Bagi banyak orang, analisis matematis hanyalah sekumpulan angka, ikon, dan definisi yang tidak dapat dipahami yang jauh dari kehidupan nyata. Namun, dunia tempat kita berada dibangun di atas pola numerik, identifikasi yang membantu tidak hanya mempelajari dunia di sekitar kita dan memecahkan masalah kompleksnya, tetapi juga menyederhanakan tugas praktis sehari-hari. Apa yang dimaksud ahli matematika ketika dia mengatakan bahwa barisan bilangan konvergen? Ini harus didiskusikan lebih detail.
Apa itu infinitesimal?
Mari kita bayangkan boneka matryoshka yang muat satu di dalam yang lain. Ukurannya, ditulis dalam bentuk angka, dimulai dengan yang terbesar dan diakhiri dengan yang terkecil, membentuk urutan. Jika Anda membayangkan jumlah tak terbatas dari angka-angka cerah seperti itu, maka baris yang dihasilkan akan sangat panjang. Ini adalah barisan bilangan konvergen. Dan itu cenderung nol, karena ukuran setiap boneka bersarang berikutnya, yang menurun drastis, secara bertahap berubah menjadi tidak ada apa-apa. Jadi mudahdapat dijelaskan: apa yang sangat kecil.
Contoh serupa adalah jalan menuju ke kejauhan. Dan dimensi visual mobil yang menjauh dari pengamat di sepanjang itu, berangsur-angsur menyusut, berubah menjadi bintik tak berbentuk yang menyerupai titik. Jadi, mesin, seperti sebuah benda, yang bergerak ke arah yang tidak diketahui, menjadi sangat kecil. Parameter tubuh yang ditentukan tidak akan pernah menjadi nol dalam arti kata yang sebenarnya, tetapi selalu cenderung ke nilai ini dalam batas akhir. Oleh karena itu, barisan ini konvergen lagi ke nol.
Hitung semuanya setetes demi setetes
Mari kita bayangkan sekarang situasi duniawi. Dokter meresepkan pasien untuk minum obat, dimulai dengan sepuluh tetes sehari dan menambahkan dua tetes setiap hari berikutnya. Maka dokter menyarankan untuk melanjutkan sampai isi botol obat yang volumenya 190 tetes itu habis. Maka dari sebelumnya bahwa nomor tersebut, dijadwalkan pada hari, akan menjadi seri nomor berikut: 10, 12, 14 dan seterusnya.
Bagaimana cara mengetahui waktu untuk menyelesaikan seluruh mata pelajaran dan jumlah anggota barisan? Di sini, tentu saja, seseorang dapat menghitung tetes dengan cara yang primitif. Tetapi jauh lebih mudah, mengingat polanya, untuk menggunakan rumus jumlah dari barisan aritmatika dengan langkah d=2. Dan dengan menggunakan metode ini, carilah bahwa jumlah anggota dari barisan bilangan adalah 10. Dalam hal ini, a10=28. Nomor penis menunjukkan jumlah hari minum obat, dan 28 sesuai dengan jumlah tetes yang harus pasiengunakan pada hari terakhir. Apakah barisan ini konvergen? Tidak, karena meskipun dibatasi 10 dari bawah dan 28 dari atas, deret bilangan seperti itu tidak memiliki batas, tidak seperti contoh sebelumnya.
Apa bedanya?
Sekarang mari kita coba perjelas: ketika barisan bilangan ternyata adalah barisan yang konvergen. Definisi semacam ini, seperti yang dapat disimpulkan di atas, terkait langsung dengan konsep batas hingga, yang keberadaannya mengungkapkan esensi masalah. Jadi apa perbedaan mendasar antara contoh yang diberikan sebelumnya? Dan mengapa pada yang terakhir, angka 28 tidak dapat dianggap sebagai limit dari deret bilangan X =10 + 2(n-1)?
Untuk memperjelas pertanyaan ini, perhatikan barisan lain yang diberikan oleh rumus di bawah ini, di mana n termasuk dalam himpunan bilangan asli.
Komunitas anggota ini adalah himpunan pecahan biasa, pembilangnya adalah 1, dan penyebutnya terus bertambah: 1, …
Selain itu, setiap perwakilan berturut-turut dari deret ini semakin mendekati 0 dalam hal lokasi pada garis bilangan. Dan ini berarti bahwa lingkungan seperti itu muncul di mana titik-titik mengelompok di sekitar nol, yang merupakan batasnya. Dan semakin dekat mereka, semakin padat konsentrasi mereka pada garis bilangan. Dan jarak di antara mereka berkurang secara drastis, berubah menjadi jarak yang sangat kecil. Ini adalah tanda bahwa barisan tersebut konvergen.
