Sekon, garis singgung - semua ini dapat didengar ratusan kali dalam pelajaran geometri. Tetapi kelulusan dari sekolah telah berlalu, tahun-tahun berlalu, dan semua pengetahuan ini dilupakan. Apa yang harus diingat?
Esensi
Istilah "singgung lingkaran" mungkin sudah tidak asing lagi bagi semua orang. Tetapi tidak mungkin setiap orang dapat dengan cepat merumuskan definisinya. Sementara itu, garis singgung adalah garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dengan lingkaran yang memotongnya hanya di satu titik. Mungkin ada banyak variasi dari mereka, tetapi semuanya memiliki sifat yang sama, yang akan dibahas di bawah ini. Seperti yang Anda duga, titik kontak adalah tempat di mana lingkaran dan garis berpotongan. Dalam setiap kasus, itu adalah satu, tetapi jika ada lebih banyak, maka itu akan menjadi garis potong.
Sejarah penemuan dan studi
Konsep garis singgung muncul di zaman kuno. Konstruksi garis lurus ini, pertama ke lingkaran, dan kemudian ke elips, parabola, dan hiperbola dengan bantuan penggaris dan kompas, dilakukan bahkan pada tahap awal pengembangan geometri. Tentu saja, sejarah tidak menyimpan nama penemunya, tapijelas bahwa bahkan pada waktu itu, orang cukup menyadari sifat-sifat garis singgung lingkaran.
Di zaman modern, minat terhadap fenomena ini berkobar lagi - babak baru mempelajari konsep ini dimulai, dikombinasikan dengan penemuan kurva baru. Jadi, Galileo memperkenalkan konsep cycloid, dan Fermat dan Descartes membangun garis singgungnya. Adapun lingkaran, tampaknya tidak ada rahasia yang tersisa untuk para leluhur di daerah ini.
Properti
Jari-jari yang ditarik ke titik perpotongan akan tegak lurus dengan garis. ini
utama, tetapi bukan satu-satunya properti yang dimiliki garis singgung lingkaran. Fitur penting lainnya sudah mencakup dua garis lurus. Jadi, melalui satu titik yang terletak di luar lingkaran, dua garis singgung dapat ditarik, sedangkan segmen-segmennya akan sama. Ada teorema lain tentang topik ini, tetapi jarang tercakup dalam kerangka kursus sekolah standar, meskipun sangat nyaman untuk memecahkan beberapa masalah. Kedengarannya seperti ini. Dari satu titik yang terletak di luar lingkaran, sebuah garis singgung dan garis potong ditarik ke sana. Segmen AB, AC dan AD terbentuk. A adalah perpotongan garis, B adalah titik persinggungan, C dan D adalah perpotongan. Dalam hal ini, persamaan berikut akan valid: panjang garis singgung lingkaran, kuadrat, akan sama dengan produk segmen AC dan AD.
Dari atas ada konsekuensi penting. Untuk setiap titik lingkaran, Anda dapat membuat garis singgung, tetapi hanya satu. Buktinya cukup sederhana: secara teoritis menjatuhkan tegak lurus dari jari-jari ke atasnya, kita menemukan bahwa yang terbentuksegitiga tidak mungkin ada. Dan ini berarti bahwa garis singgung adalah satu-satunya.
Gedung
Di antara masalah geometri lainnya, biasanya ada kategori khusus, bukan
dicintai oleh siswa dan siswi. Untuk menyelesaikan tugas dari kategori ini, Anda hanya perlu kompas dan penggaris. Ini adalah tugas membangun. Ada juga metode untuk membuat garis singgung.
Jadi, diberikan lingkaran dan titik yang terletak di luar batasnya. Dan perlu untuk menggambar garis singgung melalui mereka. Bagaimana cara melakukannya? Pertama-tama, Anda perlu menggambar segmen antara pusat lingkaran O dan titik tertentu. Kemudian, dengan menggunakan kompas, bagilah menjadi dua. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengatur jari-jari - sedikit lebih dari setengah jarak antara pusat lingkaran asli dan titik yang diberikan. Setelah itu, Anda perlu membangun dua busur yang berpotongan. Selain itu, jari-jari kompas tidak perlu diubah, dan pusat setiap bagian lingkaran akan menjadi titik awal dan O, masing-masing. Persimpangan busur harus terhubung, yang akan membagi segmen menjadi dua. Atur radius pada kompas sama dengan jarak ini. Selanjutnya, dengan pusat di titik persimpangan, gambar lingkaran lain. Baik titik awal dan O akan terletak di atasnya. Dalam hal ini, akan ada dua perpotongan lagi dengan lingkaran yang diberikan dalam soal. Mereka akan menjadi titik sentuh untuk titik yang diberikan pada awalnya.
Menarik
Itu adalah konstruksi garis singgung lingkaran yang menyebabkan lahirnya
kalkulus diferensial. Karya pertama tentang topik ini adalahditerbitkan oleh ahli matematika Jerman terkenal Leibniz. Dia memberikan kemungkinan untuk menemukan maxima, minima dan tangen, terlepas dari nilai pecahan dan irasional. Nah, sekarang ini juga digunakan untuk banyak perhitungan lainnya.
Selain itu, garis singgung lingkaran berkaitan dengan arti geometris dari garis singgung tersebut. Dari situlah namanya berasal. Diterjemahkan dari bahasa Latin, tangens berarti "singgung". Dengan demikian, konsep ini tidak hanya terhubung dengan geometri dan kalkulus diferensial, tetapi juga dengan trigonometri.
