Matriks (tabel dengan elemen numerik) dapat digunakan untuk berbagai perhitungan. Beberapa di antaranya adalah perkalian dengan angka, vektor, matriks lain, beberapa matriks. Produk terkadang salah. Hasil yang salah adalah hasil dari ketidaktahuan aturan untuk melakukan tindakan komputasi. Mari kita cari tahu bagaimana melakukan perkalian.
Matriks dan bilangan
Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana - mengalikan tabel dengan angka dengan nilai tertentu. Misalnya, kita memiliki matriks A dengan elemen aij (i adalah nomor baris dan j adalah nomor kolom) dan nomor e. Hasil kali matriks dengan bilangan e adalah matriks B dengan elemen bij, yang dicari dengan rumus:
bij=e × aij.
T. e. untuk mendapatkan elemen b11 Anda perlu mengambil elemen a11 dan mengalikannya dengan angka yang diinginkan, untuk mendapatkan b12 diperlukan untuk menemukan produk dari elemen a12 dan angka e, dll.
Mari kita selesaikan masalah nomor 1 yang disajikan pada gambar. Untuk mendapatkan matriks B, cukup kalikan elemen dari A dengan 3:
- a11 × 3=18. Kami menulis nilai ini ke dalam matriks B di tempat perpotongan kolom No. 1 dan baris No. 1.
- a21 × 3=15. Kami mendapat elemen b21.
- a12 × 3=-6. Kami menerima elemen b12. Kami menuliskannya ke dalam matriks B di tempat perpotongan kolom 2 dan baris 1.
- a22 × 3=9. Hasil ini adalah elemen b22.
- a13 × 3=12. Masukkan bilangan ini ke dalam matriks menggantikan elemen b13.
- a23 × 3=-3. Nomor terakhir yang diterima adalah elemen b23.
Dengan demikian, kami mendapatkan array persegi panjang dengan elemen numerik.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektor dan syarat keberadaan perkalian matriks
Dalam disiplin matematika, ada yang namanya "vektor". Istilah ini mengacu pada kumpulan nilai yang berurutan dari a1 hingga a . Mereka disebut koordinat ruang vektor dan ditulis sebagai kolom. Ada juga istilah "vektor yang ditransposisikan". Komponennya disusun sebagai string.
Vektor bisa disebut matriks:
- vektor kolom adalah matriks yang dibangun dari satu kolom;
- vektor baris adalah matriks yang hanya memuat satu baris.
Setelah selesaiatas matriks operasi perkalian, penting untuk diingat bahwa ada kondisi untuk keberadaan produk. Tindakan komputasi A × B hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom pada tabel A sama dengan jumlah baris pada tabel B. Matriks yang dihasilkan dari perhitungan selalu memiliki jumlah baris pada tabel A dan jumlah kolom pada tabel B.
Saat mengalikan, tidak disarankan untuk mengatur ulang matriks (pengganda). Produk mereka biasanya tidak sesuai dengan komutatif (perpindahan) hukum perkalian, yaitu hasil operasi A × B tidak sama dengan hasil operasi B × A. Fitur ini disebut non-komutatif produk dari matriks. Dalam beberapa kasus, hasil perkalian A × B sama dengan hasil perkalian B × A, yaitu, perkaliannya komutatif. Matriks yang persamaannya A × B=B × A disebut matriks permutasi. Lihat contoh tabel di bawah ini.
Perkalian dengan vektor kolom
Saat mengalikan matriks dengan vektor kolom, kita harus memperhitungkan kondisi keberadaan produk. Jumlah kolom (n) pada tabel harus sesuai dengan jumlah koordinat yang membentuk vektor. Hasil perhitungan adalah vektor yang ditransformasikan. Jumlah koordinatnya sama dengan jumlah garis (m) dari tabel.
Bagaimana cara menghitung koordinat vektor y jika ada matriks A dan vektor x? Untuk perhitungan dibuat rumus:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
di mana x1, …, x adalah koordinat dari vektor-x, m adalah jumlah baris dalam matriks dan jumlah koordinat dalam vektor y- baru, n adalah jumlah kolom dalam matriks dan jumlah koordinat pada vektor-x, a11, a12, …, amn– elemen matriks A.
Jadi, untuk mendapatkan komponen ke-i dari vektor baru, dilakukan perkalian skalar. Vektor baris ke-i diambil dari matriks A, dan dikalikan dengan vektor yang tersedia x.
