Persamaan aljabar atau sistemnya dengan koefisien rasional yang solusinya dicari dalam bilangan integral atau bilangan bulat. Sebagai aturan, jumlah yang tidak diketahui dalam persamaan Diophantine lebih besar. Dengan demikian, mereka juga dikenal sebagai pertidaksamaan tak tentu. Dalam matematika modern, konsep di atas diterapkan pada persamaan aljabar yang penyelesaiannya dicari dalam bilangan bulat aljabar dari beberapa perluasan bidang variabel Q-rasional, bidang variabel p-adik, dll.
Asal dari ketidaksetaraan ini
Studi tentang persamaan Diophantine berada di perbatasan antara teori bilangan dan geometri aljabar. Menemukan solusi dalam variabel integer adalah salah satu masalah matematika tertua. Sudah di awal milenium kedua SM. orang Babilonia kuno berhasil memecahkan sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Cabang matematika ini paling berkembang di Yunani kuno. Aritmatika Diophantus (sekitar abad ke-3 M) adalah sumber penting dan utama yang berisi berbagai jenis dan sistem persamaan.
Dalam buku ini, Diophantus meramalkan sejumlah metode untuk mempelajari pertidaksamaan dari kedua dan ketigaderajat yang sepenuhnya dikembangkan pada abad ke-19. Penciptaan teori bilangan rasional oleh peneliti Yunani kuno ini mengarah pada analisis solusi logis untuk sistem tak tentu, yang secara sistematis diikuti dalam bukunya. Meskipun karyanya berisi solusi untuk persamaan Diophantine tertentu, ada alasan untuk percaya bahwa ia juga akrab dengan beberapa metode umum.
Studi tentang ketidaksetaraan ini biasanya dikaitkan dengan kesulitan yang serius. Karena mengandung polinomial dengan koefisien bilangan bulat F (x, y1, …, y). Berdasarkan hal ini, ditarik kesimpulan bahwa tidak ada algoritma tunggal yang dapat digunakan untuk menentukan x yang diberikan apakah persamaan F (x, y1, …., y). Situasi dapat diselesaikan untuk y1, …, y . Contoh polinomial tersebut dapat ditulis.
Pertidaksamaan paling sederhana
ax + by=1, di mana a dan b relatif bilangan bulat dan bilangan prima, ia memiliki sejumlah besar eksekusi (jika x0, y0 hasilnya terbentuk, maka pasangan variabel x=x0 + b dan y=y0-an, di mana n arbitrer, juga akan dianggap sebagai pertidaksamaan). Contoh lain dari persamaan Diophantine adalah x2 + y2 =z2. Solusi integral positif dari pertidaksamaan ini adalah panjang sisi kecil x, y dan segitiga siku-siku, serta sisi miring z dengan dimensi sisi bilangan bulat. Angka-angka ini dikenal sebagai bilangan Pythagoras. Semua kembar tiga sehubungan dengan prima ditunjukkanvariabel di atas diberikan oleh x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, di mana m dan n adalah bilangan bulat dan bilangan prima (m>n>0).
Diophantus dalam Arithmetic-nya mencari solusi rasional (tidak harus integral) dari tipe khusus ketidaksetaraannya. Sebuah teori umum untuk memecahkan persamaan diophantine tingkat pertama dikembangkan oleh C. G. Baschet pada abad ke-17. Ilmuwan lain pada awal abad ke-19 terutama mempelajari ketidaksetaraan serupa seperti kapak2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, di mana a, b, c, d, e, dan f adalah umum, heterogen, dengan dua derajat yang tidak diketahui. Lagrange menggunakan pecahan lanjutan dalam studinya. Gauss untuk bentuk kuadrat mengembangkan teori umum yang mendasari beberapa jenis solusi.
Dalam studi tentang ketidaksetaraan tingkat kedua ini, kemajuan signifikan baru dicapai pada abad ke-20. A. Anda menemukan bahwa persamaan Diophantine a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, di mana n≧3, a0, …, a , c bilangan bulat, dan a0tn + …+ a tidak dapat memiliki banyak solusi bilangan bulat. Namun, metode Thue tidak dikembangkan dengan benar. A. Baker menciptakan teorema efektif yang memberikan perkiraan kinerja beberapa persamaan semacam ini. BN Delaunay mengusulkan metode investigasi lain yang berlaku untuk kelas yang lebih sempit dari ketidaksetaraan ini. Secara khusus, bentuk ax3 + y3 =1 dapat diselesaikan dengan cara ini.
