Apa itu aritmatika? Kapan umat manusia mulai menggunakan angka dan bekerja dengannya? Ke mana perginya akar konsep sehari-hari seperti bilangan, pecahan, pengurangan, penjumlahan dan perkalian, yang telah menjadi bagian tak terpisahkan dari kehidupan dan pandangan dunianya? Pikiran Yunani kuno mengagumi ilmu-ilmu seperti matematika, aritmatika dan geometri sebagai simfoni yang paling indah dari logika manusia.
Mungkin aritmatika tidak sedalam ilmu lainnya, tapi apa jadinya jika seseorang melupakan tabel perkalian dasar? Kebiasaan berpikir logis bagi kita, menggunakan angka, pecahan, dan alat-alat lain, tidak mudah bagi orang-orang dan untuk waktu yang lama tidak dapat diakses oleh nenek moyang kita. Faktanya, sebelum perkembangan aritmatika, tidak ada bidang pengetahuan manusia yang benar-benar ilmiah.
Aritmatika adalah ABC matematika
Aritmatika adalah ilmu angka, yang dengannya setiap orang mulai berkenalan dengan dunia matematika yang menarik. Seperti yang dikatakan M. V. Lomonosov, aritmatika adalah gerbang pembelajaran, membuka jalan menuju pengetahuan dunia bagi kita. Tapi dia benarApakah pengetahuan tentang dunia dapat dipisahkan dari pengetahuan tentang angka dan huruf, matematika dan berbicara? Mungkin di masa lalu, tetapi tidak di dunia modern, di mana perkembangan pesat ilmu pengetahuan dan teknologi menentukan hukumnya sendiri.
Kata "aritmatika" (bahasa Yunani "arithmos") yang berasal dari bahasa Yunani, berarti "angka". Dia mempelajari angka dan segala sesuatu yang dapat dihubungkan dengannya. Inilah dunia bilangan: berbagai operasi bilangan, aturan bilangan, pemecahan masalah yang berhubungan dengan perkalian, pengurangan, dll.
Sudah diterima secara umum bahwa aritmatika adalah langkah awal matematika dan dasar yang kuat untuk bagian-bagiannya yang lebih kompleks, seperti aljabar, analisis matematika, matematika tingkat tinggi, dll.
Objek utama aritmatika
Basis aritmatika adalah bilangan bulat, sifat dan polanya dipertimbangkan dalam aritmatika tinggi atau teori bilangan. Faktanya, kekuatan keseluruhan bangunan - matematika - tergantung pada seberapa tepat pendekatan yang diambil dalam mempertimbangkan balok kecil seperti bilangan asli.
Oleh karena itu, pertanyaan tentang apa itu aritmatika dapat dijawab secara sederhana: itu adalah ilmu bilangan. Ya, tentang tujuh, sembilan, dan semua komunitas yang beragam ini. Dan sama seperti Anda tidak dapat menulis puisi yang bagus atau bahkan yang paling biasa-biasa saja tanpa alfabet dasar, Anda bahkan tidak dapat memecahkan masalah dasar tanpa aritmatika. Itulah sebabnya semua ilmu pengetahuan maju hanya setelah perkembangan aritmatika dan matematika, sebelum itu hanya seperangkat asumsi.
Aritmatika adalah ilmu hantu
Apa itu aritmatika - ilmu alam atau hantu? Faktanya, seperti yang dikatakan oleh para filsuf Yunani kuno, baik angka maupun angka tidak ada dalam kenyataan. Ini hanyalah bayangan yang tercipta dalam pemikiran manusia ketika mempertimbangkan lingkungan dengan prosesnya. Memang, apa itu angka? Tidak ada tempat di sekitar kita melihat sesuatu seperti itu yang bisa disebut angka, sebaliknya, angka adalah cara pikiran manusia untuk mempelajari dunia. Atau mungkin itu adalah studi tentang diri kita dari dalam? Para filsuf telah memperdebatkan hal ini selama berabad-abad berturut-turut, jadi kami tidak berjanji untuk memberikan jawaban yang lengkap. Dengan satu atau lain cara, aritmatika telah berhasil mengambil tempatnya begitu kuat sehingga di dunia modern tidak ada yang dapat dianggap beradaptasi secara sosial tanpa mengetahui dasar-dasarnya.
