Segitiga adalah poligon dengan tiga sisi (tiga sudut). Paling sering, sisi dilambangkan dengan huruf kecil, sesuai dengan huruf kapital yang menunjukkan simpul yang berlawanan. Pada artikel ini, kita akan berkenalan dengan jenis-jenis bentuk geometris ini, teorema yang menentukan jumlah sudut segitiga.
Tampilan berdasarkan sudut
Jenis poligon dengan tiga simpul berikut dibedakan:
- sudut tajam, di mana semua sudutnya tajam;
- persegi panjang, mempunyai satu sudut siku-siku, sedangkan sisi-sisi yang membentuknya disebut kaki, dan sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring;
- tumpul ketika salah satu sudut tumpul;
- sama kaki, di mana dua sisinya sama, dan mereka disebut lateral, dan yang ketiga adalah alas segitiga;
- sama sisi, memiliki ketiga sisi yang sama.
Properti
Mereka menyoroti properti utama yang merupakan karakteristik dari setiap jenis segitiga:
- berlawanan dengan sisi yang lebih besar selalu ada sudut yang lebih besar, dan sebaliknya;
- sisi-sisi yang berhadapan sama besar merupakan sudut-sudut yang sama, dan sebaliknya;
- setiap segitiga memiliki dua sudut lancip;
- sudut luar lebih besar dari sudut dalam yang tidak berdekatan;
- jumlah dua sudut selalu kurang dari 180 derajat;
- sudut luar sama dengan jumlah dua sudut lainnya yang tidak berpotongan.
Teorema jumlah segitiga sudut
Teorema menyatakan bahwa jika Anda menjumlahkan semua sudut dari bangun geometri tertentu, yang terletak di bidang Euclidean, maka jumlah mereka adalah 180 derajat. Mari kita coba buktikan teorema ini.
Mari kita buat segitiga sembarang dengan simpul KMN.
Melalui titik M, tarik garis lurus sejajar dengan garis lurus KN (garis ini juga disebut garis lurus Euclidean). Kami menandai titik A di atasnya sedemikian rupa sehingga titik K dan A terletak di sisi yang berbeda dari garis lurus MN. Kami mendapatkan sudut yang sama AMN dan KNM, yang, seperti yang internal, terletak melintang dan dibentuk oleh garis potong MN bersama dengan garis lurus KN dan MA, yang sejajar. Dari sini dapat disimpulkan bahwa jumlah sudut segitiga yang terletak di titik sudut M dan H sama dengan besar sudut KMA. Ketiga sudut tersebut merupakan jumlah, yang sama dengan jumlah sudut KMA dan MKN. Karena sudut-sudut ini dalam satu sisi terhadapgaris lurus sejajar KN dan MA dengan garis potong KM, jumlah mereka adalah 180 derajat. Teorema terbukti.
Konsekuensi
Hal wajar berikut ini mengikuti dari teorema yang dibuktikan di atas: setiap segitiga memiliki dua sudut lancip. Untuk membuktikan ini, mari kita asumsikan bahwa bangun geometri yang diberikan hanya memiliki satu sudut lancip. Dapat juga diasumsikan bahwa tidak ada sudut yang lancip. Dalam hal ini, setidaknya harus ada dua sudut yang sama atau lebih besar dari 90 derajat. Tapi kemudian jumlah sudutnya akan lebih besar dari 180 derajat. Tetapi ini tidak mungkin, karena menurut teorema, jumlah sudut segitiga adalah 180 ° - tidak lebih dan tidak kurang. Ini yang harus dibuktikan.
Properti sudut eksterior
Berapa jumlah sudut segitiga yang luar? Pertanyaan ini dapat dijawab dengan salah satu dari dua cara. Yang pertama adalah perlu untuk menemukan jumlah sudut, yang diambil satu di setiap titik, yaitu, tiga sudut. Yang kedua menyiratkan bahwa Anda perlu menemukan jumlah semua enam sudut di simpul. Pertama, mari kita berurusan dengan opsi pertama. Jadi, segitiga memiliki enam sudut luar - dua di setiap simpul.
Setiap pasangan memiliki sudut yang sama karena mereka vertikal:
∟1=4, 2=5, 3=6.
Selain itu, diketahui bahwa sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berpotongan dengannya. Oleh karena itu, ∟1=A + C, 2=A + B, 3=B + C.
Dari sini ternyata jumlah eksternalsudut, yang diambil satu di setiap simpul, akan sama dengan:
∟1 + 2 + 3=A + C + A + B + B + C=2 x (∟A + B + C).
Mengingat bahwa jumlah sudut adalah 180 derajat, dapat dikatakan bahwa A + ∟B + C=180°. Dan ini berarti bahwa 1 + 2 + 3=2 x 180°=360°. Jika opsi kedua digunakan, maka jumlah dari enam sudut masing-masing akan menjadi dua kali lebih besar. Artinya, jumlah sudut luar segitiga adalah:
∟1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6=2 x (∟1 + 2 + 2)=720°.