Persamaan diophantine: metode penyelesaian
Teori Diophantus memiliki banyak arah. Jadi, masalah yang terkenal dalam sistem ini adalah hipotesis bahwa tidak ada solusi nontrivial dari persamaan Diophantine xn + y =z n jika n 3 (pertanyaan Fermat). Studi tentang pemenuhan bilangan bulat dari ketidaksetaraan adalah generalisasi alami dari masalah triplet Pythagoras. Euler memperoleh solusi positif dari masalah Fermat untuk n=4. Berdasarkan hasil ini, ini mengacu pada bukti bilangan bulat yang hilang, studi bukan-nol dari persamaan jika n adalah bilangan prima ganjil.
Studi mengenai keputusan tersebut belum selesai. Kesulitan dengan implementasinya terkait dengan fakta bahwa faktorisasi sederhana dalam ring bilangan bulat aljabar tidak unik. Teori pembagi dalam sistem ini untuk banyak kelas eksponen prima n memungkinkan untuk mengkonfirmasi validitas teorema Fermat. Dengan demikian, persamaan linear Diophantine dengan dua yang tidak diketahui dipenuhi dengan metode dan cara yang ada.
Jenis dan jenis tugas yang dijelaskan
Aritmatika ring bilangan bulat aljabar juga digunakan dalam banyak masalah dan solusi persamaan Diophantine lainnya. Misalnya, metode tersebut diterapkan saat memenuhi pertidaksamaan bentuk N(a1 x1 +…+ a x)=m, di mana N(a) adalah norma dari a, dan x1, …, xn variabel rasional integral ditemukan. Kelas ini termasuk persamaan Pell x2–dy2=1.
Nilai a1, …, a yang muncul, persamaan ini dibagi menjadi dua jenis. Jenis pertama - yang disebut bentuk lengkap - mencakup persamaan di mana di antara a terdapat m bilangan bebas linier di atas bidang variabel rasional Q, di mana m=[Q(a1, …, a):Q], di mana terdapat derajat pangkat aljabar Q (a1, …, a ) terhadap Q. Spesies tidak lengkap adalah spesies di dimana jumlah maksimum a i kurang dari m.
Formulir lengkap lebih sederhana, studinya selesai, dan semua solusi dapat dijelaskan. Jenis kedua, spesies yang tidak lengkap, lebih rumit, dan pengembangan teori semacam itu belum selesai. Persamaan tersebut dipelajari dengan menggunakan pendekatan Diophantine, yang mencakup pertidaksamaan F(x, y)=C, di mana F (x, y) adalah polinomial homogen tak tereduksi derajat n≧3. Dengan demikian, kita dapat mengasumsikan bahwa yi→∞. Oleh karena itu, jika yi cukup besar, maka pertidaksamaan akan bertentangan dengan teorema Thue, Siegel dan Roth, sehingga F(x, y)=C, di mana F adalah bentuk derajat ketiga atau lebih, tak dapat direduksi tidak dapat memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.
Bagaimana menyelesaikan persamaan Diophantine?
Contoh ini adalah kelas yang agak sempit di antara semuanya. Misalnya, meskipun sederhana, x3 + y3 + z3=N, dan x 2 +y 2 +z2 +u2 =N tidak termasuk dalam kelas ini. Studi tentang solusi adalah cabang persamaan Diophantine yang dipelajari dengan hati-hati, di mana basisnya adalah representasi dengan bentuk bilangan kuadrat. Lagrangemembuat teorema yang mengatakan bahwa pemenuhan ada untuk semua N alami. Setiap bilangan asli dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari tiga kuadrat (Teorema Gauss), tetapi tidak boleh dalam bentuk 4a (8K- 1), di mana a dan k adalah eksponen bilangan bulat non-negatif.
Solusi rasional atau integral dari sistem persamaan Diophantine tipe F (x1, …, x)=a, di mana F (x 1, …, x) adalah bentuk kuadrat dengan koefisien bilangan bulat. Jadi, menurut teorema Minkowski-Hasse, pertidaksamaan aijxixj=b ijdan b rasional, memiliki solusi integral dalam bilangan real dan p-adik untuk setiap bilangan prima p hanya jika dapat diselesaikan dalam struktur ini.
Karena kesulitan yang melekat, studi bilangan dengan bentuk arbitrer dari tingkat ketiga ke atas telah dipelajari pada tingkat yang lebih rendah. Metode eksekusi utama adalah metode penjumlahan trigonometri. Dalam hal ini, jumlah solusi persamaan secara eksplisit ditulis dalam integral Fourier. Setelah itu, metode lingkungan digunakan untuk menyatakan banyaknya pemenuhan pertidaksamaan dari kongruensi yang bersesuaian. Metode jumlah trigonometri tergantung pada fitur aljabar dari pertidaksamaan. Ada banyak metode dasar untuk menyelesaikan persamaan linear Diophantine.