Bagaimana bilangan asli muncul
Tentu saja, objek utama operasi aritmatika adalah bilangan asli, seperti 1, 2, 3, 4, …, 152… dst. Aritmatika bilangan asli adalah hasil dari menghitung benda biasa, seperti sapi di padang rumput. Namun, definisi "banyak" atau "sedikit" tidak lagi cocok untuk orang-orang, dan mereka harus menemukan teknik penghitungan yang lebih maju.
Tetapi terobosan nyata terjadi ketika pemikiran manusia mencapai titik bahwa dimungkinkan untuk menunjuk 2 kilogram, dan 2 batu bata, dan 2 bagian dengan angka "dua" yang sama. Faktanya adalah Anda perlu mengabstraksi dari bentuk, sifat, dan makna objek, kemudian Anda dapat melakukan beberapa tindakan dengan objek ini dalam bentuk bilangan asli. Maka lahirlah aritmatika angka, yangdikembangkan dan diperluas lebih lanjut, menempati posisi yang semakin besar dalam kehidupan masyarakat.
Konsep mendalam tentang angka seperti angka nol dan negatif, pecahan, penunjukan angka dengan angka dan dengan cara lain, memiliki sejarah perkembangan yang kaya dan menarik.
Aritmatika dan praktis Mesir
Dua sahabat manusia tertua dalam menjelajahi dunia di sekitar kita dan memecahkan masalah sehari-hari adalah aritmatika dan geometri.
Dipercaya bahwa sejarah aritmatika berasal dari Timur Kuno: di India, Mesir, Babel, dan Cina. Jadi, papirus Rinda yang berasal dari Mesir (dinamakan demikian karena dimiliki oleh pemilik nama yang sama), berasal dari abad ke-20. BC, selain data berharga lainnya, berisi pemuaian satu pecahan menjadi jumlah pecahan dengan penyebut berbeda dan pembilang sama dengan satu.
Misalnya: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Tapi apa gunanya dekomposisi yang begitu rumit? Faktanya adalah bahwa pendekatan Mesir tidak mentolerir pemikiran abstrak tentang angka, sebaliknya, perhitungan dibuat hanya untuk tujuan praktis. Artinya, orang Mesir akan melakukan hal seperti perhitungan, semata-mata untuk membangun makam, misalnya. Itu perlu untuk menghitung panjang tepi struktur, dan ini memaksa seseorang untuk duduk di belakang papirus. Seperti yang Anda lihat, kemajuan Mesir dalam perhitungan lebih disebabkan oleh konstruksi massal daripada kecintaan pada sains.
Untuk alasan ini, perhitungan yang ditemukan pada papirus tidak dapat disebut refleksi pada topik pecahan. Kemungkinan besar, ini adalah persiapan praktis yang membantu di masa depan.menyelesaikan masalah dengan pecahan. Orang Mesir kuno, yang tidak tahu tabel perkalian, membuat perhitungan yang agak panjang, didekomposisi menjadi banyak subtugas. Mungkin ini adalah salah satu subtugas itu. Sangat mudah untuk melihat bahwa perhitungan dengan benda kerja seperti itu sangat melelahkan dan tidak menjanjikan. Mungkin karena alasan ini kita tidak melihat kontribusi besar Mesir Kuno terhadap perkembangan matematika.
Yunani Kuno dan aritmatika filosofis
Banyak pengetahuan tentang Timur Kuno yang berhasil dikuasai oleh orang Yunani kuno, pecinta refleksi abstrak, abstrak, dan filosofis yang terkenal. Mereka tidak kalah tertarik pada praktik, tetapi sulit menemukan ahli teori dan pemikir terbaik. Ini menguntungkan sains, karena tidak mungkin mempelajari aritmatika tanpa memisahkannya dari kenyataan. Tentu, Anda dapat mengalikan 10 sapi dan 100 liter susu, tetapi Anda tidak akan terlalu jauh.
Orang-orang Yunani yang berpikiran mendalam meninggalkan jejak yang signifikan dalam sejarah, dan tulisan-tulisan mereka telah sampai kepada kita:
- Euclid dan Elemen-elemennya.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Dan, tentu saja, orang Yunani, yang mengubah segalanya menjadi filsafat, dan terutama penerus karya Pythagoras, sangat terpesona oleh angka sehingga mereka menganggapnya sebagai misteri harmoni dunia. Bilangan telah dipelajari dan diteliti sedemikian rupa sehingga beberapa dari mereka dan pasangannya telah diberi sifat khusus. Misalnya:
- Bilangan sempurna adalah bilangan yang sama dengan jumlah semua pembaginya, kecuali bilangan itu sendiri (6=1+2+3).
