Matriks adalah objek khusus dalam matematika. Itu digambarkan dalam bentuk meja persegi panjang atau persegi, terdiri dari sejumlah baris dan kolom. Dalam matematika, ada berbagai macam jenis matriks, berbeda dalam ukuran atau isinya. Jumlah baris dan kolomnya disebut ordo. Benda-benda ini digunakan dalam matematika untuk mengatur penulisan sistem persamaan linier dan dengan mudah mencari hasilnya. Persamaan menggunakan matriks diselesaikan dengan menggunakan metode Carl Gauss, Gabriel Cramer, minor dan penjumlahan aljabar, dan banyak cara lainnya. Keterampilan dasar ketika bekerja dengan matriks adalah membawanya ke bentuk standar. Namun, pertama-tama, mari kita cari tahu jenis matriks apa yang dibedakan oleh matematikawan.
Tipe nol
Semua komponen dari jenis matriks ini adalah nol. Sedangkan jumlah baris dan kolomnya sangat berbeda.
Tipe persegi
Jumlah kolom dan baris matriks jenis ini sama. Dengan kata lain, ini adalah tabel bentuk "persegi". Jumlah kolomnya (atau baris) disebut ordo. Kasus khusus adalah adanya matriks orde kedua (matriks 2x2), orde keempat (4x4), kesepuluh (10x10), ketujuh belas (17x17) dan seterusnya.
vektor kolom
Ini adalah salah satu jenis matriks paling sederhana, yang hanya berisi satu kolom, yang mencakup tiga nilai numerik. Ini mewakili serangkaian istilah bebas (angka yang tidak bergantung pada variabel) dalam sistem persamaan linier.
Vektor baris
Tampilan yang mirip dengan yang sebelumnya. Terdiri dari tiga elemen numerik, pada gilirannya diatur dalam satu baris.
Tipe diagonal
Hanya komponen diagonal utama (disorot dengan warna hijau) yang mengambil nilai numerik dalam bentuk diagonal matriks. Diagonal utama dimulai dengan elemen di sudut kiri atas dan diakhiri dengan elemen di kanan bawah. Komponen lainnya adalah nol. Jenis diagonal hanya matriks persegi dari beberapa urutan. Di antara matriks-matriks berbentuk diagonal, satu skalar dapat dipilih. Semua komponennya mengambil nilai yang sama.
Matriks identitas
Sebuah subspesies dari matriks diagonal. Semua nilai numeriknya adalah satuan. Dengan menggunakan satu jenis tabel matriks, lakukan transformasi dasarnya atau temukan matriks yang terbalik dengan matriks aslinya.
Tipe kanonik
Bentuk kanonik dari sebuah matriks dianggap sebagai salah satu yang utama; casting untuk itu sering diperlukan untuk bekerja. Jumlah baris dan kolom dalam matriks kanonik berbeda, tidak harus termasuk dalam tipe persegi. Ini agak mirip dengan matriks identitas, namun, dalam kasusnya, tidak semua komponen diagonal utama memiliki nilai yang sama dengan satu. Mungkin ada dua atau empat unit diagonal utama (semuanya tergantung pada panjang dan lebar matriks). Atau mungkin tidak ada satuan sama sekali (maka dianggap nol). Komponen yang tersisa dari tipe kanonik, serta elemen diagonal dan identitas, sama dengan nol.
Tipe segitiga
Salah satu jenis matriks yang paling penting, digunakan saat mencari determinannya dan saat melakukan operasi sederhana. Tipe segitiga berasal dari tipe diagonal, jadi matriksnya juga persegi. Tampilan segitiga matriks dibagi menjadi segitiga atas dan segitiga bawah.
Dalam matriks segitiga atas (Gbr. 1), hanya elemen yang berada di atas diagonal utama yang memiliki nilai sama dengan nol. Komponen diagonal itu sendiri dan bagian matriks di bawahnya mengandung nilai numerik.
Dalam matriks segitiga bawah (Gbr. 2), sebaliknya, elemen yang terletak di bagian bawah matriks sama dengan nol.
Matriks Langkah
Tampilan diperlukan untuk menemukan peringkat matriks, serta untuk operasi dasar pada matriks tersebut (bersama dengan tipe segitiga). Matriks langkah dinamakan demikian karena mengandung "langkah" karakteristik dari nol (seperti yang ditunjukkan pada gambar). Dalam tipe melangkah, diagonal nol terbentuk (belum tentu yang utama), dan semua elemen di bawah diagonal ini juga memiliki nilai yang sama dengan nol. Prasyarat adalah sebagai berikut: jika ada baris nol dalam matriks langkah, maka baris yang tersisa di bawahnya juga tidak mengandung nilai numerik.
