Planimetri adalah cabang geometri yang mempelajari sifat-sifat bangun datar. Ini tidak hanya mencakup segitiga, bujur sangkar, persegi panjang yang terkenal, tetapi juga garis lurus dan sudut. Dalam planimetri, ada juga konsep seperti sudut dalam lingkaran: pusat dan tertulis. Tapi apa artinya?
Berapa sudut pusatnya?
Untuk memahami apa itu sudut pusat, Anda perlu mendefinisikan sebuah lingkaran. Lingkaran adalah kumpulan semua titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu (pusat lingkaran).
Sangat penting untuk membedakannya dari lingkaran. Harus diingat bahwa lingkaran adalah garis tertutup, dan lingkaran adalah bagian dari bidang yang dibatasi olehnya. Sebuah poligon atau sudut dapat dituliskan dalam sebuah lingkaran.
Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berimpit dengan pusat lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran di dua titik. Busur, yang sudutnya dibatasi oleh titik potong, disebut busur tempat sudut tersebut berada.
Pertimbangkan contoh 1.
Pada gambar, sudut AOB adalah pusat, karena titik sudut dan pusat lingkaran adalah satu titik O. Terletak pada busur AB yang tidak mengandung titik C.
Bagaimana sudut bertulisan berbeda dari sudut pusat?
Namun, selain yang di tengah, ada juga sudut bertulisan. Apa perbedaan mereka? Sama seperti yang di tengah, sudut yang tertulis dalam lingkaran bertumpu pada busur tertentu. Tetapi simpulnya tidak bertepatan dengan pusat lingkaran, tetapi terletak di atasnya.
Mari kita ambil contoh berikut.
Sudut ACB disebut sudut pada lingkaran yang berpusat di titik O. Titik C termasuk dalam lingkaran, yaitu terletak di atasnya. Sudut terletak pada busur AB.
Berapa sudut pusat
Agar berhasil mengatasi masalah geometri, tidak cukup hanya dapat membedakan antara sudut bertulisan dan sudut pusat. Sebagai aturan, untuk menyelesaikannya, Anda perlu tahu persis bagaimana menemukan sudut pusat dalam lingkaran, dan dapat menghitung nilainya dalam derajat.
Jadi, sudut pusat sama dengan besaran derajat busur tempat busur itu berada.
Pada gambar, sudut AOB terletak pada busur AB sebesar 66°. Jadi sudut AOB juga sama dengan 66°.
Jadi, sudut pusat berdasarkan busur yang sama adalah sama.
Pada gambar, busur DC sama dengan busur AB. Jadi sudut AOB sama dengan sudut DOC.
Cara mencari sudut bertulisan
Sepertinya sudut pada lingkaran sama dengan sudut pusat,yang bergantung pada busur yang sama. Namun, ini adalah kesalahan besar. Faktanya, bahkan hanya dengan melihat gambar dan membandingkan sudut-sudut ini satu sama lain, Anda dapat melihat bahwa ukuran derajatnya akan memiliki nilai yang berbeda. Jadi apa sudut yang tertulis dalam lingkaran?
Ukuran derajat dari sebuah sudut bertulisan adalah setengah dari busur tempat ia berada, atau setengah dari sudut pusat jika mereka bergantung pada busur yang sama.
Mari kita perhatikan sebuah contoh. Sudut ACB didasarkan pada busur sebesar 66°.
Jadi sudut DIA=66°: 2=33°
Mari kita pertimbangkan beberapa konsekuensi dari teorema ini.
- Sudut bertulis, jika didasarkan pada busur yang sama, busur atau busur yang sama, adalah sama.
- Jika sudut siku-siku didasarkan pada tali busur yang sama, tetapi simpulnya terletak pada sisi yang berlawanan, jumlah ukuran derajat sudut tersebut adalah 180°, karena dalam kasus ini kedua sudut didasarkan pada busur, ukuran derajat totalnya adalah 360° (seluruh lingkaran), 360°: 2=180°
- Jika sudut siku-siku didasarkan pada diameter lingkaran yang diberikan, ukuran derajatnya adalah 90°, karena diameternya membentuk busur sama dengan 180°, 180°: 2=90°
- Jika sudut pusat dan sudut siku-siku dalam lingkaran didasarkan pada busur atau tali busur yang sama, maka sudut siku-siku sama dengan setengah dari sudut pusat.
Di mana masalah tentang topik ini dapat ditemukan? Jenis dan solusinya
Karena lingkaran dan sifat-sifatnya adalah salah satu bagian geometri yang paling penting, khususnya planimetri, sudut-sudut pusat dan sudut dalam lingkaran adalah topik yang luas dan terperincidipelajari dalam kurikulum sekolah. Tugas yang dikhususkan untuk properti mereka ditemukan di ujian negara bagian utama (OGE) dan ujian negara bagian terpadu (USE). Sebagai aturan, untuk menyelesaikan masalah ini, Anda harus menemukan sudut pada lingkaran dalam derajat.
Sudut berdasarkan busur yang sama
Jenis masalah ini mungkin salah satu yang paling mudah, karena untuk menyelesaikannya Anda hanya perlu mengetahui dua sifat sederhana: jika kedua sudut dituliskan dan bersandar pada tali busur yang sama, mereka sama besar, jika salah satunya adalah pusat, maka sudut tertulis yang sesuai sama dengan setengahnya. Namun, ketika menyelesaikannya, seseorang harus sangat berhati-hati: terkadang sulit untuk memperhatikan properti ini, dan siswa, ketika memecahkan masalah sederhana seperti itu, menemui jalan buntu. Perhatikan sebuah contoh.
