Saya pikir kita harus mulai dengan sejarah alat matematika yang luar biasa seperti persamaan diferensial. Seperti semua kalkulus diferensial dan integral, persamaan ini ditemukan oleh Newton pada akhir abad ke-17. Dia menganggap penemuannya ini sangat penting sehingga dia bahkan mengenkripsi pesannya, yang saat ini dapat diterjemahkan seperti ini: "Semua hukum alam dijelaskan oleh persamaan diferensial." Ini mungkin tampak seperti berlebihan, tapi itu benar. Semua hukum fisika, kimia, biologi dapat dijelaskan dengan persamaan ini.
Matematikawan Euler dan Lagrange memberikan kontribusi besar bagi pengembangan dan penciptaan teori persamaan diferensial. Sudah di abad ke-18, mereka menemukan dan mengembangkan apa yang sekarang mereka pelajari di program senior universitas.
Tonggak baru dalam studi persamaan diferensial dimulai berkat Henri Poincare. Dia menciptakan "teori kualitatif persamaan diferensial", yang, dalam kombinasi dengan teori fungsi variabel kompleks, memberikan kontribusi signifikan pada fondasi topologi - ilmu ruang dan fungsinya.properti.
Apa itu persamaan diferensial?
Banyak orang takut dengan satu frasa "persamaan diferensial". Namun, dalam artikel ini kami akan merinci seluruh esensi dari peralatan matematika yang sangat berguna ini, yang sebenarnya tidak serumit kelihatannya dari namanya. Untuk mulai berbicara tentang persamaan diferensial orde pertama, Anda harus terlebih dahulu berkenalan dengan konsep dasar yang secara inheren terkait dengan definisi ini. Dan kita akan mulai dengan diferensial.
Diferensial
Banyak yang tahu konsep ini dari sekolah. Namun, mari kita lihat lebih dekat. Bayangkan grafik fungsi. Kita dapat meningkatkannya sedemikian rupa sehingga setiap segmennya akan berbentuk garis lurus. Di atasnya kita mengambil dua titik yang sangat dekat satu sama lain. Perbedaan antara koordinat mereka (x atau y) akan menjadi nilai yang sangat kecil. Ini disebut diferensial dan dilambangkan dengan tanda dy (diferensial dari y) dan dx (diferensial dari x). Sangat penting untuk dipahami bahwa diferensial bukanlah suatu nilai berhingga, dan inilah arti dan fungsi utamanya.
Dan sekarang kita perlu mempertimbangkan elemen berikutnya, yang akan berguna bagi kita dalam menjelaskan konsep persamaan diferensial. Ini adalah turunannya.
Turunan
Kita semua mungkin pernah mendengar di sekolah dan konsep ini. Turunan dikatakan sebagai laju pertumbuhan atau penurunan suatu fungsi. Namun, dari definisi inibanyak menjadi tidak jelas. Mari kita coba menjelaskan turunan dalam bentuk diferensial. Mari kita kembali ke segmen fungsi yang sangat kecil dengan dua titik yang berada pada jarak minimum satu sama lain. Tetapi bahkan untuk jarak ini, fungsinya berhasil berubah dengan jumlah tertentu. Dan untuk menggambarkan perubahan ini, mereka menghasilkan turunan, yang dapat ditulis sebagai rasio diferensial: f(x)'=df/dx.
Sekarang ada baiknya mempertimbangkan sifat dasar turunan. Hanya ada tiga dari mereka:
- Turunan dari jumlah atau selisih dapat dinyatakan sebagai jumlah atau selisih dari turunan: (a+b)'=a'+b' dan (a-b)'=a'-b'.
- Properti kedua terkait dengan perkalian. Turunan produk adalah jumlah dari produk satu fungsi dan turunan fungsi lainnya: (ab)'=a'b+ab'.
- Turunan dari selisih dapat ditulis sebagai persamaan berikut: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Semua sifat ini akan berguna untuk mencari solusi persamaan diferensial orde pertama.
Ada juga turunan parsial. Katakanlah kita memiliki fungsi z yang bergantung pada variabel x dan y. Untuk menghitung turunan parsial dari fungsi ini, katakanlah, terhadap x, kita perlu mengambil variabel y sebagai konstanta dan hanya membedakannya.
