Topik "perkembangan aritmatika" dipelajari dalam kursus umum aljabar di sekolah-sekolah di kelas 9. Topik ini penting untuk studi mendalam lebih lanjut tentang matematika deret bilangan. Pada artikel ini, kita akan berkenalan dengan deret aritmatika, perbedaannya, serta tugas-tugas umum yang mungkin dihadapi anak sekolah.
Konsep deret aljabar
Progresi numerik adalah barisan bilangan di mana setiap elemen berikutnya dapat diperoleh dari elemen sebelumnya, jika beberapa hukum matematika diterapkan. Ada dua jenis deret sederhana: geometri dan aritmatika, yang juga disebut aljabar. Mari kita bahas lebih detail.
Mari kita bayangkan beberapa bilangan rasional, dilambangkan dengan simbol a1, di mana indeks menunjukkan nomor urutnya dalam deret yang sedang dipertimbangkan. Mari kita tambahkan beberapa nomor lain ke a1 , mari kita nyatakan d. Kemudian yang keduasebuah elemen deret dapat dicerminkan sebagai berikut: a2=a1+d. Sekarang tambahkan d lagi, kita mendapatkan: a3=a2+d. Melanjutkan operasi matematika ini, Anda bisa mendapatkan seluruh rangkaian angka, yang akan disebut deret aritmatika.
Seperti yang dapat dipahami dari penjelasan di atas, untuk menemukan elemen ke-n dari barisan ini, Anda harus menggunakan rumus: a =a1+ (n -1)d. Memang, dengan mensubstitusi n=1 ke dalam ekspresi, kita mendapatkan a1=a1, jika n=2, maka rumusnya menyiratkan: a 2=a1 + 1d, dan seterusnya.
Misalnya, jika selisih suatu barisan aritmatika adalah 5, dan a1=1, maka ini berarti barisan bilangan dari jenis yang dimaksud adalah: 1, 6, 11, 16, 21, … Seperti yang Anda lihat, setiap sukunya lebih besar dari yang sebelumnya dengan 5.
Rumus selisih barisan aritmatika
Dari definisi deret bilangan di atas, maka untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui dua bilangan: a1 dan d. Yang terakhir disebut perbedaan perkembangan ini. Ini secara unik menentukan perilaku seluruh seri. Memang jika d positif, maka deret bilangan akan terus bertambah, sebaliknya jika d negatif, bilangan pada deret tersebut hanya akan bertambah modulo, sedangkan nilai mutlaknya akan berkurang dengan bertambahnya bilangan n.
Apa perbedaan dari barisan aritmatika? Pertimbangkan dua rumus utama yang digunakan untuk menghitung nilai ini:
- d=an+1-a , rumus ini mengikuti langsung dari definisi deret bilangan yang dimaksud.
- d=(-a1+a)/(n-1), ekspresi ini diperoleh dengan menyatakan d dari rumus yang diberikan dalam paragraf artikel sebelumnya. Perhatikan bahwa ekspresi ini menjadi tak tentu (0/0) jika n=1. Hal ini disebabkan karena untuk menentukan selisihnya perlu diketahui minimal 2 elemen deret.
Dua rumus dasar ini digunakan untuk menyelesaikan masalah apa pun dalam menemukan perbedaan perkembangan. Namun, ada rumus lain yang juga perlu Anda ketahui.
Jumlah elemen pertama
Rumus yang dapat digunakan untuk menentukan jumlah berapa pun anggota deret aljabar, menurut bukti sejarah, pertama kali diperoleh oleh "pangeran" matematika abad ke-18, Carl Gauss. Seorang ilmuwan Jerman, saat masih duduk di bangku sekolah dasar di sekolah desa, memperhatikan bahwa untuk menjumlahkan bilangan asli dalam deret dari 1 hingga 100, Anda harus menjumlahkan elemen pertama dan terakhir terlebih dahulu (nilai yang dihasilkan akan sama dengan dengan jumlah elemen kedua dari belakang dan kedua, kedua dari belakang dan ketiga, dan seterusnya), dan kemudian nomor ini harus dikalikan dengan jumlah jumlah ini, yaitu dengan 50.
