bergengsi. Bibliografi ilmiah Graham memuat lebih dari 320 karya ilmiah.
Pada pertengahan 70-an, ilmuwan tertarik pada masalah yang terkait dengan teoriRamsey. Dalam pembuktiannya, batas atas solusi ditentukan, yang merupakan angka yang sangat besar, yang kemudian dinamai Ronald Graham.
Masalah hypercube
Untuk memahami inti dari bilangan Graham, Anda harus terlebih dahulu memahami cara memperolehnya.
Ilmuwan dan rekannya Bruce Rothschild sedang memecahkan masalah berikut:
Ada hypercube n-dimensi. Semua pasangan simpulnya terhubung sedemikian rupa sehingga diperoleh graf lengkap dengan 2simpul. Masing-masing tepinya berwarna biru atau merah. Diperlukan untuk menemukan jumlah minimum simpul yang harus dimiliki hypercube sehingga setiap pewarnaan tersebut berisi subgraf monokromatik lengkap dengan 4 simpul yang terletak di bidang yang sama.
Keputusan
Graham dan Rothschild membuktikan bahwa masalah memiliki solusi N' yang memenuhi kondisi 6 N' N di mana N adalah bilangan yang terdefinisi dengan baik, sangat besar.
Batas bawah untuk N kemudian disempurnakan oleh ilmuwan lain, yang membuktikan bahwa N harus lebih besar dari atau sama dengan 13. Dengan demikian, ekspresi untuk jumlah terkecil dari simpul hiperkubus yang memenuhi kondisi yang disajikan di atas menjadi 13 N'⩽ N.
notasi panah Knuth
Sebelum mendefinisikan bilangan Graham, Anda harus membiasakan diri dengan metode representasi simbolisnya, karena notasi desimal maupun biner sama sekali tidak cocok untuk ini.
Saat ini, notasi panah Knuth digunakan untuk menyatakan besaran ini. Menurut dia:
ab=a "panah atas" b.
Untuk operasi eksponensial ganda, entri diperkenalkan:
a "panah atas" "panah atas" b=ab="menara yang terdiri dari a dalam jumlah b buah."
Dan untuk pentation, yaitu penunjukan simbolis dari eksponensial berulang dari operator sebelumnya, Knuth sudah menggunakan 3 panah.
Menggunakan notasi ini untuk nomor Graham, kami memiliki urutan "panah" yang bersarang satu sama lain, dalam jumlah 64 pcs.
Skala
Nomor terkenal mereka, yang menggairahkan imajinasi dan memperluas batas kesadaran manusia, membawanya melampaui batas Semesta, Graham dan rekan-rekannya memperolehnya sebagai batas atas untuk angka N dalam bukti hypercube masalah yang disajikan di atas. Sangat sulit bagi orang biasa untuk membayangkan seberapa besar skalanya.
Pertanyaan tentang jumlah karakter, atau seperti yang kadang-kadang keliru dikatakan, angka nol dalam bilangan Graham, menarik bagi hampir semua orang yang pertama kali mendengar tentang nilai ini.
Cukup untuk mengatakan bahwa kita berurusan dengan urutan yang berkembang pesat yang terdiri dari 64 anggota. Bahkan suku pertamanya tidak mungkin untuk dibayangkan, karena terdiri dari n "menara", yang terdiri dari 3-sampai. Sudah "lantai bawah" dari 3 tiga kali lipat sama dengan 7.625.597.484.987, yaitu, melebihi 7 miliar, yaitu tentang lantai 64 (bukan anggota!). Dengan demikian, saat ini tidak mungkin untuk mengatakan dengan tepat berapa angka Graham, karena tidak cukup untuk menghitungnya.kekuatan gabungan dari semua komputer yang ada di Bumi saat ini.
Rekaman rusak?