Integral
Konsep penting lainnya adalah integral. Sebenarnya, ini adalah kebalikan langsung dari turunan. Ada beberapa jenis integral, tetapi untuk menyelesaikan persamaan diferensial paling sederhana, kita memerlukan integral tak tentu yang paling sepele.
Jadi apa itu integral? Katakanlah kita memiliki beberapa ketergantungan fdari x. Kami mengambil integral darinya dan mendapatkan fungsi F (x) (sering disebut antiturunan), turunannya sama dengan fungsi aslinya. Jadi F(x)'=f(x). Dari sini juga dapat disimpulkan bahwa integral dari turunannya sama dengan fungsi aslinya.
Saat menyelesaikan persamaan diferensial, sangat penting untuk memahami arti dan fungsi integral, karena Anda harus sering menggunakannya untuk menemukan solusinya.
Persamaan berbeda tergantung sifatnya. Pada bagian berikutnya, kita akan membahas jenis-jenis persamaan diferensial orde satu, dan kemudian mempelajari cara menyelesaikannya.
Kelas persamaan diferensial
"Diffury" dibagi menurut urutan turunan yang terlibat di dalamnya. Jadi, ada urutan pertama, kedua, ketiga dan lebih banyak lagi. Mereka juga dapat dibagi menjadi beberapa kelas: turunan biasa dan parsial.
Pada artikel ini kita akan membahas persamaan diferensial biasa orde pertama. Kami juga akan membahas contoh dan cara untuk menyelesaikannya di bagian berikut. Kami hanya akan mempertimbangkan ODE, karena ini adalah jenis persamaan yang paling umum. Biasa dibagi menjadi subspesies: dengan variabel yang dapat dipisahkan, homogen dan heterogen. Selanjutnya, Anda akan belajar bagaimana mereka berbeda satu sama lain, dan belajar bagaimana menyelesaikannya.
Selain itu, persamaan ini dapat digabungkan, sehingga setelah kita mendapatkan sistem persamaan diferensial orde pertama. Kami juga akan mempertimbangkan sistem seperti itu dan mempelajari cara menyelesaikannya.
Mengapa kami hanya mempertimbangkan urutan pertama? Karena Anda harus memulai dengan yang sederhana, dan menjelaskan segala sesuatu yang berhubungan dengan diferensialpersamaan, dalam satu artikel tidak mungkin.
Persamaan variabel yang dapat dipisahkan
Ini mungkin persamaan diferensial orde pertama yang paling sederhana. Ini termasuk contoh yang dapat ditulis seperti ini: y'=f(x)f(y). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita memerlukan rumus untuk menyatakan turunan sebagai rasio diferensial: y'=dy/dx. Dengan menggunakannya, kita mendapatkan persamaan berikut: dy/dx=f(x)f(y). Sekarang kita dapat beralih ke metode untuk memecahkan contoh standar: kita akan membagi variabel menjadi beberapa bagian, yaitu kita akan mentransfer semuanya dengan variabel y ke bagian di mana dy berada, dan kita akan melakukan hal yang sama dengan variabel x. Kami memperoleh persamaan dalam bentuk: dy/f(y)=f(x)dx, yang diselesaikan dengan mengambil integral dari kedua bagian. Jangan lupa tentang konstanta yang harus ditentukan setelah mengambil integral.
Solusi untuk setiap "diffurance" adalah fungsi dari ketergantungan x pada y (dalam kasus kami) atau, jika ada kondisi numerik, maka jawabannya dalam bentuk angka. Mari kita menganalisis seluruh solusi menggunakan contoh spesifik:
y'=2ysin(x)
Pindahkan variabel ke arah yang berbeda:
dy/y=2sin(x)dx
Sekarang kita ambil integral. Semuanya dapat ditemukan dalam tabel integral khusus. Dan kita mendapatkan:
ln(y)=-2cos(x) + C
Jika diperlukan, kita dapat menyatakan "y" sebagai fungsi dari "x". Sekarang kita dapat mengatakan bahwa persamaan diferensial kita diselesaikan jika tidak ada kondisi yang diberikan. Suatu kondisi dapat diberikan, misalnya, y(n/2)=e. Kemudian kita cukup mensubstitusikan nilai variabel-variabel ini ke dalam solusi danmencari nilai konstanta. Dalam contoh kita, itu sama dengan 1.
