Dalam matematika dan pemrosesan, konsep sinyal analitik (disingkat - C, AC) adalah fungsi kompleks yang tidak memiliki komponen frekuensi negatif. Bagian nyata dan imajiner dari fenomena ini adalah fungsi nyata yang terkait satu sama lain oleh transformasi Hilbert. Sinyal analitik adalah fenomena yang cukup umum dalam kimia, yang intinya mirip dengan definisi matematika dari konsep ini.
Kinerja
Representasi analitik dari fungsi nyata adalah sinyal analitik yang berisi fungsi asli dan transformasi Hilbert-nya. Representasi ini memfasilitasi banyak manipulasi matematika. Ide utamanya adalah bahwa komponen frekuensi negatif dari transformasi Fourier (atau spektrum) dari fungsi nyata adalah redundan karena simetri Hermitian dari spektrum tersebut. Komponen frekuensi negatif ini dapat dibuang tanpahilangnya informasi, asalkan Anda ingin berurusan dengan fungsi yang kompleks sebagai gantinya. Hal ini membuat atribut fitur tertentu lebih mudah diakses dan memudahkan untuk memperoleh teknik modulasi dan demodulasi seperti SSB.
Komponen negatif
Selama fungsi yang dimanipulasi tidak memiliki komponen frekuensi negatif (yaitu masih analitik), mengubah dari kompleks kembali ke nyata hanyalah masalah membuang bagian imajiner. Representasi analitik adalah generalisasi dari konsep vektor: sementara vektor terbatas pada amplitudo, fase, dan frekuensi yang tidak berubah terhadap waktu, analisis kualitatif dari sinyal analitik memungkinkan parameter yang bervariasi terhadap waktu.
Amplitudo sesaat, fase sesaat dan frekuensi digunakan dalam beberapa aplikasi untuk mengukur dan mendeteksi fitur lokal C. Aplikasi lain dari representasi analitik berkaitan dengan demodulasi sinyal termodulasi. Koordinat kutub dengan mudah memisahkan efek modulasi AM dan fase (atau frekuensi) dan secara efektif mendemodulasi jenis tertentu.
Kemudian filter low-pass sederhana dengan koefisien nyata dapat memotong bagian yang diinginkan. Motif lain adalah untuk menurunkan frekuensi maksimum, yang menurunkan frekuensi minimum untuk non-alias sampling. Pergeseran frekuensi tidak merusak kegunaan matematika dari representasi. Jadi, dalam pengertian ini, konversi ke bawah masih bersifat analitik. Namun, pemulihan representasi nyatabukan lagi masalah sederhana hanya mengekstraksi komponen nyata. Upconversion mungkin diperlukan, dan jika sinyal diambil sampelnya (waktu diskrit), interpolasi (upsampling) mungkin juga diperlukan untuk menghindari aliasing.
Variabel
Konsepnya didefinisikan dengan baik untuk fenomena variabel tunggal, yang biasanya bersifat sementara. Temporalitas ini membingungkan banyak matematikawan pemula. Untuk dua atau lebih variabel, C analitik dapat didefinisikan dengan cara yang berbeda, dan dua pendekatan disajikan di bawah ini.
Bagian nyata dan imajiner dari fenomena ini sesuai dengan dua elemen sinyal monogenik bernilai vektor, sebagaimana didefinisikan untuk fenomena serupa dengan satu variabel. Namun, monogenik dapat diperluas ke sejumlah variabel yang berubah-ubah dengan cara yang sederhana, menciptakan fungsi vektor dimensi (n + 1) untuk kasus sinyal variabel-n.
Konversi sinyal
Anda dapat mengubah sinyal real menjadi sinyal analitik dengan menambahkan komponen imajiner (Q), yang merupakan transformasi Hilbert dari komponen real.
Omong-omong, ini bukan hal baru dalam pemrosesan digitalnya. Salah satu cara tradisional untuk menghasilkan single sideband (SSB) AM, metode pentahapan, melibatkan pembuatan sinyal dengan menghasilkan transformasi Hilbert dari sinyal audio dalam jaringan resistor-kapasitor analog. Karena hanya memiliki frekuensi positif, mudah untuk mengubahnya menjadi sinyal RF termodulasi hanya dengan satu sideband.
Rumus definisi
Ekspresi sinyal analitik adalah fungsi kompleks holomorfik yang didefinisikan pada batas setengah bidang kompleks atas. Batas setengah bidang atas bertepatan dengan acak, sehingga C diberikan oleh pemetaan fa: R → C. Sejak pertengahan abad terakhir, ketika Denis Gabor mengusulkan pada tahun 1946 untuk menggunakan fenomena ini untuk mempelajari amplitudo dan fase konstan, sinyal telah menemukan banyak aplikasi. Keunikan fenomena ini ditekankan [Vak96], di mana ditunjukkan bahwa hanya analisis kualitatif dari sinyal analitik yang sesuai dengan kondisi fisik untuk amplitudo, fase, dan frekuensi.