- Nomor ramah adalah nomor itu, salah satunyasama dengan jumlah semua pembagi detik, dan sebaliknya (Pythagoras hanya tahu satu pasangan seperti itu: 220 dan 284).
Orang Yunani, yang percaya bahwa sains harus dicintai, dan bukan untuk mengejar keuntungan, mencapai kesuksesan besar dengan menjelajahi, bermain, dan menambahkan angka. Perlu dicatat bahwa tidak semua penelitian mereka digunakan secara luas, beberapa di antaranya hanya "untuk kecantikan".
Pemikir Timur Abad Pertengahan
Dengan cara yang sama, pada Abad Pertengahan, perkembangan aritmatika berasal dari orang-orang sezamannya di Timur. Orang India memberi kami angka yang kami gunakan secara aktif, seperti konsep "nol", dan versi posisi kalkulus, yang akrab dengan persepsi modern. Dari Al-Kashi, yang bekerja di Samarkand pada abad ke-15, kami mewarisi pecahan desimal, yang tanpanya sulit membayangkan aritmatika modern.
Dalam banyak hal, pengenalan Eropa dengan pencapaian Timur menjadi mungkin berkat karya ilmuwan Italia Leonardo Fibonacci, yang menulis karya "The Book of the Abacus", memperkenalkan inovasi Timur. Ini menjadi landasan pengembangan aljabar dan aritmatika, penelitian dan kegiatan ilmiah di Eropa.
Aritmatika Rusia
Dan, akhirnya, aritmatika, yang menemukan tempatnya dan berakar di Eropa, mulai menyebar ke tanah Rusia. Aritmatika Rusia pertama diterbitkan pada 1703 - itu adalah buku tentang aritmatika oleh Leonty Magnitsky. Untuk waktu yang lama itu tetap satu-satunya buku teks dalam matematika. Ini berisi momen awal aljabar dan geometri. Angka-angka yang digunakan dalam contoh oleh buku teks aritmatika pertama di Rusia adalah bahasa Arab. Meskipun angka Arab telah terlihat sebelumnya, pada ukiran yang berasal dari abad ke-17.
Buku itu sendiri dihiasi dengan gambar Archimedes dan Pythagoras, dan pada lembar pertama - gambar aritmatika dalam bentuk seorang wanita. Dia duduk di atas takhta, di bawahnya tertulis dalam bahasa Ibrani sebuah kata yang menunjukkan nama Tuhan, dan di tangga yang mengarah ke takhta, kata-kata "pembagian", "perkalian", "penambahan", dll tertulis. yang sekarang dianggap biasa.
Sebuah buku teks setebal 600 halaman mencakup dasar-dasar seperti tabel penjumlahan dan perkalian serta aplikasi untuk ilmu navigasi.
Tidak heran jika penulis memilih gambar para pemikir Yunani untuk bukunya, karena ia sendiri terpikat oleh keindahan aritmatika, dengan mengatakan: "Aritmatika adalah pembilang, ada seni yang jujur, tidak patut ditiru …". Pendekatan aritmatika ini cukup dibenarkan, karena pengenalannya yang luas dapat dianggap sebagai awal dari perkembangan pesat pemikiran ilmiah di Rusia dan pendidikan umum.
Unprime bilangan prima
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki 2 pembagi positif: 1 dan dirinya sendiri. Semua bilangan lain, kecuali 1, disebut komposit. Contoh bilangan prima: 2, 3, 5, 7, 11, dan lain-lain yang tidak memiliki pembagi selain 1 dan dirinya sendiri.
Adapun nomor 1, itu ada di akun khusus - ada kesepakatan bahwa itu tidak boleh sederhana atau gabungan. Sekilas sederhana, angka sederhana menyembunyikan banyak misteri yang belum terpecahkan di dalam dirinya sendiri.
Teorema Euclid mengatakan bahwa ada bilangan prima yang tak terbatas, dan Eratosthenes menemukan "ayakan" aritmatika khusus yang menghilangkan bilangan non-prima, hanya menyisakan yang sederhana.
Intinya adalah menggarisbawahi angka pertama yang tidak dicoret, kemudian mencoret yang kelipatannya. Kami mengulangi prosedur ini berkali-kali - dan kami mendapatkan tabel bilangan prima.