Persamaan diferensial homogen orde pertama
Sekarang ke bagian yang lebih sulit. Persamaan diferensial homogen orde pertama dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut: y'=z(x, y). Perlu dicatat bahwa fungsi kanan dari dua variabel adalah homogen, dan tidak dapat dibagi menjadi dua ketergantungan: z pada x dan z pada y. Memeriksa apakah persamaan homogen atau tidak cukup sederhana: kita membuat substitusi x=kx dan y=ky. Sekarang kita batalkan semua k. Jika semua huruf ini direduksi, maka persamaannya homogen dan Anda dapat melanjutkan untuk menyelesaikannya dengan aman. Ke depan, katakanlah: prinsip penyelesaian contoh-contoh ini juga sangat sederhana.
Kita perlu membuat substitusi: y=t(x)x, di mana t adalah beberapa fungsi yang juga bergantung pada x. Kemudian kita dapat menyatakan turunannya: y'=t'(x)x+t. Mensubstitusikan semua ini ke dalam persamaan asli kita dan menyederhanakannya, kita mendapatkan contoh dengan variabel yang dapat dipisahkan t dan x. Kami menyelesaikannya dan mendapatkan ketergantungan t(x). Ketika kita mendapatkannya, kita cukup mengganti y=t(x)x ke pengganti kita sebelumnya. Kemudian kita mendapatkan ketergantungan y pada x.
Untuk lebih jelas, mari kita lihat contoh: xy'=y-xey/x.
Saat memeriksa dengan penggantian, semuanya berkurang. Jadi persamaannya benar-benar homogen. Sekarang kita membuat substitusi lain yang kita bicarakan: y=t(x)x dan y'=t'(x)x+t(x). Setelah disederhanakan, kita mendapatkan persamaan berikut: t'(x)x=-et. Kami memecahkan contoh yang dihasilkan dengan variabel terpisah dan mendapatkan: e-t=ln(Cx). Kita hanya perlu mengganti t dengan y/x (setelah semua, jika y=tx, maka t=y/x), dan kita dapatkanjawaban: e-y/x=ln(xC).
Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama
Saatnya untuk topik besar lainnya. Kami akan menganalisis persamaan diferensial tidak homogen dari orde pertama. Bagaimana mereka berbeda dari dua sebelumnya? Mari kita cari tahu. Persamaan diferensial linier orde pertama dalam bentuk umum dapat ditulis sebagai berikut: y' + g(x)y=z(x). Perlu dijelaskan bahwa z(x) dan g(x) dapat berupa konstanta.
Dan sekarang contoh: y' - yx=x2.
Ada dua cara untuk menyelesaikannya, dan kami akan menangani keduanya secara berurutan. Yang pertama adalah metode variasi konstanta arbitrer.
Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, Anda harus terlebih dahulu menyamakan ruas kanan dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, yang setelah memindahkan bagian-bagiannya akan berbentuk:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Sekarang kita perlu mengganti konstanta C1 dengan fungsi v(x) yang harus kita cari.
y=vex2/2.
Mari kita ubah turunannya:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Dan substitusikan ekspresi ini ke persamaan asli:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Anda dapat melihat bahwa dua istilah dibatalkan di sisi kiri. Jika dalam beberapa contoh ini tidak terjadi, maka Anda melakukan sesuatu yang salah. Lanjutkan:
v'ex2/2 =x2.
Sekarang kita selesaikan persamaan biasa di mana kita perlu memisahkan variabel:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Untuk mengekstrak integral, kita harus menerapkan integrasi per bagian di sini. Namun, ini bukan topik artikel kami. Jika Anda tertarik, Anda dapat mempelajari cara melakukan tindakan tersebut sendiri. Itu tidak sulit, dan dengan keterampilan dan perhatian yang cukup tidak memakan banyak waktu.
Mari kita beralih ke metode kedua untuk menyelesaikan persamaan tak homogen: metode Bernoulli. Pendekatan mana yang lebih cepat dan lebih mudah terserah Anda.
Jadi, ketika menyelesaikan persamaan dengan metode ini, kita perlu membuat pengganti: y=kn. Di sini k dan n adalah beberapa fungsi bergantung-x. Maka turunannya akan terlihat seperti ini: y'=k'n+kn'. Substitusikan kedua substitusi ke persamaan:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grup:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Sekarang kita harus menyamakan dengan nol apa yang ada di dalam kurung. Sekarang, jika Anda menggabungkan dua persamaan yang dihasilkan, Anda mendapatkan sistem persamaan diferensial orde pertama yang harus diselesaikan:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Persamaan pertama diselesaikan seperti persamaan normal. Untuk melakukan ini, Anda perlu memisahkan variabel:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Ambil integralnya dan dapatkan: ln(n)=x2/2. Kemudian, jika kita nyatakan n:
n=ex2/2.