Dalam proses pembuktian teorema Kruskal, bilangan Graham "terlempar dari alasnya". Ilmuwan mengajukan masalah berikut:
Ada barisan pohon berhingga yang tak terhingga. Kruskal membuktikan bahwa selalu ada bagian dari beberapa graf, yang merupakan bagian dari graf yang lebih besar dan salinan eksaknya. Pernyataan ini tidak menimbulkan keraguan, karena jelas bahwa akan selalu ada kombinasi berulang yang tepat di tak hingga
Kemudian, Harvey Friedman mempersempit masalah ini dengan hanya mempertimbangkan graf asiklik (pohon) sedemikian sehingga untuk graf (pohon) tertentu dengan koefisien i paling banyak (i + k) simpul. Dia memutuskan untuk mencari tahu berapa jumlah graf asiklik yang seharusnya, sehingga dengan metode tugas mereka ini akan selalu memungkinkan untuk menemukan subpohon yang akan disematkan di pohon lain.
Sebagai hasil penelitian tentang masalah ini, ditemukan bahwa N, bergantung pada k, tumbuh dengan kecepatan yang luar biasa. Secara khusus, jika k=1, maka N=3. Namun, pada k=2, N sudah mencapai 11. Hal yang paling menarik dimulai ketika k=3. Dalam hal ini, N dengan cepat "lepas landas" dan mencapai nilai yang berkali-kali lebih besar dari bilangan Graham. Untuk membayangkan seberapa besar, cukup dengan menuliskan angka yang dihitung oleh Ronald Graham dalam bentuk G64 (3). Maka nilai Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)), akan menjadi orde G(G(187196)). Dengan kata lain, nilai mega diperoleh, yang jauh lebih besarjumlah Graham yang tak terbayangkan besar. Pada saat yang sama, bahkan itu akan menjadi kurang dari tak terhingga dengan beberapa kali lipat. Masuk akal untuk membicarakan konsep ini secara lebih rinci.
Tak Terbatas
Sekarang setelah kita menjelaskan apa itu angka Graham di jari, kita harus memahami makna yang telah dan sedang ditanamkan dalam konsep filosofis ini. Lagi pula, "tak terhingga" dan "angka yang sangat besar" dapat dianggap identik dalam konteks tertentu.
Kontribusi terbesar untuk mempelajari masalah ini dibuat oleh Aristoteles. Pemikir besar zaman kuno membagi ketidakterbatasan menjadi potensi dan aktual. Yang terakhir, yang dia maksud adalah realitas keberadaan hal-hal yang tak terbatas.
Menurut Aristoteles, sumber gagasan tentang konsep dasar ini adalah:
- waktu;
- pemisahan nilai;
- konsep perbatasan dan keberadaan sesuatu di luarnya;
- sifat kreatif yang tiada habisnya;
- berpikir tanpa batas.
Dalam interpretasi modern tak terhingga, Anda tidak dapat menentukan ukuran kuantitatif, sehingga pencarian angka terbesar dapat berlangsung selamanya.
Kesimpulan
Dapatkah metafora "Tatap ke tak terhingga" dan nomor Graham dianggap sinonim dalam beberapa hal? Melainkan ya dan tidak. Keduanya mustahil untuk dibayangkan, bahkan dengan imajinasi terkuat sekalipun. Namun, seperti yang telah disebutkan, itu tidak dapat dianggap "paling, paling banyak". Hal lain adalah bahwa pada saat ini, nilai yang lebih besar dari angka Graham belum ditetapkanpengertian fisik.
Juga, ia tidak memiliki sifat-sifat bilangan tak terhingga, seperti:
- ∞ + 1=;
- ada bilangan ganjil dan genap yang tak terhingga;
- ∞ - 1=;
- jumlah bilangan ganjil tepat setengah dari semua bilangan;
- ∞ +=;
- ∞/2=.
Untuk meringkas: Angka Graham adalah angka terbesar dalam praktik pembuktian matematis, menurut Guinness Book of Records. Namun, ada angka yang berkali-kali lebih besar dari nilai ini.
Kemungkinan besar, di masa depan akan ada kebutuhan akan "raksasa" yang lebih besar, terutama jika seseorang melampaui tata surya kita atau menemukan sesuatu yang tak terbayangkan pada tingkat kesadaran kita saat ini.
