Siswa paling sering menemukan permukaan orde ke-2 di tahun pertama. Pada awalnya, tugas pada topik ini mungkin tampak sederhana, tetapi saat Anda mempelajari matematika yang lebih tinggi dan memperdalam sisi ilmiah, Anda akhirnya dapat berhenti mengarahkan diri Anda pada apa yang sedang terjadi. Untuk mencegah hal ini terjadi, perlu tidak hanya untuk menghafal, tetapi untuk memahami bagaimana permukaan ini atau itu diperoleh, bagaimana perubahan koefisien mempengaruhinya dan lokasinya relatif terhadap sistem koordinat asli, dan bagaimana menemukan sistem baru (satu di mana pusatnya bertepatan dengan koordinat asal, dan sumbu simetri sejajar dengan salah satu sumbu koordinat). Mari kita mulai dari awal.
Definisi
GMT disebut permukaan orde ke-2, yang koordinatnya memenuhi persamaan umum dari bentuk berikut:
F(x, y, z)=0.
Jelas bahwa setiap titik milik permukaan harus memiliki tiga koordinat di beberapa basis yang ditentukan. Meskipun dalam beberapa kasus tempat kedudukan titik dapat merosot, misalnya, menjadi bidang. Ini hanya berarti bahwa salah satu koordinat adalah konstan dan sama dengan nol di seluruh rentang nilai yang dapat diterima.
Bentuk penuh dari persamaan yang disebutkan di atas terlihat seperti ini:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – beberapa konstanta, x, y, z – variabel yang sesuai dengan koordinat affine dari beberapa titik. Dalam hal ini, setidaknya salah satu faktor konstanta tidak boleh sama dengan nol, yaitu, tidak ada titik yang sesuai dengan persamaan.
Dalam sebagian besar contoh, banyak faktor numerik masih identik sama dengan nol, dan persamaannya sangat disederhanakan. Dalam praktiknya, menentukan apakah suatu titik termasuk dalam suatu permukaan tidaklah sulit (cukup dengan mengganti koordinatnya ke dalam persamaan dan memeriksa apakah identitasnya diamati). Poin kunci dalam pekerjaan tersebut adalah untuk membawa yang terakhir ke bentuk kanonik.
Persamaan yang ditulis di atas mendefinisikan setiap permukaan (semua tercantum di bawah) dari orde ke-2. Kami akan mempertimbangkan contoh di bawah ini.
Jenis permukaan orde ke-2
Persamaan permukaan orde ke-2 hanya berbeda dalam nilai koefisien Anm. Dari pandangan umum, untuk nilai konstanta tertentu dapat diperoleh berbagai permukaan, diklasifikasikan sebagai berikut:
- Silinder.
- Tipe elips.
- Tipe hiperbolik.
- Tipe kerucut.
- Tipe parabola.
- Pesawat.
Masing-masing tipe yang terdaftar memiliki bentuk alami dan imajiner: dalam bentuk imajiner, tempat kedudukan titik-titik nyata berubah menjadi bentuk yang lebih sederhana, atau tidak ada sama sekali.
Silinder
Ini adalah tipe yang paling sederhana, karena kurva yang relatif kompleks hanya terletak di dasar, bertindak sebagai panduan. Generator adalah garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang di mana alasnya berada.
Grafik menunjukkan silinder melingkar, kasus khusus dari silinder elips. Di bidang XY, proyeksinya akan menjadi elips (dalam kasus kami, lingkaran) - panduan, dan di XZ - persegi panjang - karena generator sejajar dengan sumbu Z. Untuk mendapatkannya dari persamaan umum, Anda perlu untuk memberikan koefisien nilai-nilai berikut:
Alih-alih simbol biasa x, y, z, x dengan nomor seri digunakan - tidak masalah.
Faktanya, 1/a2dan konstanta lain yang ditunjukkan di sini adalah koefisien yang sama yang ditunjukkan dalam persamaan umum, tetapi biasanya ditulis dalam bentuk ini - ini adalah representasi kanonik. Selanjutnya, hanya notasi seperti itu yang akan digunakan.
Beginilah definisi silinder hiperbolik. Skemanya sama - hiperbola akan menjadi panduan.
y2=2px
Sebuah silinder parabola didefinisikan agak berbeda: bentuk kanoniknya mencakup koefisien p, yang disebut parameter. Sebenarnya, koefisiennya sama dengan q=2p, tetapi biasanya dibagi menjadi dua faktor yang disajikan.
Ada jenis silinder lain: imajiner. Tidak ada titik nyata milik silinder seperti itu. digambarkan dengan persamaansilinder elips, tetapi unitnya bukan -1.