Sekarang kita substitusikan persamaan yang dihasilkan ke persamaan kedua dari sistem:
k'ex2/2=x2.
Dan transformasi, kita mendapatkan persamaan yang sama seperti pada metode pertama:
dk=x2/ex2/2.
Kami juga tidak akan melangkah lebih jauh. Perlu dikatakan bahwa pada awalnya solusi persamaan diferensial orde pertama menyebabkan kesulitan yang signifikan. Namun, saat Anda menyelam lebih dalam ke topik, itu mulai menjadi lebih baik dan lebih baik.
Di mana persamaan diferensial digunakan?
Persamaan diferensial sangat aktif digunakan dalam fisika, karena hampir semua hukum dasar ditulis dalam bentuk diferensial, dan rumus yang kita lihat adalah solusi dari persamaan ini. Dalam kimia, mereka digunakan untuk alasan yang sama: hukum dasar diturunkan darinya. Dalam biologi, persamaan diferensial digunakan untuk memodelkan perilaku sistem, seperti predator-mangsa. Mereka juga dapat digunakan untuk membuat model reproduksi, katakanlah, koloni mikroorganisme.
Bagaimana persamaan diferensial membantu dalam kehidupan?
Jawaban untuk pertanyaan ini sederhana: tidak mungkin. Jika Anda bukan seorang ilmuwan atau insinyur, maka mereka tidak mungkin berguna bagi Anda. Namun, untuk perkembangan umum, tidak ada salahnya untuk mengetahui apa itu persamaan diferensial dan bagaimana penyelesaiannya. Dan kemudian pertanyaan dari seorang putra atau putri "apa itu persamaan diferensial?" tidak akan membingungkan Anda. Nah, jika Anda seorang ilmuwan atau insinyur, maka Anda sendiri memahami pentingnya topik ini dalam sains apa pun. Tapi yang paling penting sekarang adalah pertanyaan "bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama?" Anda selalu bisa menjawab. Setuju, selalu menyenangkanketika kamu mengerti apa yang bahkan orang takut untuk mengerti.
Masalah belajar utama
Masalah utama dalam memahami topik ini adalah buruknya keterampilan mengintegrasikan dan membedakan fungsi. Jika Anda buruk dalam mengambil turunan dan integral, maka Anda mungkin harus belajar lebih banyak, menguasai berbagai metode integrasi dan diferensiasi, dan baru kemudian mulai mempelajari materi yang dijelaskan dalam artikel.
Beberapa orang terkejut ketika mengetahui bahwa dx dapat dipindahtangankan, karena sebelumnya (di sekolah) dinyatakan bahwa pecahan dy/dx tidak dapat dibagi. Di sini Anda perlu membaca literatur tentang turunan dan memahami bahwa rasio jumlah kecil tak terhingga yang dapat dimanipulasi saat menyelesaikan persamaan.
Banyak yang tidak segera menyadari bahwa solusi persamaan diferensial orde pertama seringkali merupakan fungsi atau integral yang tidak dapat diambil, dan delusi ini memberi mereka banyak masalah.
Apa lagi yang bisa dipelajari untuk pemahaman yang lebih baik?
Yang terbaik adalah memulai pendalaman lebih lanjut di dunia kalkulus diferensial dengan buku teks khusus, misalnya, dalam kalkulus untuk siswa dari spesialisasi non-matematis. Kemudian Anda dapat beralih ke literatur yang lebih khusus.
Harus dikatakan bahwa, selain persamaan diferensial, ada juga persamaan integral, jadi Anda akan selalu memiliki sesuatu untuk diperjuangkan dan sesuatu untuk dipelajari.
Kesimpulan
Kami berharap setelah membacaArtikel ini memberi Anda gambaran tentang apa itu persamaan diferensial dan bagaimana menyelesaikannya dengan benar.
Bagaimanapun, matematika entah bagaimana akan berguna bagi kita dalam hidup. Ini mengembangkan logika dan perhatian, yang tanpanya setiap orang seperti tanpa tangan.