Teorema Dasar Aritmatika
Di antara pengamatan tentang bilangan prima, teorema dasar aritmatika harus disebutkan secara khusus.
Teorema dasar aritmatika mengatakan bahwa bilangan bulat apa pun yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima, atau bilangan tersebut dapat dipecah menjadi produk bilangan prima hingga urutan faktor-faktornya, dan dengan cara yang unik.
Teorema utama aritmatika terbukti agak rumit, dan memahaminya tidak lagi terlihat seperti dasar yang paling sederhana.
Sekilas, bilangan prima adalah konsep dasar, tetapi sebenarnya tidak. Fisika juga pernah menganggap atom sebagai unsur dasar, hingga menemukan seluruh alam semesta di dalamnya. Sebuah cerita indah oleh matematikawan Don Tzagir "Lima Puluh Juta Prima Pertama" didedikasikan untuk bilangan prima.
Dari "tiga apel" ke hukum deduktif
Yang benar-benar dapat disebut sebagai fondasi yang diperkuat dari semua ilmu pengetahuan adalah hukum aritmatika. Bahkan di masa kanak-kanak, setiap orang dihadapkan dengan aritmatika, mempelajari jumlah kaki dan lengan boneka,jumlah kubus, apel, dll. Beginilah cara kita mempelajari aritmatika, yang kemudian masuk ke aturan yang lebih kompleks.
Sepanjang hidup kita mengenalkan kita dengan aturan aritmatika, yang telah menjadi yang paling berguna bagi orang biasa dari semua yang diberikan ilmu pengetahuan. Pelajaran angka adalah "aritmatika-bayi", yang memperkenalkan seseorang ke dunia angka dalam bentuk angka pada anak usia dini.
Aritmatika Tinggi adalah ilmu deduktif yang mempelajari hukum-hukum aritmatika. Kami tahu sebagian besar dari mereka, meskipun kami mungkin tidak tahu persis kata-katanya.
Hukum penjumlahan dan perkalian
Dua bilangan asli a dan b dapat dinyatakan sebagai jumlah a+b, yang juga merupakan bilangan asli. Hukum berikut berlaku untuk penjumlahan:
- Komutatif, yang menyatakan bahwa jumlah tidak berubah dari penataan ulang suku, atau a+b=b+a.
- Associative, yang menyatakan bahwa jumlah tidak bergantung pada cara suku-suku dikelompokkan di tempat, atau a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Aturan aritmatika, seperti penjumlahan, termasuk yang paling dasar, tetapi digunakan oleh semua ilmu pengetahuan, belum lagi kehidupan sehari-hari.
Dua bilangan asli a dan b dapat dinyatakan sebagai produk ab atau ab, yang juga merupakan bilangan asli. Hukum komutatif dan asosiatif yang sama berlaku untuk perkalian dengan penjumlahan:
- ab=ba;
- a(bc)=(a b) c.
Aku bertanya-tanyabahwa ada hukum yang menyatukan penjumlahan dan perkalian, disebut juga hukum distributif atau distributif:
a(b+c)=ab+ac
Hukum ini sebenarnya mengajarkan kita untuk bekerja dengan tanda kurung dengan memperluasnya, sehingga kita dapat bekerja dengan rumus yang lebih kompleks. Ini adalah hukum yang akan memandu kita melewati dunia aljabar yang aneh dan kompleks.
Hukum orde aritmatika
Hukum keteraturan digunakan oleh logika manusia setiap hari, membandingkan jam tangan dan menghitung uang kertas. Dan, bagaimanapun, itu perlu diformalkan dalam bentuk formulasi khusus.
Jika kita memiliki dua bilangan asli a dan b, maka opsi berikut dimungkinkan:
- a sama dengan b, atau a=b;
- a lebih kecil dari b, atau a < b;
- a lebih besar dari b, atau > b.
Dari tiga pilihan, hanya satu yang bisa adil. Hukum dasar yang mengatur urutan mengatakan: jika a < b dan b < c, maka a< c.
Ada juga hukum yang berkaitan dengan perkalian dan penjumlahan: jika a< adalah b, maka a + c < b+c dan ac< bc.