MiripDengan demikian, persegi panjang multi-warna yang ditunjukkan pada gambar, ketika bergerak menjauh di ruang angkasa, secara visual lebih ramai, dalam batas hipotetis berubah menjadi dapat diabaikan.
Urutan besar tak terhingga
Setelah menganalisis definisi barisan konvergen, mari beralih ke contoh tandingan. Banyak dari mereka telah dikenal manusia sejak zaman kuno. Varian paling sederhana dari barisan divergen adalah barisan bilangan asli dan genap. Mereka disebut besar tak terhingga dengan cara yang berbeda, karena anggota mereka, yang terus meningkat, semakin mendekati tak terhingga positif.
Contohnya juga dapat berupa deret aritmatika dan geometri dengan langkah dan penyebut, masing-masing, lebih besar dari nol. Selain itu, deret numerik dianggap sebagai deret divergen, yang tidak memiliki batas sama sekali. Misalnya, X =(-2) -1.
Deret Fibonacci
Manfaat praktis dari seri angka yang disebutkan sebelumnya untuk kemanusiaan tidak dapat disangkal. Tetapi ada banyak contoh hebat lainnya. Salah satunya adalah deret Fibonacci. Setiap anggotanya, yang dimulai dengan satu, adalah jumlah dari yang sebelumnya. Dua perwakilan pertamanya adalah 1 dan 1. Yang ketiga 1+1=2, yang keempat 1+2=3, yang kelima 2+3=5. Selanjutnya, menurut logika yang sama, angka 8, 13, 21 dan seterusnya mengikuti.
Rangkaian angka ini bertambah tanpa batas dan tidak memilikibatas akhir. Tetapi ia memiliki properti luar biasa lainnya. Rasio setiap bilangan sebelumnya dengan bilangan berikutnya semakin mendekati nilainya menjadi 0,618. Di sini Anda dapat memahami perbedaan antara barisan konvergen dan divergen, karena jika Anda membuat serangkaian pembagian parsial yang diterima, sistem numerik yang ditunjukkan akan memiliki batas terbatas sama dengan 0,618.
Urutan rasio Fibonacci
Rangkaian angka yang ditunjukkan di atas banyak digunakan untuk tujuan praktis untuk analisis teknis pasar. Tetapi ini tidak terbatas pada kemampuannya, yang diketahui dan dapat dipraktikkan oleh orang Mesir dan Yunani di zaman kuno. Ini dibuktikan dengan piramida yang mereka bangun dan Parthenon. Bagaimanapun, angka 0,618 adalah koefisien konstan dari bagian emas, yang terkenal di masa lalu. Menurut aturan ini, setiap segmen sembarang dapat dibagi sehingga rasio antara bagian-bagiannya akan bertepatan dengan rasio antara segmen terbesar dan panjang total.
Mari kita membangun serangkaian hubungan yang ditunjukkan dan mencoba menganalisis urutan ini. Urutan nomornya adalah sebagai berikut: 1; 0,5; 0,67; 0.6; 0,625; 0,615; 0, 619 dan seterusnya. Dengan melanjutkan cara ini, kita dapat memastikan bahwa limit deret konvergen memang akan menjadi 0,618. Namun, perlu diperhatikan sifat-sifat lain dari keteraturan ini. Di sini angka-angka tampaknya berjalan secara acak, dan sama sekali tidak dalam urutan menaik atau menurun. Artinya barisan konvergen ini tidak monoton. Mengapa demikian akan dibahas lebih lanjut.
Monotonisitas dan keterbatasan
Anggota deret bilangan jelas dapat berkurang dengan bertambahnya bilangan (jika x1>x2>x3 >…>x >…) atau meningkat (jika x1<x2<x 3<…<x <…). Dalam hal ini, barisan tersebut dikatakan sangat monoton. Pola lain juga dapat diamati, di mana deret numerik tidak berkurang dan tidak bertambah (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… atau x1≦x2≦x 3 …≦x ≦…), maka konvergen yang berurutan juga monoton, hanya saja tidak dalam arti sempit. Contoh bagus dari opsi pertama ini adalah deret bilangan yang diberikan oleh rumus berikut.