Mari kita selesaikan masalah 2. Anda dapat menemukan hasil kali matriks dan vektor karena A memiliki 3 kolom dan x terdiri dari 3 koordinat. Akibatnya, kita harus mendapatkan vektor kolom dengan 4 koordinat. Mari kita gunakan rumus di atas:
- Hitung y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Nilai akhirnya adalah 2.
- Hitung y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Saat menghitung, kami mendapatkan 0.
- Hitung y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Jumlah produk dari faktor-faktor yang ditunjukkan adalah 6.
- Hitung y4. (-1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinatnya adalah -8.
Perkalian vektor-matriks baris
Anda tidak dapat mengalikan matriks dengan banyak kolom dengan vektor baris. Dalam kasus seperti itu, kondisi keberadaan pekerjaan tidak terpenuhi. Tetapi perkalian vektor baris dengan matriks dimungkinkan. Inioperasi komputasi dilakukan ketika jumlah koordinat dalam vektor dan jumlah baris dalam tabel cocok. Hasil perkalian vektor dan matriks adalah vektor baris baru. Jumlah koordinatnya harus sama dengan jumlah kolom dalam matriks.
Menghitung koordinat pertama dari vektor baru melibatkan perkalian vektor baris dan vektor kolom pertama dari tabel. Koordinat kedua dihitung dengan cara yang sama, tetapi sebagai ganti vektor kolom pertama, vektor kolom kedua diambil. Berikut adalah rumus umum untuk menghitung koordinat:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m,
di mana yk adalah koordinat dari vektor-y, (k antara 1 dan n), m adalah jumlah baris dalam matriks dan jumlah koordinat pada vektor-x, n adalah jumlah kolom dalam matriks dan jumlah koordinat pada vektor-y, a dengan indeks alfanumerik adalah elemen-elemen matriks A.
Produk matriks persegi panjang
Perhitungan ini mungkin terlihat rumit. Namun, perkalian mudah dilakukan. Mari kita mulai dengan definisi. Hasil kali matriks A dengan m baris dan n kolom dan matriks B dengan n baris dan p kolom adalah matriks C dengan m baris dan p kolom, di mana elemen cij adalah jumlah hasil kali elemen baris ke-i dari tabel A dan kolom ke-j dari tabel B. Dalam istilah yang lebih sederhana, elemen cij adalah produk skalar baris ke-i vektor dari tabel A dan vektor kolom ke-j dari tabel B.
Sekarang mari kita cari tahu dalam praktik bagaimana menemukan produk matriks persegi panjang. Mari kita selesaikan masalah No.3 untuk ini. Kondisi keberadaan suatu produk terpenuhi. Mari kita mulai menghitung elemen cij:
- Matrix C akan memiliki 2 baris dan 3 kolom.
- Hitung elemen c11. Untuk melakukan ini, kami melakukan produk skalar baris No. 1 dari matriks A dan kolom No. 1 dari matriks B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Kemudian kita lanjutkan dengan cara yang sama, hanya mengubah baris, kolom (tergantung pada indeks elemen).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elemen dihitung. Sekarang tinggal membuat blok persegi panjang dari angka yang diterima.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Perkalian tiga matriks: bagian teoretis
Dapatkah kamu menemukan hasil kali tiga matriks? Operasi komputasi ini layak. Hasilnya dapat diperoleh dengan beberapa cara. Misalnya, ada 3 tabel persegi (dengan urutan yang sama) - A, B, dan C. Untuk menghitung hasil kali, Anda dapat:
- Kalikan A dan B terlebih dahulu, lalu kalikan hasilnya dengan C.
- Pertama cari hasil kali B dan C. Kemudian kalikan matriks A dengan hasilnya.
Jika Anda perlu mengalikan matriks persegi panjang, pertama-tama Anda harus memastikan bahwa operasi komputasi ini memungkinkan. Sebaiknyaproduk A × B dan B × C ada.
Perkalian inkremental bukanlah kesalahan. Ada yang namanya "asosiasi perkalian matriks". Istilah ini mengacu pada persamaan (A × B) × C=A × (B × C).
Latihan Perkalian Tiga Matriks
Matriks persegi
Mulai dengan mengalikan matriks persegi kecil. Gambar di bawah menunjukkan soal nomor 4 yang harus kita selesaikan.
Kami akan menggunakan properti associativity. Pertama kita kalikan A dan B, atau B dan C. Kita hanya ingat satu hal: Anda tidak dapat menukar faktor, yaitu, Anda tidak dapat mengalikan B × A atau C × B. Dengan perkalian ini, kita akan mendapatkan hasil yang salah.
Kemajuan keputusan.