Masalah 1
Diberikan sebuah lingkaran yang berpusat di titik O. Sudut AOB adalah 54°. Tentukan besar sudut DIA.
Tugas ini diselesaikan dalam satu langkah. Satu-satunya hal yang Anda perlukan untuk menemukan jawabannya dengan cepat adalah memperhatikan bahwa busur di mana kedua sudut bersandar adalah busur yang sama. Melihat ini, Anda dapat menerapkan properti yang sudah dikenal. Sudut ACB adalah setengah dari sudut AOB. Jadi
1) AOB=54°: 2=27°.
Jawaban: 54°.
Sudut berdasarkan busur yang berbeda dari lingkaran yang sama
Kadang-kadang ukuran busur di mana sudut yang diperlukan bertumpu tidak secara langsung ditentukan dalam kondisi masalah. Untuk menghitungnya, Anda perlu menganalisis besarnya sudut-sudut ini dan membandingkannya dengan sifat-sifat lingkaran yang diketahui.
Masalah 2
Dalam lingkaran yang berpusat di O, sudut AOCadalah 120°, dan sudut AOB adalah 30°. Temukan sudut ANDA.
Untuk memulainya, perlu dikatakan bahwa adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan sifat-sifat segitiga sama kaki, tetapi ini akan membutuhkan lebih banyak operasi matematika. Oleh karena itu, di sini kita akan menganalisis penyelesaiannya menggunakan sifat-sifat pusat dan sudut dalam lingkaran.
Jadi, sudut AOC terletak pada busur AC dan adalah pusat, yang berarti bahwa busur AC sama dengan sudut AOC.
AC=120°
Dengan cara yang sama, sudut AOB terletak pada busur AB.
AB=30°.
Mengetahui ini dan ukuran derajat seluruh lingkaran (360 °), Anda dapat dengan mudah menemukan besar busur SM.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Simpul sudut CAB, titik A, terletak pada lingkaran. Oleh karena itu, sudut CAB ditulis dan sama dengan setengah dari busur CB.
sudut CAB=210°: 2=110°
Jawaban: 110°
Masalah berdasarkan rasio busur
Beberapa soal tidak memuat data tentang sudut sama sekali, sehingga perlu dicari hanya berdasarkan teorema dan sifat lingkaran yang diketahui.
Masalah 1
Temukan sudut pada lingkaran yang ditopang oleh tali busur yang sama dengan jari-jari lingkaran tersebut.
Jika Anda secara mental menggambar garis yang menghubungkan ujung segmen dengan pusat lingkaran, Anda mendapatkan segitiga. Setelah memeriksanya, Anda dapat melihat bahwa garis-garis ini adalah jari-jari lingkaran, yang berarti bahwa semua sisi segitiga adalah sama. Kita tahu bahwa semua sudut segitiga sama sisisama dengan 60°. Jadi, busur AB yang memuat titik sudut segitiga sama dengan 60°. Dari sini kita menemukan busur AB, yang menjadi dasar sudut yang diinginkan.
AB=360° - 60°=300°
Sudut ABC=300°: 2=150°
Jawaban: 150°
Masalah 2
Dalam sebuah lingkaran yang berpusat di titik O, busur-busur tersebut berhubungan sebagai 3:7. Temukan sudut tertulis yang lebih kecil.
Untuk solusinya, kami menyatakan satu bagian sebagai X, maka satu busur sama dengan 3X, dan yang kedua, masing-masing, 7X. Mengetahui bahwa ukuran derajat lingkaran adalah 360°, kita dapat menulis persamaan.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Sesuai dengan kondisinya, Anda perlu mencari sudut yang lebih kecil. Jelas, jika nilai sudut berbanding lurus dengan busur di mana ia berada, maka sudut yang diperlukan (lebih kecil) sesuai dengan busur yang sama dengan 3X.
Jadi sudut terkecilnya adalah (36°3): 2=108°: 2=54°
Jawaban: 54°
Masalah 3
Dalam lingkaran yang berpusat di titik O, sudut AOB adalah 60° dan panjang busur yang lebih kecil adalah 50. Hitung panjang busur yang lebih besar.
Untuk menghitung panjang busur yang lebih besar, Anda perlu membuat proporsi - bagaimana hubungan busur yang lebih kecil dengan yang lebih besar. Untuk melakukan ini, kami menghitung besarnya kedua busur dalam derajat. Busur yang lebih kecil sama dengan sudut yang terletak di atasnya. Ukuran derajatnya adalah 60 °. Busur yang lebih besar sama dengan perbedaan antara ukuran derajat lingkaran (sama dengan 360° terlepas dari data lainnya) dan busur yang lebih kecil.
Busur besarnya adalah 360° - 60°=300°.
Karena 300°: 60°=5, busur yang lebih besar adalah 5 kali busur yang lebih kecil.
Busur besar=505=250
Jawaban: 250
Jadi, tentu saja, ada yang lainpendekatan untuk memecahkan masalah serupa, tetapi semuanya entah bagaimana didasarkan pada sifat-sifat sudut pusat dan tertulis, segitiga dan lingkaran. Agar berhasil menyelesaikannya, Anda perlu mempelajari gambar dengan cermat dan membandingkannya dengan data masalah, serta dapat menerapkan pengetahuan teoretis Anda dalam praktik.