Tipe elips
Sebuah ellipsoid dapat diregangkan di sepanjang salah satu sumbu (yang bergantung pada nilai konstanta a, b, c, yang ditunjukkan di atas; jelas bahwa koefisien yang lebih besar akan sesuai dengan sumbu yang lebih besar).
Ada juga elipsoid imajiner - asalkan jumlah koordinat dikalikan dengan koefisien adalah -1:
Hiperboloid
Ketika minus muncul di salah satu konstanta, persamaan ellipsoid berubah menjadi persamaan hiperboloid satu lembar. Harus dipahami bahwa minus ini tidak harus ditempatkan sebelum koordinat x3! Ini hanya menentukan sumbu mana yang akan menjadi sumbu rotasi hiperboloid (atau sejajar dengannya, karena ketika istilah tambahan muncul di bujur sangkar (misalnya, (x-2)2) pusat gambar bergeser, akibatnya, permukaan bergerak sejajar dengan sumbu koordinat). Ini berlaku untuk semua permukaan urutan ke-2.
Selain itu, Anda perlu memahami bahwa persamaan disajikan dalam bentuk kanonik dan dapat diubah dengan memvariasikan konstanta (dengan tanda dipertahankan!); sedangkan bentuknya (hiperboloid, kerucut, dan sebagainya) akan tetap sama.
Persamaan ini sudah diberikan oleh hiperboloid dua-lembar.
Permukaan kerucut
Tidak ada satuan dalam persamaan kerucut - persamaan dengan nol.
Hanya permukaan kerucut yang dibatasi yang disebut kerucut. Gambar di bawah ini menunjukkan bahwa sebenarnya akan ada dua yang disebut kerucut pada grafik.
Catatan penting: dalam semua persamaan kanonik yang dipertimbangkan, konstanta diambil positif secara default. Jika tidak, tanda tersebut dapat mempengaruhi grafik akhir.
Bidang koordinat menjadi bidang simetri kerucut, pusat simetri terletak di titik asal.
Hanya ada plus dalam persamaan kerucut imajiner; ia memiliki satu titik nyata.
Paraboloid
Permukaan orde 2 dalam ruang dapat mengambil bentuk yang berbeda bahkan dengan persamaan yang serupa. Misalnya, ada dua jenis paraboloid.
x2/a2+y2/b2=2z
Sebuah paraboloid elips, ketika sumbu Z tegak lurus terhadap gambar, akan diproyeksikan menjadi elips.
x2/a2-y2/b2=2z
Paraboloid hiperbolik: bagian dengan bidang yang sejajar dengan ZY akan menghasilkan parabola, dan bagian dengan bidang yang sejajar dengan XY akan menghasilkan hiperbola.
Pesawat berpotongan
Ada kasus ketika permukaan orde ke-2 berdegenerasi menjadi bidang. Pesawat-pesawat ini dapat diatur dengan berbagai cara.
Pertama perhatikan bidang yang berpotongan:
x2/a2-y2/b2=0
Modifikasi persamaan kanonik ini menghasilkan hanya dua bidang yang berpotongan (imajiner!); semua titik nyata berada pada sumbu koordinat yang hilang dalam persamaan (dalam kanonik - sumbu Z).
Pesawat paralel
y2=a2
Bila hanya ada satu koordinat, permukaan orde ke-2 berdegenerasi menjadi sepasang bidang sejajar. Ingat, variabel lain dapat menggantikan Y; maka akan diperoleh bidang yang sejajar dengan sumbu lainnya.
y2=−a2
Dalam hal ini, mereka menjadi imajiner.
Pesawat yang bertepatan
y2=0
Dengan persamaan sederhana seperti itu, sepasang bidang berdegenerasi menjadi satu - keduanya bertepatan.
Jangan lupa bahwa dalam kasus basis tiga dimensi, persamaan di atas tidak mendefinisikan garis lurus y=0! Itu tidak memiliki dua variabel lainnya, tetapi itu hanya berarti bahwa nilainya konstan dan sama dengan nol.
Gedung
Salah satu tugas yang paling sulit bagi siswa adalah konstruksi permukaan orde 2. Bahkan lebih sulit untuk berpindah dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat lainnya, mengingat sudut kurva terhadap sumbu dan offset pusat. Mari kita ulangi bagaimana secara konsisten menentukan tampilan gambar di masa depan dengan analitiscara.
Untuk membuat permukaan orde kedua, Anda memerlukan:
- bawa persamaan ke bentuk kanonik;
- menentukan jenis permukaan yang diteliti;
- konstruksi berdasarkan nilai koefisien.
Di bawah ini adalah semua jenis yang dipertimbangkan:
Untuk mengkonsolidasikan, mari kita jelaskan secara rinci salah satu contoh jenis tugas ini.