Jadi, kami telah mempertimbangkan jenis matriks terpenting yang diperlukan untuk bekerja dengannya. Sekarang mari kita berurusan dengan tugas mengubah matriks menjadi bentuk yang diperlukan.
Reduksi menjadi bentuk segitiga
Bagaimana cara membuat matriks menjadi segitiga? Paling sering, dalam tugas, Anda perlu mengubah matriks menjadi bentuk segitiga untuk menemukan determinannya, atau disebut determinan. Saat melakukan prosedur ini, sangat penting untuk "mempertahankan" diagonal utama matriks, karena determinan matriks segitiga persis merupakan produk dari komponen diagonal utamanya. Izinkan saya juga mengingatkan Anda tentang metode alternatif untuk menemukan determinan. Determinan tipe persegi ditemukan menggunakan rumus khusus. Misalnya, Anda dapat menggunakan metode segitiga. Untuk matriks lain, metode penguraian menurut baris, kolom, atau elemennya digunakan. Anda juga dapat menerapkan metode minor dan komplemen aljabar dari matriks.
RincianMari kita menganalisis proses membawa matriks ke bentuk segitiga menggunakan contoh beberapa tugas.
Tugas 1
Penentuan matriks yang disajikan perlu dicari, menggunakan metode membuatnya menjadi bentuk segitiga.
Matriks yang diberikan kepada kita adalah matriks bujur sangkar orde ketiga. Oleh karena itu, untuk mengubahnya menjadi bentuk segitiga, kita perlu meniadakan dua komponen kolom pertama dan satu komponen kolom kedua.
Untuk membuatnya menjadi bentuk segitiga, mulailah transformasi dari sudut kiri bawah matriks - dari angka 6. Untuk mengubahnya menjadi nol, kalikan baris pertama dengan tiga dan kurangi dari baris terakhir.
Penting! Baris atas tidak berubah, tetapi tetap sama seperti pada matriks aslinya. Anda tidak perlu menulis string empat kali dari string aslinya. Tetapi nilai string yang komponennya perlu ditiadakan terus berubah.
Selanjutnya, mari kita berurusan dengan nilai berikutnya - elemen baris kedua dari kolom pertama, nomor 8. Kalikan baris pertama dengan empat dan kurangi dari baris kedua. Kami mendapatkan nol.
Hanya nilai terakhir yang tersisa - elemen baris ketiga dari kolom kedua. Ini adalah nomor (-1). Untuk mengubahnya menjadi nol, kurangi baris kedua dari baris pertama.
Mari kita periksa:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Jadi jawaban dari tugas tersebut adalah -22.
Tugas 2
Kita perlu mencari determinan matriks dengan membuatnya menjadi bentuk segitiga.
Matriks yang diwakilitermasuk dalam tipe persegi dan merupakan matriks orde keempat. Artinya, tiga komponen kolom pertama, dua komponen kolom kedua, dan satu komponen kolom ketiga harus dinolkan.
Mari kita mulai pengurangannya dari elemen yang terletak di sudut kiri bawah - dari angka 4. Kita perlu mengubah angka ini menjadi nol. Cara termudah untuk melakukannya adalah dengan mengalikan baris atas dengan empat dan kemudian menguranginya dari baris keempat. Mari kita tuliskan hasil dari transformasi tahap pertama.
Jadi, komponen baris keempat disetel ke nol. Mari kita beralih ke elemen pertama dari baris ketiga, ke nomor 3. Kami melakukan operasi serupa. Kalikan dengan tiga baris pertama, kurangi dari baris ketiga dan tulis hasilnya.
Selanjutnya, kita melihat angka 2 di baris kedua. Kami mengulangi operasi: kalikan baris atas dengan dua dan kurangi dari yang kedua.
Kita berhasil mengeset semua komponen kolom pertama matriks bujur sangkar ini ke nol, kecuali angka 1, elemen diagonal utama yang tidak memerlukan transformasi. Sekarang penting untuk menjaga nol yang dihasilkan, jadi kita akan melakukan transformasi dengan baris, bukan kolom. Mari kita beralih ke kolom kedua dari matriks yang disajikan.
Mari kita mulai dari bawah lagi - dari elemen kolom kedua dari baris terakhir. Ini adalah nomor (-7). Namun, dalam hal ini lebih mudah untuk memulai dengan angka (-1) - elemen kolom kedua dari baris ketiga. Untuk mengubahnya menjadi nol, kurangi baris kedua dari baris ketiga. Kemudian kita kalikan baris kedua dengan tujuh dan kurangi dari yang keempat. Kami mendapat nol alih-alih elemen yang terletak di baris keempat kolom kedua. Sekarang mari kita beralih ke yang ketigakolom.