Hukum aritmatika mengajarkan kita untuk bekerja dengan angka, tanda dan kurung, mengubah semuanya menjadi simfoni angka yang harmonis.
kalkulus posisi dan non-posisi
Dapat dikatakan bahwa angka adalah bahasa matematika, yang kenyamanannya sangat bergantung. Ada banyak sistem bilangan, yang, seperti abjad dari bahasa yang berbeda, berbeda satu sama lain.
Mari kita perhatikan sistem bilangan dari sudut pandang pengaruh posisi terhadap nilai kuantitatifangka di posisi ini. Jadi, misalnya, sistem Romawi adalah non-posisi, di mana setiap angka dikodekan oleh serangkaian karakter khusus tertentu: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Mereka sama, masing-masing, dengan angka 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. Dalam sistem seperti itu, angka tidak mengubah definisi kuantitatifnya tergantung pada posisinya: pertama, kedua, dll. Untuk mendapatkan angka lain, Anda perlu menambahkan angka dasar. Misalnya:
- DCC=700.
- CCM=800.
Sistem bilangan yang lebih kita kenal menggunakan angka Arab adalah posisional. Dalam sistem seperti itu, digit angka menentukan jumlah digit, misalnya, angka tiga digit: 333, 567, dll. Berat setiap digit tergantung pada posisi di mana digit ini atau itu berada, misalnya, angka 8 di posisi kedua memiliki nilai 80. Ini khas untuk sistem desimal, ada sistem posisi lain, misalnya, biner.
Aritmatika biner
Kita akrab dengan sistem desimal, yang terdiri dari angka satu digit dan banyak digit. Angka di sebelah kiri angka multi-digit sepuluh kali lebih penting daripada yang di sebelah kanan. Jadi, kita terbiasa membaca 2, 17, 467, dll. Bagian yang disebut "aritmatika biner" memiliki logika dan pendekatan yang sama sekali berbeda. Ini tidak mengherankan, karena aritmatika biner diciptakan bukan untuk logika manusia, tetapi untuk logika komputer. Jika aritmatika angka berasal dari penghitungan objek, yang selanjutnya diabstraksikan dari properti objek menjadi aritmatika "telanjang", maka ini tidak akan berfungsi dengan komputer. Untuk dapat berbagidengan pengetahuannya tentang komputer, seseorang harus menemukan model kalkulus seperti itu.
Aritmatika biner bekerja dengan alfabet biner, yang hanya terdiri dari 0 dan 1. Dan penggunaan alfabet ini disebut sistem biner.
Perbedaan antara aritmatika biner dan aritmatika desimal adalah signifikansi posisi di sebelah kiri tidak lagi 10, tetapi 2 kali. Bilangan biner berbentuk 111, 1001, dll. Bagaimana memahami bilangan seperti itu? Jadi, perhatikan angka 1100:
- Digit pertama di sebelah kiri adalah 18=8, mengingat angka keempat, yang berarti harus dikalikan dengan 2, kita mendapatkan posisi 8.
- Digit kedua 14=4 (posisi 4).
- Digit ketiga 02=0 (posisi 2).
- Digit keempat 01=0 (posisi 1).
- Jadi nomor kita adalah 1100=8+4+0+0=12.
Yaitu, ketika pindah ke digit baru di sebelah kiri, signifikansinya dalam sistem biner dikalikan dengan 2, dan dalam desimal - dengan 10. Sistem seperti itu memiliki satu minus: peningkatannya terlalu besar angka yang diperlukan untuk menulis angka. Contoh merepresentasikan bilangan desimal sebagai bilangan biner dapat dilihat pada tabel berikut.
Bilangan desimal dalam bentuk biner ditunjukkan di bawah ini.
Sistem oktal dan heksadesimal juga digunakan.
Aritmatika misterius ini
Apa itu aritmatika, "dua kali dua" atau misteri angka yang belum dijelajahi? Seperti yang Anda lihat, aritmatika mungkin tampak sederhana pada pandangan pertama, tetapi kemudahannya yang tidak jelas menipu. Itu juga bisa dipelajari oleh anak-anak bersama Bibi Owl darikartun "Aritmatika-bayi", dan Anda dapat membenamkan diri dalam penelitian ilmiah yang mendalam tentang tatanan yang hampir filosofis. Dalam sejarah, dia telah beralih dari menghitung benda menjadi memuja keindahan angka. Hanya satu hal yang diketahui secara pasti: dengan ditetapkannya dalil-dalil dasar aritmatika, semua ilmu pengetahuan dapat bersandar pada bahunya yang kokoh.