Rumus yang mencerminkan hasil yang dinyatakan pada contoh tertentu dapat digeneralisasi ke kasus arbitrer. Ini akan terlihat seperti ini: S =n/2(a +a1). Perhatikan bahwa untuk menemukan nilai yang ditentukan, pengetahuan tentang perbedaan d tidak diperlukan,jika dua suku dari barisan diketahui (a dan a1).
Contoh 1. Tentukan selisihnya dengan mengetahui dua suku dari deret a1 dan an
Mari kita tunjukkan bagaimana menerapkan rumus yang disebutkan di atas dalam artikel. Mari kita beri contoh sederhana: perbedaan dari barisan aritmatika tidak diketahui, perlu untuk menentukan apa yang akan sama jika a13=-5, 6 dan a1 =-12, 1.
Karena kita mengetahui nilai dua elemen dari barisan numerik, dan salah satunya adalah angka pertama, kita dapat menggunakan rumus No. 2 untuk menentukan selisihnya d. Kami memiliki: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Dalam ekspresi, kami menggunakan nilai n=13, karena anggota dengan nomor seri ini adalah diketahui.
Perbedaan yang dihasilkan menunjukkan bahwa progresi meningkat, meskipun faktanya elemen yang diberikan dalam kondisi masalah memiliki nilai negatif. Terlihat bahwa a13>a1, walaupun |a13|<|a 1 |.
Contoh 2. Anggota positif dari perkembangan dalam contoh 1
Mari kita gunakan hasil yang diperoleh pada contoh sebelumnya untuk menyelesaikan masalah baru. Dirumuskan sebagai berikut: dari nomor urut berapa elemen deret pada contoh 1 mulai mengambil nilai positif?
Seperti yang ditunjukkan, perkembangan di mana a1=-12, 1 dan d=0. 54167 meningkat, jadi dari beberapa angka mulai mengambil hanya positif nilai-nilai. Untuk menentukan bilangan n ini, kita harus menyelesaikan pertidaksamaan sederhana, yaitusecara matematis ditulis sebagai berikut: a >0 atau, dengan menggunakan rumus yang sesuai, kita tulis ulang pertidaksamaan: a1 + (n-1)d>0. Hal ini diperlukan untuk menemukan n yang tidak diketahui, mari kita nyatakan: n>-1a1/d + 1. Sekarang tinggal mengganti nilai yang diketahui dari perbedaan dan anggota pertama dari urutan. Didapatkan: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 atau n>23, 338. Karena n hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat, maka dari pertidaksamaan yang dihasilkan, setiap anggota deret yang akan memiliki angka yang lebih besar dari 23 akan menjadi positif.
Periksa jawaban Anda dengan menggunakan rumus di atas untuk menghitung elemen ke-23 dan ke-24 dari deret aritmatika ini. Kami memiliki: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (bilangan negatif); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (nilai positif). Jadi, hasil yang diperoleh benar: mulai dari n=24, semua anggota deret bilangan akan lebih besar dari nol.
Contoh 3. Berapa banyak log yang muat?
Mari kita berikan satu masalah yang aneh: selama penebangan, diputuskan untuk menumpuk kayu gergajian di atas satu sama lain seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Berapa banyak log yang dapat ditumpuk dengan cara ini, mengetahui bahwa total 10 baris akan muat?
Dengan cara menumpuk log ini, Anda dapat melihat satu hal yang menarik: setiap baris berikutnya akan berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya, yaitu, ada perkembangan aljabar, perbedaannya adalah d=1. Dengan asumsi bahwa jumlah log di setiap baris adalah anggota dari perkembangan ini,dan juga mengingat bahwa a1=1 (hanya satu log akan muat di paling atas), kami menemukan nomor a10. Kita memiliki: a10=1 + 1(10-1)=10. Artinya, pada baris ke-10, yang terletak di tanah, akan ada 10 batang kayu.
Jumlah total konstruksi "piramida" ini dapat diperoleh dengan menggunakan rumus Gauss. Kita mendapatkan: S10=10/2(10+1)=55 log.