Analisis Diophantine
Jurusan matematika, yang subjeknya adalah studi tentang solusi integral dan rasional dari sistem persamaan aljabar dengan metode geometri, dari yang samabola. Pada paruh kedua abad ke-19, munculnya teori bilangan ini mengarah pada studi persamaan Diophantine dari bidang arbitrer dengan koefisien, dan solusi dianggap di dalamnya atau di cincinnya. Sistem fungsi aljabar dikembangkan secara paralel dengan angka. Analogi dasar antara keduanya, yang ditekankan oleh D. Hilbert dan, khususnya, L. Kronecker, menyebabkan konstruksi seragam dari berbagai konsep aritmatika, yang biasanya disebut global.
Hal ini terutama terlihat jika fungsi aljabar yang dipelajari pada bidang konstanta berhingga adalah satu variabel. Konsep-konsep seperti teori medan kelas, pembagi, dan percabangan serta hasil adalah ilustrasi yang baik dari hal di atas. Sudut pandang ini diadopsi dalam sistem ketidaksetaraan Diophantine hanya kemudian, dan penelitian sistematis tidak hanya dengan koefisien numerik, tetapi juga dengan koefisien yang merupakan fungsi, baru dimulai pada 1950-an. Salah satu faktor penentu dalam pendekatan ini adalah pengembangan geometri aljabar. Studi simultan bidang bilangan dan fungsi, yang muncul sebagai dua aspek yang sama pentingnya dari subjek yang sama, tidak hanya memberikan hasil yang elegan dan meyakinkan, tetapi juga mengarah pada pengayaan timbal balik dari kedua topik tersebut.
Dalam geometri aljabar, gagasan tentang variasi digantikan oleh himpunan pertidaksamaan non-invarian pada bidang K yang diberikan, dan penyelesaiannya digantikan oleh titik rasional dengan nilai dalam K atau dalam ekstensi terbatasnya. Seseorang dapat dengan demikian mengatakan bahwa masalah mendasar dari geometri Diophantine adalah studi tentang titik-titik rasionaldari himpunan aljabar X(K), sedangkan X adalah bilangan-bilangan tertentu dalam bidang K. Eksekusi bilangan bulat memiliki arti geometris dalam persamaan linear Diophantine.
Studi ketidaksetaraan dan opsi eksekusi
Saat mempelajari poin rasional (atau integral) pada varietas aljabar, masalah pertama muncul, yaitu keberadaannya. Masalah kesepuluh Hilbert dirumuskan sebagai masalah menemukan metode umum untuk memecahkan masalah ini. Dalam proses membuat definisi yang tepat dari algoritma dan setelah terbukti bahwa tidak ada eksekusi seperti itu untuk sejumlah besar masalah, masalah tersebut memperoleh hasil negatif yang jelas, dan pertanyaan yang paling menarik adalah definisi kelas persamaan Diophantine yang sistem di atas ada. Pendekatan yang paling alami, dari sudut pandang aljabar, adalah apa yang disebut prinsip Hasse: bidang awal K dipelajari bersama dengan penyelesaiannya Kv atas semua perkiraan yang mungkin. Karena X(K)=X(Kv) adalah kondisi yang diperlukan untuk keberadaan, dan titik K memperhitungkan bahwa himpunan X(Kv) tidak kosong untuk semua v.
Pentingnya terletak pada kenyataan bahwa ia menyatukan dua masalah. Yang kedua jauh lebih sederhana, dapat dipecahkan dengan algoritma yang dikenal. Dalam kasus tertentu di mana variasi X adalah proyektif, lemma Hansel dan generalisasinya memungkinkan reduksi lebih lanjut: masalahnya dapat direduksi menjadi studi titik-titik rasional di atas medan berhingga. Kemudian ia memutuskan untuk membangun sebuah konsep baik melalui penelitian yang konsisten atau metode yang lebih efektif.
Terakhirpertimbangan penting adalah bahwa himpunan X(Kv) tidak kosong untuk semua kecuali sejumlah v yang terbatas, sehingga jumlah kondisi selalu terbatas dan dapat diuji secara efektif. Namun, prinsip Hasse tidak berlaku untuk kurva derajat. Misalnya, 3x3 + 4y3=5 memiliki poin di semua bidang bilangan p-adik dan dalam sistem bilangan real, tetapi tidak memiliki titik rasional.
Metode ini berfungsi sebagai titik awal untuk membangun konsep yang menggambarkan kelas ruang homogen utama dari varietas Abelian untuk melakukan "penyimpangan" dari prinsip Hasse. Ini dijelaskan dalam kerangka struktur khusus yang dapat dikaitkan dengan masing-masing manifold (kelompok Tate-Shafarevich). Kesulitan utama dari teori ini terletak pada kenyataan bahwa metode untuk menghitung kelompok sulit diperoleh. Konsep ini juga telah diperluas ke kelas lain dari varietas aljabar.
