Tulisan segi empat dalam lingkaran. Segi empat ABCD tertulis dalam lingkaran

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Dengan pembagian matematika menjadi aljabar dan geometri, materi pendidikan menjadi lebih sulit. Sosok-sosok baru dan kasus-kasus khusus mereka muncul. Agar dapat memahami materi dengan baik, perlu mempelajari konsep, sifat-sifat benda dan teorema terkait.

Konsep umum

Segiempat berarti bangun geometris. Terdiri dari 4 titik. Apalagi 3 di antaranya tidak terletak pada garis lurus yang sama. Ada segmen yang menghubungkan titik-titik tertentu secara seri.

Semua segi empat yang dipelajari dalam kursus geometri sekolah ditunjukkan dalam diagram berikut. Kesimpulan: setiap objek dari gambar yang disajikan memiliki sifat dari gambar sebelumnya.

Sebuah segi empat dapat berupa jenis berikut:

Jalur Genjang. Paralelisme dari sisi yang berlawanan dibuktikan dengan teorema yang sesuai.
Trapesium. Segi empat dengan alas sejajar. Dua pihak lainnya tidak.
Persegi Panjang. bangun yang memiliki 4 sudut=90º.
Belah Ketupat. Sosok dengan semua sisi sama.
Persegi. Menggabungkan properti dari dua angka terakhir. Semua sisinya sama dan semua sudutnya siku-siku.

Definisi utama dari topik ini adalah segiempat tertulis dalam lingkaran. Ini terdiri sebagai berikut. Ini adalah gambar di mana lingkaran digambarkan. Itu harus melewati semua simpul. Sudut-sudut dalam dari segiempat yang ditulis dalam lingkaran berjumlah 360.

Tidak semua segiempat dapat ditulisi. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa garis-bagi tegak lurus dari 4 sisi mungkin tidak berpotongan di satu titik. Ini akan membuat mustahil untuk menemukan pusat lingkaran yang membatasi 4-gon.

Kasus khusus

Ada pengecualian untuk setiap aturan. Jadi, dalam topik ini juga ada kasus khusus:

Jalur genjang, dengan demikian, tidak dapat ditulisi dalam lingkaran. Hanya kasus khusus. Ini adalah persegi panjang.
Jika semua simpul belah ketupat berada pada garis pembatas, maka itu adalah persegi.
Semua simpul trapesium berada pada batas lingkaran. Dalam hal ini, mereka berbicara tentang sosok sama kaki.

Sifat-sifat segiempat bertulisan dalam lingkaran

Sebelum memecahkan masalah sederhana dan kompleks pada topik tertentu, Anda perlu memverifikasi pengetahuan Anda. Tanpa mempelajari materi pendidikan, tidak mungkin untuk memecahkan satu contoh.

Teorema 1

Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada suatu segiempat pada lingkaran adalah 180º.

sifat-sifat segi empat bertulis dalam lingkaran

Bukti

Diberikan: ABCD segi empat tertulis dalam sebuah lingkaran. Titik pusatnya adalah titik O. Kita perlu membuktikan bahwa _<A + _<C=180º dan _< B + _<D=180º.

Perlu mempertimbangkan angka yang disajikan.

_{<A berada dalam lingkaran yang berpusat di titik O. Diukur melalui BCD (setengah busur).}

_{<C tertulis di lingkaran yang sama. Diukur melalui BAD (setengah busur).}
BAD dan BCD membentuk lingkaran utuh, yaitu besarnya 360º.

_<A + _{<C sama dengan setengah jumlah dari setengah busur yang diwakili.}

Maka _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

sudut segi empat yang ditulis dalam lingkaran

Dengan cara yang sama, pembuktian untuk _<B dan _{<D. Namun, ada solusi kedua untuk masalah tersebut.}

Diketahui bahwa jumlah sudut dalam suatu segiempat adalah 360º.

Karena _<A + _<C=180º. Dengan demikian, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorema 2

(Sering disebut invers) Jika dalam segi empat _<A + _<C=180º dan _{<B +} <_{D=180º (jika berlawanan), maka lingkaran dapat digambarkan di sekitar gambar tersebut.}

Bukti

Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat ABCD sama dengan 180º diberikan. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Kita perlu membuktikan bahwa sebuah lingkaran dapat dibatasi di sekitar ABCD.}

Dari mata kuliah geometri diketahui bahwa sebuah lingkaran dapat digambar melalui 3 titik pada segi empat. Misalnya, Anda dapat menggunakan titik A, B, C. Di mana titik D akan ditempatkan? Ada 3 tebakan:

Dia berakhir di dalam lingkaran. Dalam hal ini, D tidak menyentuh garis.
Di luar lingkaran. Dia melangkah jauh melampaui garis yang digariskan.
Ternyata dalam lingkaran.

