Kemajuan umat manusia sebagian besar disebabkan oleh penemuan-penemuan yang dibuat oleh para genius. Salah satunya adalah Blaise Pascal. Biografi kreatifnya sekali lagi menegaskan kebenaran ungkapan Lion Feuchtwanger "Seseorang yang berbakat, berbakat dalam segala hal." Semua prestasi ilmiah ilmuwan besar ini sulit dihitung. Diantaranya adalah salah satu penemuan paling elegan di dunia matematika - segitiga Pascal.
Beberapa kata tentang jenius
Blaise Pascal meninggal lebih awal menurut standar modern, pada usia 39 tahun. Namun, dalam hidupnya yang singkat, ia membedakan dirinya sebagai fisikawan, matematikawan, filsuf, dan penulis yang luar biasa. Keturunan yang bersyukur menamai satuan tekanan dan bahasa pemrograman populer Pascal untuk menghormatinya. Ini telah digunakan selama hampir 60 tahun untuk mengajarkan cara menulis berbagai kode. Misalnya, dengan bantuannya, setiap siswa dapat menulis program untuk menghitung luas segitiga dalam Pascal, serta menjelajahi sifat-sifat rangkaian, tentangyang akan dibahas di bawah ini.
Aktivitas ilmuwan dengan pemikiran luar biasa ini mencakup berbagai bidang ilmu pengetahuan. Secara khusus, Blaise Pascal adalah salah satu pendiri hidrostatika, analisis matematika, beberapa bidang geometri dan teori probabilitas. Juga, dia:
- membuat kalkulator mekanik yang dikenal sebagai roda Pascal;
- memberikan bukti eksperimental bahwa udara memiliki elastisitas dan berat;
- menetapkan bahwa barometer dapat digunakan untuk memprediksi cuaca;
- menemukan gerobak dorong;
- menemukan omnibus - kereta kuda dengan rute tetap, yang kemudian menjadi jenis angkutan umum reguler pertama, dll.
Segitiga Aritmatika Pascal
Seperti yang telah disebutkan, ilmuwan hebat Prancis ini memberikan kontribusi besar bagi ilmu matematika. Salah satu karya ilmiah mutlaknya adalah "Risalah Segitiga Aritmatika", yang terdiri dari koefisien binomial yang disusun dalam urutan tertentu. Sifat-sifat skema ini mencolok dalam keragamannya, dan itu sendiri menegaskan pepatah "Segala sesuatu yang cerdik itu sederhana!".
Sedikit sejarah
Agar adil, harus dikatakan bahwa sebenarnya segitiga Pascal sudah dikenal di Eropa pada awal abad ke-16. Secara khusus, gambarnya dapat dilihat di sampul buku teks aritmatika oleh astronom terkenal Peter Apian dari Universitas Ingolstadt. Segitiga serupa juga ditampilkan sebagai ilustrasi.dalam sebuah buku oleh ahli matematika Cina Yang Hui, yang diterbitkan pada tahun 1303. Penyair dan filsuf Persia yang luar biasa Omar Khayyam juga menyadari sifat-sifatnya pada awal abad ke-12. Selain itu, diyakini bahwa dia bertemu dengannya dari risalah para ilmuwan Arab dan India yang ditulis sebelumnya.
Deskripsi
Sebelum menjelajahi sifat yang paling menarik dari segitiga Pascal, indah dalam kesempurnaan dan kesederhanaannya, ada baiknya mengetahui apa itu.
Secara ilmiah, skema numerik ini adalah tabel segitiga tak berujung yang dibentuk dari koefisien binomial yang disusun dalam urutan tertentu. Di atas dan di samping adalah angka-angka 1. Posisi yang tersisa ditempati oleh angka-angka yang sama dengan jumlah dua angka yang terletak di atasnya bersebelahan. Selain itu, semua garis segitiga Pascal simetris terhadap sumbu vertikalnya.
Fitur Dasar
Segitiga Pascal menyerang dengan sempurna. Untuk sembarang baris bernomor n (n=0, 1, 2…) true:
- angka pertama dan terakhir adalah 1;
- detik dan kedua dari belakang - n;
- bilangan ketiga sama dengan bilangan segitiga (jumlah lingkaran yang dapat disusun dalam segitiga sama sisi, yaitu 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Angka keempat adalah tetrahedral, yaitu piramida dengan segitiga di alasnya.
Selain itu, relatif baru-baru ini, pada tahun 1972, properti lain dari segitiga Pascal didirikan. Agar diauntuk mengetahuinya, Anda perlu menulis elemen skema ini dalam bentuk tabel dengan pergeseran baris sebanyak 2 posisi. Kemudian perhatikan angka-angka yang habis dibagi dengan nomor baris. Ternyata jumlah kolom yang disorot semua angkanya adalah bilangan prima.