Dua lingkaran
Tidak selalu garis singgung hanya mempengaruhi satu bentuk. Jika sejumlah besar garis lurus dapat ditarik ke satu lingkaran, lalu mengapa tidak sebaliknya? Bisa. Tetapi tugas dalam kasus ini sangat rumit, karena garis singgung dua lingkaran mungkin tidak melewati titik mana pun, dan posisi relatif dari semua angka ini bisa sangat
berbeda.
Jenis dan varietas
Ketika datang ke dua lingkaran dan satu atau lebih garis, bahkan jika diketahui bahwa ini adalah garis singgung, tidak segera menjadi jelas bagaimana semua angka ini terletak dalam hubungan satu sama lain. Berdasarkan ini, ada beberapa varietas. Jadi, lingkaran dapat memiliki satu atau dua titik yang sama atau tidak memilikinya sama sekali. Dalam kasus pertama, mereka akan berpotongan, dan yang kedua, mereka akan bersentuhan. Dan di sini ada dua varietas. Jika satu lingkaran, seolah-olah, tertanam di lingkaran kedua, maka sentuhannya disebut internal, jika tidak, maka eksternal. saling mengertilokasi gambar dimungkinkan tidak hanya berdasarkan gambar, tetapi juga memiliki informasi tentang jumlah jari-jarinya dan jarak antara pusatnya. Jika kedua besaran ini sama, maka lingkaran bersentuhan. Jika yang pertama lebih besar, mereka berpotongan, dan jika lebih kecil, maka mereka tidak memiliki titik persekutuan.
Sama dengan garis lurus. Untuk dua lingkaran yang tidak memiliki titik yang sama, Anda dapat
buat empat garis singgung. Dua di antaranya akan berpotongan di antara angka-angka, mereka disebut internal. Beberapa lainnya adalah eksternal.
Jika kita berbicara tentang lingkaran yang memiliki satu titik yang sama, maka tugasnya sangat disederhanakan. Faktanya adalah bahwa untuk setiap pengaturan bersama dalam kasus ini, mereka hanya akan memiliki satu garis singgung. Dan itu akan melewati titik persimpangan mereka. Jadi konstruksi kesulitan tidak akan menyebabkan.
Jika gambar memiliki dua titik perpotongan, maka garis lurus dapat dibuat untuk mereka, bersinggungan dengan lingkaran, baik yang satu dan yang kedua, tetapi hanya yang terluar. Solusi untuk masalah ini mirip dengan apa yang akan dibahas di bawah ini.
Pemecahan masalah
Baik garis singgung internal dan eksternal pada dua lingkaran tidak begitu mudah dibangun, meskipun masalah ini dapat diselesaikan. Faktanya adalah bahwa figur tambahan digunakan untuk ini, jadi pikirkan metode ini sendiri
cukup bermasalah. Jadi, diberikan dua buah lingkaran dengan jari-jari dan pusat berbeda O1 dan O2. Untuk mereka, Anda perlu membangun dua pasang garis singgung.
Pertama-tama, dekat pusat yang lebih besarlingkaran perlu dibangun bantu. Dalam hal ini, perbedaan antara jari-jari dua angka awal harus ditentukan pada kompas. Garis singgung lingkaran bantu dibangun dari pusat lingkaran yang lebih kecil. Setelah itu, dari O1 dan O2, garis-garis tersebut ditarik tegak lurus hingga berpotongan dengan gambar aslinya. Sebagai berikut dari sifat utama garis singgung, titik-titik yang diinginkan pada kedua lingkaran ditemukan. Masalah terpecahkan, setidaknya bagian pertama.
Untuk membangun garis singgung internal, Anda harus menyelesaikan secara praktis
tugas serupa. Sekali lagi, angka tambahan diperlukan, tetapi kali ini jari-jarinya akan sama dengan jumlah yang asli. Garis singgung dibangun dari pusat salah satu lingkaran yang diberikan. Solusi lebih lanjut dapat dipahami dari contoh sebelumnya.
Singgung lingkaran atau bahkan dua atau lebih bukanlah tugas yang sulit. Tentu saja, ahli matematika telah lama berhenti memecahkan masalah seperti itu secara manual dan mempercayakan perhitungannya ke program khusus. Tetapi jangan berpikir bahwa sekarang tidak perlu dapat melakukannya sendiri, karena untuk merumuskan tugas komputer dengan benar, Anda perlu melakukan dan memahami banyak hal. Sayangnya, ada kekhawatiran bahwa setelah transisi terakhir ke bentuk tes kontrol pengetahuan, tugas konstruksi akan menyebabkan semakin banyak kesulitan bagi siswa.
Untuk menemukan garis singgung yang sama untuk lebih banyak lingkaran, tidak selalu mungkin, bahkan jika mereka terletak pada bidang yang sama. Tetapi dalam beberapa kasus Anda dapat menemukan garis lurus seperti itu.
Contoh kehidupan
Sebuah garis singgung yang sama untuk dua lingkaran sering ditemui dalam praktik, meskipun tidak selalu terlihat. Konveyor, sistem blok, sabuk transmisi katrol, ketegangan benang di mesin jahit, dan bahkan hanya rantai sepeda - semua ini adalah contoh dari kehidupan. Jadi jangan berpikir bahwa masalah geometris hanya ada dalam teori: di bidang teknik, fisika, konstruksi, dan banyak bidang lainnya, mereka menemukan aplikasi praktis.