Harus diasumsikan bahwa D ada di dalam lingkaran. Tempat simpul yang ditunjukkan ditempati oleh D´. Ternyata segi empat ABCD´.

Hasilnya adalah:_<B + _<D´=2d.

Jika kita melanjutkan AD´ ke perpotongan dengan lingkaran yang ada berpusat di titik E dan menghubungkan E dan C, kita mendapatkan ABCE segi empat tertulis. Dari teorema pertama berikut persamaan:

Menurut hukum geometri, ekspresi tidak valid karena _<D´ adalah sudut terluar segitiga CD´E. Oleh karena itu, seharusnya lebih dari _{<E. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa D pasti ada di dalam atau di luar lingkaran.}

Demikian pula, asumsi ketiga dapat dibuktikan salah ketika D´´ melampaui batas gambar yang dijelaskan.

Dari dua hipotesis mengikuti satu-satunya yang benar. Simpul D terletak pada garis lingkaran. Dengan kata lain, D bertepatan dengan E. Oleh karena itu, semua titik segiempat terletak pada garis yang dijelaskan.

Dari inidua teorema, akibat wajarnya mengikuti:

Setiap persegi panjang dapat ditulisi dalam lingkaran. Ada konsekuensi lain. Sebuah lingkaran dapat dibatasi di sekitar persegi panjang apa pun

Trapezoid dengan pinggul yang sama dapat ditorehkan dalam lingkaran. Dengan kata lain, bunyinya seperti ini: sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekitar trapesium dengan tepi yang sama

Beberapa contoh

Soal 1. ABCD segi empat ditulis dalam sebuah lingkaran. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Perlu menemukan _{<ABD. Jawaban harus ditulis dalam derajat.}

Keputusan. Pada awalnya, mungkin sulit untuk menemukan jawabannya.

1. Anda perlu mengingat properti dari topik ini. Yaitu: jumlah sudut yang berhadapan=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Dalam geometri, lebih baik berpegang pada prinsip: temukan semua yang Anda bisa. Berguna nanti.

2. Langkah selanjutnya: gunakan teorema jumlah segitiga.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70}

_<ABD dan _{<ACD tertulis. Dengan syarat, mereka mengandalkan satu busur. Dengan demikian, mereka memiliki nilai yang sama:}

_<ABD=_<ACD=70º

Jawaban: _<ABD=70º.

Soal 2. BCDE adalah segiempat bertulisan dalam lingkaran. _<B=69º, _<C=84º. Pusat lingkaran adalah titik E. Cari - _<E.

segi empat ABCD tertulis dalam lingkaran

Keputusan.

Perlu menemukan _{<E dengan Teorema 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Jawaban: _{< E=96º.}

Masalah 3. Diberikan sebuah segi empat tertulis dalam lingkaran. Datanya ditunjukkan pada gambar. Penting untuk menemukan nilai yang tidak diketahui x, y, z.

Solusi:

z=180º – 93º=87º (menurut Teorema 1)

x=(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (menurut Teorema 1)

Jawaban: z=87º, x=82º, y=98º.

Masalah 4. Ada segi empat tertulis dalam lingkaran. Nilainya ditunjukkan pada gambar. Cari x, y.

Solusi:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Jawaban: x=100º, y=109º.

Masalah untuk solusi independen

Contoh 1. Diberi lingkaran. Pusatnya adalah titik O. AC dan BD adalah diameter. _<ACB=38º. Perlu menemukan _{<AOD. Jawaban harus diberikan dalam derajat.}

Contoh 2. Diberikan segiempat ABCD dan lingkaran yang mengelilinginya. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Temukan _{<CAD. Tulis jawaban Anda dalam derajat.}

Contoh 3. Diberikan sebuah lingkaran dan segiempat ABCD. Kedua sudutnya adalah 82º dan58º. Anda perlu menemukan sudut terbesar yang tersisa dan menuliskan jawabannya dalam derajat.

Contoh 4. Diketahui segitiga ABCD. Sudut A, B, C diberikan dengan perbandingan 1:2:3. Diperlukan untuk menemukan sudut D jika segi empat yang ditentukan dapat ditulis dalam lingkaran. Jawaban harus diberikan dalam derajat.

Contoh 5. Diberikan segi empat ABCD. Sisi-sisinya membentuk busur lingkaran yang dibatasi. Nilai derajat AB, BC, CD dan AD berturut-turut adalah: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Anda harus menemukan _{<Dari segi empat yang diberikan dan tuliskan jawabannya dalam derajat.}