Cari algoritma untuk memenuhi pertidaksamaan
Ide heuristik lain yang digunakan dalam studi persamaan Diophantine adalah jika jumlah variabel yang terlibat dalam himpunan pertidaksamaan besar, maka sistem biasanya memiliki solusi. Namun, ini sangat sulit untuk dibuktikan untuk kasus tertentu. Pendekatan umum untuk masalah jenis ini menggunakan teori bilangan analitik dan didasarkan pada perkiraan untuk jumlah trigonometri. Metode ini awalnya diterapkan pada jenis persamaan khusus.
Namun, kemudian dibuktikan dengan bantuannya bahwa jika bentuk derajat ganjil adalah F, di ddan n variabel dan dengan koefisien rasional, maka n cukup besar dibandingkan dengan d, sehingga permukaan hiperproyektif F=0 memiliki titik rasional. Menurut dugaan Artin, hasil ini benar meskipun n > d2. Ini hanya terbukti untuk bentuk kuadrat. Masalah serupa dapat ditanyakan untuk bidang lain juga. Masalah utama geometri Diophantine adalah struktur himpunan bilangan bulat atau titik rasional dan studinya, dan pertanyaan pertama yang harus diklarifikasi adalah apakah himpunan ini terbatas. Dalam masalah ini, situasi biasanya memiliki jumlah eksekusi yang terbatas jika derajat sistem jauh lebih besar daripada jumlah variabel. Ini asumsi dasarnya.
Persamaan garis dan kurva
Grup X(K) dapat direpresentasikan sebagai jumlah langsung dari struktur bebas pangkat r dan grup berhingga orde n. Sejak tahun 1930-an, pertanyaan apakah bilangan-bilangan ini terbatas pada himpunan semua kurva eliptik di atas bidang tertentu K telah dipelajari. Keterbatasan torsi n ditunjukkan pada tahun tujuh puluhan. Ada kurva peringkat tinggi yang sewenang-wenang dalam kasus fungsional. Dalam kasus numerik, masih belum ada jawaban untuk pertanyaan ini.
Akhirnya, dugaan Mordell menyatakan bahwa jumlah titik integral adalah terbatas untuk kurva genus g>1. Secara fungsional, konsep ini didemonstrasikan oleh Yu. I. Manin pada tahun 1963. Alat utama yang digunakan dalam membuktikan teorema finiteness dalam geometri Diophantine adalah ketinggian. Dari varietas aljabar, dimensi di atas satu adalah abelianmanifold, yang merupakan analog multidimensi dari kurva eliptik, telah dipelajari secara menyeluruh.
A. Weil menggeneralisasi teorema tentang keterbatasan jumlah generator dari sekelompok titik rasional ke varietas Abelian dari dimensi apa pun (konsep Mordell-Weil), memperluasnya. Pada 1960-an, dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer muncul, meningkatkan ini dan fungsi grup dan zeta dari manifold. Bukti numerik mendukung hipotesis ini.
Masalah solvabilitas
Masalah menemukan algoritma yang dapat digunakan untuk menentukan apakah persamaan Diophantine memiliki solusi. Fitur penting dari masalah yang diajukan adalah pencarian metode universal yang cocok untuk setiap ketidaksetaraan. Metode seperti itu juga akan memungkinkan penyelesaian sistem di atas, karena setara dengan P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 atau p21+ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Masalah menemukan cara universal untuk menemukan solusi untuk pertidaksamaan linier dalam bilangan bulat diajukan oleh D. Gilbert.
Pada awal 1950-an, studi pertama muncul bertujuan untuk membuktikan tidak adanya algoritma untuk memecahkan persamaan Diophantine. Pada saat ini, dugaan Davis muncul, yang mengatakan bahwa setiap himpunan enumerable juga milik ilmuwan Yunani. Karena contoh himpunan yang tidak dapat diputuskan secara algoritmik diketahui, tetapi dapat dihitung secara rekursif. Oleh karena itu dugaan Davis benar dan masalah solvabilitas persamaan inimemiliki eksekusi negatif.
Setelah itu, untuk dugaan Davis, masih harus dibuktikan bahwa ada metode untuk mengubah pertidaksamaan yang juga (atau tidak) pada saat yang sama memiliki solusi. Ditunjukkan bahwa perubahan persamaan Diophantine seperti itu dimungkinkan jika persamaan tersebut memiliki dua sifat di atas: 1) dalam sembarang solusi jenis ini v uu; 2) untuk setiap k, ada eksekusi dengan pertumbuhan eksponensial.
Contoh persamaan linear Diophantine kelas ini melengkapi pembuktiannya. Masalah keberadaan algoritma untuk solvabilitas dan pengakuan ketidaksetaraan ini dalam bilangan rasional masih dianggap sebagai pertanyaan penting dan terbuka yang belum dipelajari secara memadai.
