Salah satu topik matematika universitas yang paling sulit dan tidak dapat dipahami adalah integrasi dan kalkulus diferensial. Anda perlu mengetahui dan memahami konsep-konsep ini, serta mampu menerapkannya. Banyak disiplin teknis universitas terikat pada diferensial dan integral.
Informasi singkat tentang persamaan
Persamaan ini adalah salah satu konsep matematika terpenting dalam sistem pendidikan. Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang dicari, dan turunan fungsi tersebut dengan variabel yang dianggap bebas. Kalkulus diferensial untuk menemukan fungsi dari satu variabel disebut biasa. Jika fungsi yang diinginkan bergantung pada beberapa variabel, maka kita berbicara tentang persamaan diferensial parsial.
Faktanya, menemukan jawaban tertentu untuk persamaan bermuara pada integrasi, dan metode penyelesaian ditentukan oleh jenis persamaan.
Persamaan orde pertama
Persamaan diferensial orde pertama adalah persamaan yang dapat menggambarkan variabel, fungsi yang diinginkan, dan turunan pertamanya. Persamaan tersebut dapat diberikan dalam tiga bentuk: eksplisit, implisit, diferensial.
Konsep yang dibutuhkan untuk dipecahkan
Kondisi awal - menyetel nilai fungsi yang diinginkan untuk nilai tertentu dari variabel yang independen.
Solusi persamaan diferensial - setiap fungsi yang dapat diturunkan, yang disubstitusikan secara tepat ke persamaan aslinya, mengubahnya menjadi sama persis. Solusi yang diperoleh, yang tidak eksplisit, adalah integral dari persamaan.
Solusi umum persamaan diferensial adalah fungsi y=y(x;C), yang dapat memenuhi pertimbangan berikut:
- Sebuah fungsi hanya dapat memiliki satu konstanta arbitrer С.
- Fungsi yang dihasilkan harus merupakan solusi persamaan untuk nilai sembarang dari konstanta sembarang.
- Dengan kondisi awal tertentu, konstanta arbitrer dapat didefinisikan dengan cara yang unik sehingga solusi tertentu yang dihasilkan akan konsisten dengan kondisi awal awal yang diberikan.
Dalam praktiknya, masalah Cauchy sering digunakan - mencari solusi yang khusus dan dapat dibandingkan dengan kondisi yang ditetapkan di awal.
Teorema Cauchy adalah teorema yang menekankan keberadaan dan keunikan solusi tertentu dalam kalkulus diferensial.
Pengertian geometris:
- Solusi umum y=y(x;C)persamaan adalah jumlah total kurva integral.
- Kalkulus Diferensial memungkinkan Anda untuk menghubungkan koordinat titik pada bidang XOY dan garis singgung yang ditarik ke kurva integral.
- Mengatur kondisi awal berarti menetapkan titik pada bidang.
- Untuk menyelesaikan masalah Cauchy berarti bahwa dari seluruh himpunan kurva integral yang mewakili solusi persamaan yang sama, perlu dipilih satu-satunya yang melalui satu-satunya titik yang mungkin.
- Pemenuhan syarat teorema Cauchy di suatu titik berarti bahwa kurva integral (apalagi hanya satu) harus melalui titik yang dipilih pada bidang.
Persamaan variabel yang dapat dipisahkan
Menurut definisi, persamaan diferensial adalah persamaan di mana sisi kanannya menggambarkan atau dicerminkan sebagai produk (kadang-kadang rasio) dari dua fungsi, satu hanya bergantung pada "x", dan yang lainnya - hanya pada "y ". Contoh yang jelas untuk jenis ini: y'=f1(x)f2(y).
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk tertentu, Anda harus terlebih dahulu mengubah turunan y'=dy/dx. Kemudian, dengan memanipulasi persamaan, Anda perlu membawanya ke bentuk di mana Anda dapat mengintegrasikan dua bagian persamaan. Setelah transformasi yang diperlukan, kami mengintegrasikan kedua bagian dan menyederhanakan hasilnya.
Persamaan homogen
Menurut definisi, persamaan diferensial dapat disebut homogen jika memiliki bentuk berikut: y'=g(y/x).
Dalam hal ini, penggantian y/x=paling sering digunakant(x).
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, perlu untuk mereduksi persamaan homogen menjadi bentuk dengan variabel yang dapat dipisahkan. Untuk melakukan ini, Anda harus melakukan operasi berikut:
- Tampilan, menyatakan turunan dari fungsi asli, dari sembarang fungsi asli sebagai persamaan baru.