Prestasi terbaru
Selama beberapa dekade terakhir, telah ada minat dalam studi sinyal di banyak dimensi, dimotivasi oleh masalah yang timbul di berbagai bidang mulai dari pemrosesan gambar / video hingga proses osilasi multidimensi dalam fisika, seperti seismik, elektromagnetik dan gelombang gravitasi. Secara umum telah diterima bahwa, untuk menggeneralisasi C analitik (analisis kualitatif) dengan benar untuk kasus beberapa dimensi, seseorang harus mengandalkan konstruksi aljabar yang memperluas bilangan kompleks biasa dengan cara yang nyaman. Konstruksi seperti ini biasanya disebut bilangan hiperkompleks [SKE].
Akhirnya, mungkin untuk membangun sinyal analitik hiperkompleks fh: Rd → S, di mana beberapa sistem aljabar hiperkompleks umum diwakili, yang secara alami memperluas semua properti yang diperlukan untuk mendapatkan amplitudo seketika danfase.
Belajar
Sejumlah makalah dikhususkan untuk berbagai masalah yang berkaitan dengan pilihan yang benar dari sistem bilangan hiperkompleks, definisi transformasi Fourier hiperkompleks dan transformasi Hilbert fraksional untuk mempelajari amplitudo dan fase sesaat. Sebagian besar pekerjaan ini didasarkan pada sifat-sifat berbagai ruang seperti Cd, quaternions, aljabar Clearon, dan konstruksi Cayley-Dixon.
Selanjutnya, kami hanya akan membuat daftar beberapa karya yang ditujukan untuk mempelajari sinyal dalam banyak dimensi. Sejauh yang kami tahu, karya pertama tentang metode multivariat diperoleh pada awal 1990-an. Ini termasuk karya Ell [Ell92] tentang transformasi hiperkompleks; Karya Bulow pada generalisasi metode reaksi analitik (sinyal analitis) untuk banyak pengukuran [BS01] dan karya Felsberg dan Sommer pada sinyal monogenik.
Prospek lebih lanjut
Sinyal hiperkompleks diharapkan memperluas semua properti berguna yang kita miliki dalam kasus 1D. Pertama-tama, kita harus dapat mengekstrak dan menggeneralisasi amplitudo dan fase sesaat ke pengukuran. Kedua, spektrum Fourier dari sinyal analitik kompleks dipertahankan hanya pada frekuensi positif, jadi kami berharap transformasi Fourier hiperkompleks memiliki spektrum hipernilainya sendiri, yang hanya akan dipertahankan di beberapa kuadran positif dari ruang hiperkompleks. Karena itu sangat penting.
Ketiga, konjugasi bagian dari konsep yang komplekssinyal analitik terkait dengan transformasi Hilbert, dan kita dapat mengharapkan bahwa komponen konjugasi dalam ruang hiperkompleks juga harus terkait dengan beberapa kombinasi transformasi Hilbert. Dan akhirnya, memang, sinyal hiperkompleks harus didefinisikan sebagai perpanjangan dari beberapa fungsi holomorfik hiperkompleks dari beberapa variabel hiperkompleks yang didefinisikan pada batas beberapa bentuk dalam ruang hiperkompleks.
Kami menangani masalah ini secara berurutan. Pertama-tama, kita mulai dengan melihat rumus integral Fourier dan menunjukkan bahwa transformasi Hilbert ke 1-D terkait dengan rumus integral Fourier yang dimodifikasi. Fakta ini memungkinkan kita untuk menentukan amplitudo sesaat, fase dan frekuensi tanpa referensi ke sistem bilangan hiperkompleks dan fungsi holomorfik.
Modifikasi integral
Kami melanjutkan dengan memperluas rumus integral Fourier yang dimodifikasi ke beberapa dimensi, dan menentukan semua komponen pergeseran fase yang diperlukan yang dapat kami kumpulkan menjadi amplitudo dan fase sesaat. Kedua, kita beralih ke pertanyaan tentang keberadaan fungsi holomorfik dari beberapa variabel hiperkompleks. Setelah [Sch93] ternyata aljabar hiperkompleks komutatif dan asosiatif yang dihasilkan oleh satu set generator elips (e2i=1) adalah ruang yang cocok untuk sinyal analitik hiperkompleks untuk hidup, kami menyebutnya aljabar hiperkompleks ruang Schaefers dan menunjukkan diaSD
Oleh karena itu, hiperkompleks sinyal analitik didefinisikan sebagai fungsi holomorfik pada batas polidisk / bagian atas bidang di beberapa ruang hiperkompleks, yang kita sebut ruang Schaefers umum, dan dilambangkan dengan Sd. Kami kemudian mengamati validitas rumus integral Cauchy untuk fungsi Sd → Sd, yang dihitung melalui hypersurface di dalam polydisk di Sd dan menurunkan transformasi Hilbert pecahan yang sesuai yang menghubungkan komponen konjugat hiperkompleks. Akhirnya, ternyata transformasi Fourier dengan nilai dalam ruang Schaefers hanya didukung pada frekuensi non-negatif. Berkat artikel ini, Anda telah mempelajari apa itu sinyal analitik.