Langkah pertama. Untuk mencari perkalian biasa, pertama kali kita kalikan A dengan B. Saat mengalikan dua matriks, kita akan dipandu oleh aturan yang telah diuraikan di atas. Jadi, hasil perkalian A dan B adalah matriks D dengan 2 baris dan 2 kolom, yaitu array persegi panjang akan memuat 4 elemen. Mari kita temukan dengan melakukan perhitungan:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Hasil antara siap.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Langkah kedua. Sekarang mari kita kalikan matriks D dengan matriks C. Hasilnya adalah matriks persegi G dengan 2 baris dan 2 kolom. Hitung elemen:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Jadi, hasil perkalian matriks persegi adalah tabel G dengan elemen-elemen yang dihitung.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Matriks persegi panjang
Gambar di bawah menunjukkan soal nomor 5. Diperlukan untuk mengalikan matriks persegi panjang dan mencari solusinya.
Mari kita periksa apakah kondisi keberadaan produk A × B dan B × C terpenuhi. Urutan matriks yang ditunjukkan memungkinkan kita untuk melakukan perkalian. Mari kita mulai memecahkan masalah.
Kemajuan keputusan.
Langkah pertama. Kalikan B dengan C untuk mendapatkan D. Matriks B memiliki 3 baris dan 4 kolom, dan matriks C memiliki 4 baris dan 2 kolom. Ini berarti kita akan mendapatkan matriks D dengan 3 baris dan 2 kolom. Mari kita hitung elemennya. Berikut adalah 2 contoh perhitungan:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Kami terus menyelesaikan masalah. Sebagai hasil dari perhitungan lebih lanjut, kami menemukan nilai d21, d2 2, d31 dan d32. Unsur-unsur ini adalah 0, 19, 1 dan 11. Mari kita tulis nilai yang ditemukan ke dalam array persegi panjang.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Langkah kedua. Kalikan A dengan D untuk mendapatkan matriks akhir F. Ini akan memiliki 2 baris dan 2 kolom. Hitung elemen:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Membuat array persegi panjang, yang merupakan hasil akhir dari perkalian tiga matriks.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Pengantar kerja langsung
Materi yang cukup sulit dipahami adalah hasil kali matriks Kronecker. Ini juga memiliki nama tambahan - karya langsung. Apa yang dimaksud dengan istilah ini? Katakanlah kita memiliki tabel A berorde m × n dan tabel B berorde p × q. Hasil kali langsung matriks A dan matriks B adalah matriks orde mp × nq.
Kami memiliki 2 matriks persegi A, B, yang ditunjukkan pada gambar. Yang pertama memiliki 2 kolom dan 2 baris, dan yang kedua memiliki 3 kolom dan 3 baris. Terlihat bahwa matriks hasil perkalian langsung terdiri dari 6 baris dan jumlah kolom yang sama persis.
Bagaimana elemen matriks baru dihitung dalam produk langsung? Menemukan jawaban atas pertanyaan ini sangat mudah jika Anda menganalisis gambar. Pertama isi baris pertama. Ambil elemen pertama dari baris atas tabel A dan kalikan secara berurutan dengan elemen baris pertamadari tabel B. Selanjutnya, ambil elemen kedua dari baris pertama tabel A dan kalikan secara berurutan dengan elemen baris pertama tabel B. Untuk mengisi baris kedua, ambil elemen pertama dari baris pertama tabel A lagi dan kalikan dengan elemen baris kedua tabel B.
Matriks akhir yang diperoleh dari perkalian langsung disebut matriks blok. Jika kita menganalisis gambar lagi, kita dapat melihat bahwa hasil kita terdiri dari 4 blok. Semuanya termasuk elemen matriks B. Selain itu, elemen dari setiap blok dikalikan dengan elemen tertentu dari matriks A. Pada blok pertama, semua elemen dikalikan dengan a11, di blok pertama, semua elemen dikalikan dengan a11. kedua - oleh a12, pada ketiga - pada a21, pada keempat - pada22
Penentu produk
Saat mempertimbangkan topik perkalian matriks, ada baiknya mempertimbangkan istilah seperti "penentu produk matriks". Apa itu determinan? Ini adalah karakteristik penting dari matriks persegi, nilai tertentu yang ditetapkan untuk matriks ini. Penunjukan literal dari determinan adalah det.