- Langkah selanjutnya adalah mentransformasikan fungsi yang dihasilkan ke dalam bentuk f(x;y)=g(y/x). Dengan kata yang lebih sederhana, buat persamaan yang hanya berisi rasio y/x dan konstanta.
- Lakukan penggantian berikut: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Substitusi yang dilakukan akan membantu membagi variabel dalam persamaan, secara bertahap membawanya ke bentuk yang lebih sederhana.
Persamaan linier
Definisi persamaan tersebut adalah sebagai berikut: persamaan diferensial linier adalah persamaan yang ruas kanannya dinyatakan sebagai persamaan linier terhadap fungsi aslinya. Fungsi yang diinginkan dalam kasus ini: y'=a(x)y + b(x).
Mari kita ulangi definisi sebagai berikut: setiap persamaan orde 1 akan menjadi linier dalam bentuknya jika fungsi asal dan turunannya termasuk dalam persamaan derajat pertama dan tidak dikalikan satu sama lain. "Bentuk klasik" dari persamaan diferensial linier memiliki struktur sebagai berikut: y' + P(x)y=Q(x).
Sebelum menyelesaikan persamaan seperti itu, persamaan tersebut harus dikonversi ke "bentuk klasik". Langkah selanjutnya adalah pemilihan metode penyelesaian: metode Bernoulli atau metode Lagrange.
Memecahkan persamaan denganmenggunakan metode yang diperkenalkan oleh Bernoulli, menyiratkan substitusi dan pengurangan persamaan diferensial linier menjadi dua persamaan dengan variabel terpisah relatif terhadap fungsi U(x) dan V(x), yang diberikan dalam bentuk aslinya.
Metode Lagrange adalah mencari solusi umum dari persamaan asli.
- Hal ini diperlukan untuk menemukan solusi yang sama dari persamaan homogen. Setelah mencari, kami memiliki fungsi y=y(x, C), di mana C adalah konstanta arbitrer.
- Kami mencari solusi untuk persamaan asli dalam bentuk yang sama, tetapi kami mempertimbangkan C=C(x). Kita substitusikan fungsi y=y(x, C(x)) ke dalam persamaan awal, cari fungsi C(x) dan tuliskan solusi persamaan umum aslinya.
Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli - jika ruas kanan kalkulus berbentuk f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, di mana k adalah sembarang nilai numerik rasional yang mungkin, tidak mengambil sebagai contoh kasus ketika k=0 dan k=1.
Jika k=1, maka kalkulus menjadi dapat dipisahkan, dan ketika k=0, persamaan tetap linier.
Mari kita pertimbangkan kasus umum untuk memecahkan jenis persamaan ini. Kami memiliki persamaan Bernoulli standar. Itu harus direduksi menjadi linier, untuk ini Anda perlu membagi persamaan dengan yk. Setelah operasi ini, ganti z(x)=y1-k. Setelah serangkaian transformasi, persamaan akan direduksi menjadi persamaan linier, paling sering dengan metode substitusi z=UV.
Persamaan Diferensial Total
Definisi. Persamaan dengan struktur P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 disebut persamaan utuhdiferensial, jika kondisi berikut terpenuhi (dalam kondisi ini, "d" adalah diferensial parsial): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Semua persamaan diferensial orde pertama yang dipertimbangkan sebelumnya dapat ditampilkan sebagai diferensial.
Perhitungan tersebut diselesaikan dalam beberapa cara. Namun, bagaimanapun, semuanya dimulai dengan pemeriksaan kondisi. Jika kondisinya terpenuhi, maka daerah paling kiri dari persamaan tersebut adalah diferensial total dari fungsi U(x;y) yang belum diketahui. Kemudian, sesuai dengan persamaan, dU (x; y) akan sama dengan nol, dan oleh karena itu integral yang sama dari persamaan dalam diferensial total akan ditampilkan dalam bentuk U (x; y) u003d C. Oleh karena itu, solusi persamaan direduksi menjadi fungsi U (x; y).
Faktor integrasi
Jika kondisi dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx tidak terpenuhi dalam persamaan, maka persamaan tidak memiliki bentuk yang kita pertimbangkan di atas. Tetapi kadang-kadang dimungkinkan untuk memilih beberapa fungsi M(x;y), bila dikalikan dengan persamaan yang berbentuk persamaan "diffurs" penuh. Fungsi M (x;y) disebut sebagai faktor integrasi.
Sebuah integrator hanya dapat ditemukan jika menjadi fungsi dari satu variabel saja.