Segitiga siku-siku
Berapa jumlah sudut lancip pada segitiga siku-siku? Jawaban atas pertanyaan ini, sekali lagi, mengikuti teorema, yang menyatakan bahwa sudut dalam segitiga berjumlah 180 derajat. Dan pernyataan kami (properti) terdengar seperti ini: dalam segitiga siku-siku, sudut lancip bertambah hingga 90 derajat. Mari kita buktikan kebenarannya.
Mari kita diberikan segitiga KMN, di mana=90°. Perlu dibuktikan bahwa K + M=90°.
Jadi, menurut teorema jumlah sudut + +=180°. Kondisi kita mengatakan bahwa=90°. Jadi, K + M + 90°=180°. Yaitu, K + M=180° - 90°=90°. Itu yang harus kami buktikan.
Selain sifat-sifat segitiga siku-siku di atas, Anda dapat menambahkan yang berikut ini:
- sudut yang menempel pada kaki tajam;
- sisi miring lebih segitiga daripada kaki mana pun;
- jumlah kaki lebih besar dari sisi miring;
- kakisegitiga yang terletak berhadapan dengan sudut 30 derajat adalah setengah sisi miringnya, yaitu sama dengan setengahnya.
Sebagai sifat lain dari bangun geometri ini, teorema Pythagoras dapat dibedakan. Dia menyatakan bahwa dalam segitiga dengan sudut 90 derajat (persegi panjang), jumlah kuadrat kaki sama dengan kuadrat sisi miring.
Jumlah sudut segitiga sama kaki
Sebelumnya kita mengatakan bahwa sama kaki adalah poligon dengan tiga simpul, yang mengandung dua sisi yang sama. Properti dari sosok geometris yang diberikan ini diketahui: sudut pada alasnya sama. Ayo buktikan.
Ambil segitiga KMN yang sama kaki, KN alasnya.
Kita harus membuktikan bahwa=. Jadi, misalkan MA adalah garis bagi segitiga KMN kita. Segitiga MCA, dengan mempertimbangkan tanda pertama persamaan, sama dengan segitiga MCA. Yaitu, dengan syarat diberikan bahwa KM=NM, MA adalah sisi yang sama, 1=2, karena MA adalah garis-bagi. Dengan menggunakan fakta bahwa kedua segitiga ini sama besar, kita dapat menyatakan bahwa K=. Jadi teorema terbukti.
Tapi kami tertarik dengan jumlah sudut segitiga (sama kaki). Karena dalam hal ini tidak memiliki kekhasan sendiri, kita akan mulai dari teorema yang dibahas sebelumnya. Artinya, kita dapat mengatakan bahwa K + ∟M + H=180°, atau 2 x K + M=180° (karena K=H). Kami tidak akan membuktikan properti ini, karena teorema jumlah segitiga itu sendiri telah dibuktikan sebelumnya.
Kecuali seperti yang dibahasproperti tentang sudut segitiga, ada juga pernyataan penting seperti:
- dalam segitiga sama kaki, tinggi yang diturunkan ke alasnya adalah median, garis bagi sudut yang berada di antara sisi yang sama, serta sumbu simetri alasnya;
- median (bagi-bagi, tinggi) yang ditarik ke sisi bangun geometris tersebut adalah sama.
Segitiga sama sisi
Disebut juga siku-siku, yaitu segitiga yang semua sisinya sama. Oleh karena itu, sudut-sudutnya juga sama besar. Masing-masing 60 derajat. Ayo buktikan properti ini.
Asumsikan kita memiliki segitiga KMN. Kita tahu bahwa KM=NM=KN. Dan ini berarti bahwa menurut sifat sudut-sudut yang terletak di alas dalam segitiga sama kaki,==. Karena menurut teorema, jumlah sudut suatu segitiga adalah + +=180°, maka 3 x ∟К=180° atau=60°,=60°,=60 °. Dengan demikian, pernyataan terbukti.
Seperti yang dapat Anda lihat dari bukti di atas berdasarkan teorema, jumlah sudut segitiga sama sisi, seperti jumlah sudut segitiga lainnya, adalah 180 derajat. Teorema ini tidak perlu dibuktikan lagi.
Ada juga sifat-sifat seperti itu dari segitiga sama sisi:
- median, garis bagi, tinggi pada bangun geometri tersebut adalah sama, dan panjangnya dihitung sebagai (a x 3): 2;
- jika Anda menggambarkan sebuah lingkaran di sekitar poligon tertentu, maka jari-jarinya adalahsama dengan (a x 3): 3;
- jika Anda membuat lingkaran menjadi segitiga sama sisi, maka jari-jarinya adalah (a x √3): 6;
- luas bangun geometri ini dihitung dengan rumus: (a2 x 3): 4.
Segitiga siku-siku
Menurut definisi segitiga tumpul, salah satu sudutnya antara 90 dan 180 derajat. Tetapi mengingat bahwa dua sudut lainnya dari bangun geometri ini lancip, kita dapat menyimpulkan bahwa mereka tidak melebihi 90 derajat. Oleh karena itu, teorema jumlah sudut segitiga berfungsi saat menghitung jumlah sudut dalam segitiga tumpul. Ternyata kita dapat dengan aman mengatakan, berdasarkan teorema yang disebutkan di atas, bahwa jumlah sudut segitiga tumpul adalah 180 derajat. Sekali lagi, teorema ini tidak perlu dibuktikan ulang.