Untuk matriks A yang terdiri dari dua kolom dan dua baris, determinannya mudah ditemukan. Ada rumus kecil yang merupakan perbedaan antara produk dari elemen tertentu:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Mari kita perhatikan contoh penghitungan determinan untuk tabel orde kedua. Ada matriks A dimana a11=2, a12=3, a21=5 dan a 22=1. Untuk menghitung determinan, gunakan rumus:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Untuk matriks 3 × 3, determinannya dihitung menggunakan rumus yang lebih kompleks. Disajikan di bawah ini untuk matriks A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Untuk mengingat rumusnya, kami membuat aturan segitiga, yang diilustrasikan pada gambar. Pertama, elemen diagonal utama dikalikan. Produk dari elemen-elemen yang ditunjukkan oleh sudut segitiga dengan sisi merah ditambahkan ke nilai yang diperoleh. Selanjutnya, hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder dikurangi dan hasil kali elemen-elemen yang ditunjukkan oleh sudut-sudut segitiga dengan sisi biru dikurangi.
Sekarang mari kita bicara tentang determinan hasil kali matriks. Ada teorema yang mengatakan bahwa indikator ini sama dengan produk dari determinan tabel pengali. Mari kita verifikasi ini dengan sebuah contoh. Kami memiliki matriks A dengan entri a11=2, a12=3, a21=1 dan a 22=1 dan matriks B dengan entri b11=4, b12=5, b 21 =1 dan b22=2. Tentukan determinan matriks A dan B, hasil kali A × B dan determinan hasil kali ini.
Kemajuan keputusan.
Langkah pertama. Hitung determinan untuk A: det A=2 × 1 – 3 × 1=-1. Selanjutnya, hitung determinan untuk B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Langkah kedua. Ayo temukanproduk A × B. Tunjukkan matriks baru dengan huruf C. Hitung elemen-elemennya:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Langkah ketiga. Hitung determinan untuk C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Bandingkan dengan nilai yang dapat diperoleh dengan mengalikan determinan matriks aslinya. Angkanya sama. Teorema di atas benar.
Peringkat produk
Pangkat suatu matriks adalah karakteristik yang mencerminkan jumlah maksimum baris atau kolom yang bebas linier. Untuk menghitung pangkat, transformasi dasar matriks dilakukan:
- pengaturan ulang dua baris paralel;
- kalikan semua elemen baris tertentu dari tabel dengan angka bukan nol;
- menjumlahkan elemen dari satu baris elemen dari baris lain, dikalikan dengan angka tertentu.
Setelah transformasi dasar, lihat jumlah string bukan nol. Jumlah mereka adalah peringkat matriks. Perhatikan contoh sebelumnya. Disajikan 2 matriks: A dengan elemen a11=2, a12=3, a21=1 dan a22 =1 dan B dengan elemen b11=4, b12=5, b21=1 dan b22=2. Kami juga akan menggunakan matriks C yang diperoleh sebagai hasil perkalian. Jika kita melakukan transformasi elementer, maka tidak akan ada baris nol dalam matriks yang disederhanakan. Ini berarti bahwa peringkat tabel A, dan peringkat tabel B, dan peringkattabel C adalah 2.
Sekarang mari kita perhatikan secara khusus pangkat hasil kali matriks. Ada teorema yang menyatakan bahwa pangkat suatu perkalian dari tabel-tabel yang mengandung unsur-unsur numerik tidak melebihi pangkat suatu faktor. Ini bisa dibuktikan. Misalkan A adalah matriks k × s dan B adalah matriks s × m. Hasil kali A dan B sama dengan C.
Mari kita pelajari gambar di atas. Ini menunjukkan kolom pertama matriks C dan notasi yang disederhanakan. Kolom ini adalah kombinasi linier dari kolom-kolom yang termasuk dalam matriks A. Demikian pula, dapat dikatakan tentang kolom lain dari array persegi panjang C. Jadi, subruang yang dibentuk oleh vektor kolom dari tabel C berada di subruang yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari tabel A. Dengan demikian, dimensi subruang No. 1 tidak melebihi dimensi subruang No. 2. Ini berarti bahwa rangking pada kolom-kolom tabel C tidak melebihi rangking pada kolom-kolom tabel A, yaitu, r(C) r(A). Jika kita berargumentasi dengan cara yang sama, maka kita dapat memastikan bahwa baris-baris matriks C adalah kombinasi linear dari baris-baris matriks B. Hal ini menunjukkan pertidaksamaan r(C) r(B).
Cara mencari perkalian matriks adalah topik yang agak rumit. Ini dapat dengan mudah dikuasai, tetapi untuk mencapai hasil seperti itu, Anda harus menghabiskan banyak waktu untuk menghafal semua aturan dan teorema yang ada.