Setelah melukis nomor seri ini, Anda dapat melihat bahwa salah satu anggotanya, mendekati 1 tanpa batas, tidak akan pernah melebihi nilai ini. Dalam hal ini, barisan konvergen dikatakan terbatas. Ini terjadi setiap kali ada bilangan positif M, yang selalu lebih besar daripada suku mana pun dari modulo deret. Jika suatu deret bilangan memiliki tanda-tanda monotonisitas dan memiliki batas, dan oleh karena itu konvergen, maka ia harus diberkahi dengan properti seperti itu. Dan yang sebaliknya tidak harus benar. Hal ini dibuktikan dengan teorema keterbatas untuk barisan konvergen.
Penerapan pengamatan seperti itu dalam praktik sangat berguna. Mari kita berikan contoh spesifik dengan memeriksa sifat-sifat barisan X =n/n+1, dan buktikan konvergensinya. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa itu monoton, karena (x +1 – x) adalah bilangan positif untuk setiap nilai n. Limit barisan sama dengan angka 1, yang berarti bahwa semua syarat dari teorema di atas, juga disebut teorema Weierstrass, terpenuhi. Teorema tentang keterbatasan barisan konvergen menyatakan bahwa jika ia memiliki limit, maka dalam hal apapun ia menjadi terbatas. Namun, mari kita ambil contoh berikut. Deret bilangan X =(-1) dibatasi dari bawah oleh -1 dan dari atas oleh 1. Tetapi barisan ini tidak monoton, tidak memiliki limit, dan karena itu tidak konvergen. Artinya, keberadaan limit dan konvergensi tidak selalu mengikuti limit. Agar ini berhasil, batas bawah dan atas harus cocok, seperti dalam kasus rasio Fibonacci.
Angka dan hukum alam semesta
Varian paling sederhana dari barisan konvergen dan divergen mungkin adalah deret numerik X =n dan X =1/n. Yang pertama adalah deret bilangan asli. Ini, seperti yang telah disebutkan, sangat besar. Barisan konvergen kedua terbatas, dan suku-sukunya mendekati nilai yang sangat kecil. Masing-masing formula ini mempersonifikasikan salah satu sisi Semesta multifaset, membantu seseorang untuk membayangkan dan menghitung sesuatu yang tidak dapat diketahui, tidak dapat diakses oleh persepsi terbatas dalam bahasa angka dan tanda.
Hukum alam semesta, mulai dari yang dapat diabaikan hingga sangat besar, juga menyatakan rasio emas 0,618.mereka percaya bahwa itu adalah dasar dari esensi segala sesuatu dan digunakan oleh alam untuk membentuk bagian-bagiannya. Hubungan antara anggota deret Fibonacci berikutnya dan sebelumnya, yang telah kami sebutkan, tidak melengkapi demonstrasi sifat menakjubkan dari deret unik ini. Jika kita mempertimbangkan hasil bagi membagi suku sebelumnya dengan suku berikutnya melalui satu, maka kita mendapatkan deret 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 dan seterusnya. Sangat menarik bahwa barisan terbatas ini konvergen, tidak monoton, tetapi rasio bilangan tetangga ekstrem dari anggota tertentu selalu kira-kira sama dengan 0,382, yang juga dapat digunakan dalam arsitektur, analisis teknis, dan industri lainnya.
Ada koefisien menarik lainnya dari deret Fibonacci, semuanya memainkan peran khusus di alam, dan juga digunakan oleh manusia untuk tujuan praktis. Matematikawan yakin bahwa Semesta berkembang sesuai dengan "spiral emas" tertentu, yang terbentuk dari koefisien yang ditunjukkan. Dengan bantuan mereka, dimungkinkan untuk menghitung banyak fenomena yang terjadi di Bumi dan di luar angkasa, mulai dari pertumbuhan jumlah bakteri tertentu hingga pergerakan komet yang jauh. Ternyata, kode DNA mematuhi hukum serupa.
Deret Deret Geometrik
Ada teorema yang menyatakan keunikan limit barisan konvergen. Ini berarti tidak dapat memiliki dua atau lebih limit, yang tidak diragukan lagi penting untuk menemukan karakteristik matematikanya.
Mari kita lihat beberapakasus. Deret numerik apa pun yang terdiri dari anggota deret aritmatika adalah divergen, kecuali untuk kasus dengan langkah nol. Hal yang sama berlaku untuk deret geometri, yang penyebutnya lebih besar dari 1. Batas-batas deret numerik tersebut adalah "plus" atau "minus" dari tak hingga. Jika penyebutnya kurang dari -1, maka tidak ada batasan sama sekali. Opsi lain dimungkinkan.