Dalam kolom ini, kita perlu beralih ke nol hanya satu angka - 4. Mudah dilakukan: cukup tambahkan ketiga ke baris terakhir dan lihat nol yang kita butuhkan.
Setelah semua transformasi, kami membawa matriks yang diusulkan ke bentuk segitiga. Sekarang, untuk menemukan determinannya, Anda hanya perlu mengalikan elemen yang dihasilkan dari diagonal utama. Didapatkan: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Jadi, solusinya adalah bilangan 160.
Jadi, sekarang soal mengubah matriks ke bentuk segitiga tidak akan menyulitkan Anda.
Pengurangan ke bentuk bertahap
Dalam operasi dasar pada matriks, bentuk langkah kurang "diminta" daripada bentuk segitiga. Hal ini paling sering digunakan untuk menemukan pangkat dari suatu matriks (yaitu, jumlah baris bukan nolnya) atau untuk menentukan baris tak bebas dan tak bebas linier. Namun, tampilan matriks bertahap lebih fleksibel, karena tidak hanya cocok untuk tipe persegi, tetapi juga untuk semua tipe lainnya.
Untuk mereduksi matriks menjadi bentuk bertahap, Anda harus mencari determinannya terlebih dahulu. Untuk ini, metode di atas cocok. Tujuan mencari determinan adalah untuk mengetahui apakah determinan tersebut dapat diubah menjadi matriks langkah. Jika determinannya lebih besar atau lebih kecil dari nol, maka Anda dapat melanjutkan ke tugas dengan aman. Jika sama dengan nol, tidak akan berhasil mereduksi matriks menjadi bentuk bertahap. Dalam hal ini, Anda perlu memeriksa apakah ada kesalahan dalam catatan atau dalam transformasi matriks. Jika tidak ada ketidakakuratan seperti itu, tugas tidak dapat diselesaikan.
Mari kita lihat caranyabawa matriks ke bentuk bertahap menggunakan contoh beberapa tugas.
Tugas 1. Temukan peringkat dari tabel matriks yang diberikan.
Di depan kita adalah matriks bujur sangkar orde ketiga (3x3). Kita tahu bahwa untuk menemukan peringkat, perlu untuk menguranginya ke bentuk bertahap. Oleh karena itu, kita harus mencari determinan matriksnya terlebih dahulu. Menggunakan metode segitiga: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinan=12. Lebih besar dari nol, yang berarti matriks dapat direduksi menjadi bentuk bertahap. Mari kita mulai transformasinya.
Mari kita mulai dengan elemen kolom kiri baris ketiga - angka 2. Kalikan baris atas dengan dua dan kurangi dari baris ketiga. Berkat operasi ini, baik elemen yang kita butuhkan dan angka 4 - elemen kolom kedua dari baris ketiga - berubah menjadi nol.
Selanjutnya, putar ke nol elemen baris kedua dari kolom pertama - angka 3. Untuk melakukan ini, kalikan baris atas dengan tiga dan kurangi dari yang kedua.
Kami melihat bahwa pengurangan menghasilkan matriks segitiga. Dalam kasus kami, transformasi tidak dapat dilanjutkan, karena komponen yang tersisa tidak dapat diubah menjadi nol.
Jadi, kami menyimpulkan bahwa jumlah baris yang berisi nilai numerik dalam matriks ini (atau peringkatnya) adalah 3. Jawaban untuk tugas: 3.
Tugas 2. Tentukan banyaknya baris bebas linier dari matriks ini.
Kita perlu menemukan string yang tidak dapat dibalik dengan transformasi apa punke nol. Faktanya, kita perlu menemukan jumlah baris bukan nol, atau pangkat dari matriks yang diwakili. Untuk melakukannya, mari kita sederhanakan.
Kita melihat matriks yang tidak termasuk dalam tipe persegi. Memiliki dimensi 3x4. Mari kita juga memulai cast dari elemen pojok kiri bawah - angka (-1).
Tambahkan baris pertama ke baris ketiga. Selanjutnya, kurangi detik untuk mengubah angka 5 menjadi nol.
Transformasi lebih lanjut tidak mungkin. Jadi, kami menyimpulkan bahwa jumlah garis bebas linier di dalamnya dan jawaban untuk tugas itu adalah 3.
Sekarang membawa matriks ke bentuk bertahap bukanlah tugas yang mustahil bagi Anda.
Pada contoh tugas ini, kami menganalisis pengurangan matriks menjadi bentuk segitiga dan bentuk bertahap. Untuk meniadakan nilai tabel matriks yang diinginkan, dalam beberapa kasus diperlukan untuk menunjukkan imajinasi dan mengubah kolom atau barisnya dengan benar. Semoga berhasil dalam matematika dan bekerja dengan matriks!