Trik yang sama bisa dilakukan dengan cara lain. Untuk melakukan ini, dalam segitiga Pascal, angka-angka diganti dengan sisa pembagiannya dengan nomor baris dalam tabel. Kemudian garis-garis tersebut disusun dalam segitiga yang dihasilkan sehingga yang berikutnya dimulai 2 kolom ke kanan dari elemen pertama dari yang sebelumnya. Maka kolom dengan bilangan prima hanya akan terdiri dari nol, dan kolom dengan bilangan komposit akan berisi setidaknya satu nol.
Hubungan dengan binomial Newton
Seperti yang Anda ketahui, ini adalah nama dari rumus untuk ekspansi ke pangkat bilangan bulat non-negatif dari jumlah dua variabel, yang terlihat seperti:
Koefisien yang ada di dalamnya sama dengan C m =n! / (m! (n - m)!), di mana m adalah bilangan urut pada baris n segitiga Pascal. Dengan kata lain, dengan memiliki tabel ini, Anda dapat dengan mudah menaikkan angka apa pun menjadi pangkat, setelah sebelumnya menguraikannya menjadi dua suku.
Jadi, segitiga Pascal dan binomial Newton berkaitan erat.
Keajaiban Matematika
Pemeriksaan dekat segitiga Pascal mengungkapkan bahwa:
- jumlah semua bilangan yang sebaris dengannomor seri n (dihitung dari 0) adalah 2;
- jika garis diluruskan ke kiri, maka jumlah bilangan yang terletak di sepanjang diagonal segitiga Pascal, dari bawah ke atas dan dari kiri ke kanan, sama dengan bilangan Fibonacci;
- "diagonal" pertama terdiri dari bilangan asli secara berurutan;
- setiap elemen dari segitiga Pascal, dikurangi satu, sama dengan jumlah semua angka yang terletak di dalam jajaran genjang, yang dibatasi oleh diagonal kiri dan kanan yang berpotongan pada angka ini;
- pada setiap garis pada diagram, jumlah bilangan di tempat genap sama dengan jumlah anggota di tempat ganjil.
Segitiga Sierpinski
Skema matematika yang menarik, cukup menjanjikan dalam hal pemecahan masalah yang kompleks, diperoleh dengan mewarnai bilangan genap dari gambar Pascal dalam satu warna, dan bilangan ganjil dengan warna lain.
Segitiga Sierpinski dapat dibangun dengan cara lain:
- dalam skema Pascal yang diarsir, segitiga tengah dicat ulang dengan warna berbeda, yang dibentuk dengan menghubungkan titik tengah sisi segitiga aslinya;
- lakukan hal yang sama dengan tiga yang tidak dicat yang terletak di sudut;
- jika prosedur dilanjutkan tanpa batas, maka hasilnya harus berupa gambar dua warna.
Properti yang paling menarik dari segitiga Sierpinski adalah kesamaan diri, karena terdiri dari 3 salinannya, yang dikurangi 2 kali. Ini memungkinkan kita untuk menghubungkan skema ini dengan kurva fraktal, dan mereka, seperti yang ditunjukkan oleh yang terbarupenelitian paling cocok untuk pemodelan matematis awan, tumbuhan, delta sungai, dan alam semesta itu sendiri.
Beberapa tugas menarik
Di mana segitiga Pascal digunakan? Contoh tugas yang dapat diselesaikan dengan bantuannya cukup beragam dan termasuk dalam berbagai bidang ilmu. Mari kita lihat beberapa yang lebih menarik.
Masalah 1. Beberapa kota besar yang dikelilingi oleh tembok benteng hanya memiliki satu gerbang masuk. Di perempatan pertama, jalan utama terbelah menjadi dua. Hal yang sama terjadi pada yang lain. 210 orang memasuki kota. Di setiap persimpangan yang mereka temui, mereka dibagi dua. Berapa banyak orang yang akan ditemukan di setiap persimpangan ketika tidak mungkin lagi untuk berbagi. Jawabannya adalah garis 10 segitiga Pascal (rumus koefisien disajikan di atas), di mana angka 210 terletak di kedua sisi sumbu vertikal.
Tugas 2. Ada 7 nama warna. Anda perlu membuat buket 3 bunga. Hal ini diperlukan untuk mencari tahu dalam berapa banyak cara yang berbeda ini dapat dilakukan. Masalah ini dari bidang kombinatorik. Untuk menyelesaikannya, kita kembali menggunakan segitiga Pascal dan mendapatkan pada baris ke-7 di posisi ketiga (penomoran dalam kedua kasus dari 0) angka 35.
Sekarang Anda tahu apa yang ditemukan oleh filsuf dan ilmuwan besar Prancis Blaise Pascal. Segitiganya yang terkenal, bila digunakan dengan benar, dapat menjadi penyelamat nyata untuk memecahkan banyak masalah, terutama dari lapangankombinatorik. Selain itu, dapat digunakan untuk memecahkan banyak misteri yang berhubungan dengan fraktal.