Perhatikan deret bilangan yang diberikan oleh rumus X =(1/4) -1. Sepintas, mudah untuk melihat bahwa barisan konvergen ini terbatas karena sangat menurun dan sama sekali tidak mampu mengambil nilai negatif.
Mari kita tuliskan jumlah anggotanya secara berurutan.
Ini akan menjadi: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 dan seterusnya. Perhitungan yang cukup sederhana sudah cukup untuk memahami seberapa cepat deret geometri ini berkurang dari penyebutnya 0<q<1. Sementara penyebut suku meningkat tanpa batas, mereka sendiri menjadi sangat kecil. Ini berarti limit deret bilangan adalah 0. Contoh ini sekali lagi menunjukkan sifat terbatas dari barisan konvergen.
Urutan dasar
Augustin Louis Cauchy, seorang ilmuwan Prancis, mengungkapkan kepada dunia banyak karya yang berkaitan dengan analisis matematika. Dia memberikan definisi untuk konsep-konsep seperti diferensial, integral, limit, dan kontinuitas. Dia juga mempelajari sifat dasar barisan konvergen. Untuk memahami esensi dari ide-idenya,beberapa detail penting perlu diringkas.
Di awal artikel, ditunjukkan bahwa ada barisan yang memiliki lingkungan di mana titik-titik yang mewakili anggota deret tertentu pada garis nyata mulai mengelompok, berbaris semakin banyak padat. Pada saat yang sama, jarak di antara mereka berkurang ketika jumlah perwakilan berikutnya meningkat, berubah menjadi yang sangat kecil. Jadi, ternyata di lingkungan tertentu jumlah perwakilan dari deret tertentu yang tidak terbatas dikelompokkan, sementara di luarnya ada jumlah yang terbatas. Urutan seperti itu disebut fundamental.
Kriteria Cauchy yang terkenal, yang dibuat oleh seorang matematikawan Prancis, dengan jelas menunjukkan bahwa keberadaan properti semacam itu cukup untuk membuktikan bahwa barisan tersebut konvergen. Kebalikannya juga benar.
Perlu dicatat bahwa kesimpulan ahli matematika Prancis ini sebagian besar hanya untuk kepentingan teoretis. Penerapannya dalam praktik dianggap sebagai masalah yang agak rumit, oleh karena itu, untuk memperjelas konvergensi deret, jauh lebih penting untuk membuktikan keberadaan batas hingga untuk suatu urutan. Jika tidak, dianggap divergen.
Saat memecahkan masalah, kita juga harus mempertimbangkan sifat dasar barisan konvergen. Mereka ditunjukkan di bawah ini.
Jumlah tak hingga
Ilmuwan zaman kuno yang terkenal seperti Archimedes, Euclid, Eudoxus menggunakan jumlah deret bilangan tak hingga untuk menghitung panjang kurva, volume bendadan bidang angka. Secara khusus, dengan cara ini dimungkinkan untuk mengetahui luas segmen parabola. Untuk ini, jumlah deret numerik dari deret geometri dengan q=1/4 digunakan. Volume dan luas dari angka-angka arbitrer lainnya ditemukan dengan cara yang sama. Opsi ini disebut metode "kelelahan". Idenya adalah bahwa tubuh yang dipelajari, bentuknya kompleks, dipecah menjadi beberapa bagian, yang merupakan angka dengan parameter yang mudah diukur. Oleh karena itu, tidak sulit untuk menghitung luas dan volumenya, lalu dijumlahkan.
Omong-omong, tugas serupa sangat akrab bagi anak sekolah modern dan ditemukan dalam tugas USE. Metode unik, yang ditemukan oleh nenek moyang yang jauh, sejauh ini merupakan solusi paling sederhana. Bahkan jika hanya ada dua atau tiga bagian yang membagi angka numerik, penambahan area mereka tetap merupakan jumlah dari deret bilangan.
Jauh lebih lambat daripada ilmuwan Yunani kuno Leibniz dan Newton, berdasarkan pengalaman para pendahulu mereka yang bijaksana, mempelajari pola-pola perhitungan integral. Pengetahuan tentang sifat-sifat barisan membantu mereka memecahkan persamaan diferensial dan aljabar. Saat ini, teori deret, yang diciptakan oleh upaya banyak generasi ilmuwan berbakat, memberikan peluang untuk memecahkan sejumlah besar masalah matematika dan praktis. Dan studi tentang barisan numerik telah menjadi masalah utama yang dipecahkan oleh analisis matematis sejak awal.