Contoh
Misalkan ada persamaan:
3(x2-2x+1)+6th2+2z2+ 60th+144=0
Mari kita bawa ke bentuk kanonik. Mari kita pilih kotak penuh, yaitu, kita mengatur istilah yang tersedia sedemikian rupa sehingga mereka adalah perluasan kuadrat dari jumlah atau perbedaan. Contoh: jika (a+1)2=a2+2a+1 maka a2+2a +1=(a+1)2. Kami akan melakukan operasi kedua. Dalam hal ini, tidak perlu membuka tanda kurung, karena ini hanya akan memperumit perhitungan, tetapi perlu untuk menghilangkan faktor persekutuan 6 (dalam tanda kurung dengan kuadrat penuh dari Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Variabel z hanya muncul sekali dalam kasus ini - Anda dapat membiarkannya untuk saat ini.
Kami menganalisis persamaan pada tahap ini: semua yang tidak diketahui didahului dengan tanda tambah; ketika dibagi enam, satu tetap. Oleh karena itu, kami memiliki persamaan yang mendefinisikan ellipsoid.
Perhatikan bahwa 144 difaktorkan menjadi 150-6, setelah itu -6 dipindahkan ke kanan. Mengapa itu harus dilakukan dengan cara ini? Jelas, pembagi terbesar dalam contoh ini adalah -6, sehingga setelah dibagi dengan itusatu kiri di sebelah kanan, perlu untuk "menunda" tepat 6 dari 144 (fakta bahwa seseorang harus di sebelah kanan ditunjukkan dengan adanya istilah bebas - konstanta tidak dikalikan dengan yang tidak diketahui).
Bagi semuanya dengan enam dan dapatkan persamaan kanonik dari ellipsoid:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Dalam klasifikasi permukaan orde ke-2 yang digunakan sebelumnya, kasus khusus dipertimbangkan ketika pusat gambar berada di titik asal koordinat. Dalam contoh ini, offset.
Kami berasumsi bahwa setiap kurung dengan yang tidak diketahui adalah variabel baru. Yaitu: a=x-1, b=y+5, c=z. Dalam koordinat baru, pusat ellipsoid berimpit dengan titik (0, 0, 0), oleh karena itu, a=b=c=0, dari mana: x=1, y=-5, z=0. Pada koordinat awal, pusat gambar terletak di titik (1, -5, 0).
Ellipsoid akan diperoleh dari dua elips: yang pertama di bidang XY dan yang kedua di bidang XZ (atau YZ - tidak masalah). Koefisien yang digunakan untuk membagi variabel dikuadratkan dalam persamaan kanonik. Oleh karena itu, pada contoh di atas, akan lebih tepat untuk membagi dengan akar dua, satu dan akar tiga.
Sumbu minor dari elips pertama, sejajar dengan sumbu Y, adalah dua. Sumbu mayor yang sejajar dengan sumbu x adalah dua akar dari dua. Sumbu minor elips kedua, sejajar dengan sumbu Y, tetap sama - sama dengan dua. Dan sumbu utama, sejajar dengan sumbu Z, sama dengan dua akar dari tiga.
Dengan bantuan data yang diperoleh dari persamaan asli dengan mengubah ke bentuk kanonik, kita dapat menggambar ellipsoid.
Menyimpulkan
Dibahas dalam artikel initopiknya cukup luas, tetapi, pada kenyataannya, seperti yang Anda lihat sekarang, tidak terlalu rumit. Perkembangannya, pada kenyataannya, berakhir pada saat Anda mengingat nama dan persamaan permukaan (dan, tentu saja, bagaimana tampilannya). Dalam contoh di atas, kita telah membahas setiap langkah secara rinci, tetapi membawa persamaan ke bentuk kanonik membutuhkan pengetahuan minimal matematika yang lebih tinggi dan tidak akan menimbulkan kesulitan bagi siswa.
Analisis jadwal masa depan pada kesetaraan yang ada sudah menjadi tugas yang lebih sulit. Tetapi untuk solusi yang berhasil, cukup memahami bagaimana kurva orde kedua yang sesuai dibangun - elips, parabola, dan lainnya.
Kasus degenerasi - bagian yang lebih sederhana. Karena tidak adanya beberapa variabel, tidak hanya perhitungan yang disederhanakan, seperti yang disebutkan sebelumnya, tetapi juga konstruksi itu sendiri.
Segera setelah Anda dapat dengan yakin memberi nama semua jenis permukaan, memvariasikan konstanta, mengubah grafik menjadi satu atau lain bentuk - topik akan dikuasai.
Sukses dalam studimu!
