Pada tahun 1900, salah satu ilmuwan terbesar abad terakhir, David Hilbert, menyusun daftar 23 masalah matematika yang belum terpecahkan. Pekerjaan pada mereka memiliki dampak luar biasa pada pengembangan bidang pengetahuan manusia ini. 100 tahun kemudian, Clay Mathematical Institute menyajikan daftar 7 masalah yang dikenal sebagai Masalah Milenium. Masing-masing ditawari hadiah sebesar $1 juta.
Satu-satunya masalah yang muncul di antara kedua daftar teka-teki yang telah menghantui para ilmuwan selama lebih dari satu abad adalah hipotesis Riemann. Dia masih menunggu keputusannya.
Catatan biografi singkat
Georg Friedrich Bernhard Riemann lahir pada tahun 1826 di Hannover, dalam keluarga besar seorang pendeta miskin, dan hidup hanya 39 tahun. Ia berhasil menerbitkan 10 karya. Namun, sudah selama hidupnya, Riemann dianggap sebagai penerus gurunya Johann Gauss. Pada usia 25, ilmuwan muda itu mempertahankan disertasinya "Dasar-dasar teori fungsi variabel kompleks." Kemudian dia merumuskanhipotesisnya yang terkenal.
Bilangan prima
Matematika muncul ketika manusia belajar berhitung. Pada saat yang sama, ide pertama tentang angka muncul, yang kemudian mereka coba klasifikasikan. Beberapa dari mereka telah diamati memiliki sifat umum. Khususnya, di antara bilangan asli, yaitu yang digunakan untuk menghitung (menomori) atau menentukan jumlah benda, dibedakan kelompok yang hanya dapat dibagi satu dan sendiri. Mereka disebut sederhana. Bukti elegan dari teorema infinity dari himpunan bilangan tersebut diberikan oleh Euclid dalam Elements-nya. Saat ini, pencarian mereka terus berlanjut. Secara khusus, bilangan terbesar yang sudah diketahui adalah 274 207 281 – 1.
rumus Euler
Seiring dengan konsep tak hingga dari himpunan bilangan prima, Euclid juga menentukan teorema kedua pada satu-satunya kemungkinan dekomposisi menjadi faktor prima. Menurutnya, setiap bilangan bulat positif adalah produk dari hanya satu himpunan bilangan prima. Pada tahun 1737, matematikawan besar Jerman Leonhard Euler mengungkapkan teorema tak terhingga pertama Euclid sebagai rumus di bawah ini.
Ini disebut fungsi zeta, di mana s adalah konstanta dan p mengambil semua nilai prima. Pernyataan Euclid tentang keunikan ekspansi langsung mengikutinya.
Fungsi Riemann Zeta
Rumus Euler, pada pemeriksaan lebih dekat, benar-benarmengejutkan karena mendefinisikan hubungan antara bilangan prima dan bilangan bulat. Bagaimanapun, banyak ekspresi yang hanya bergantung pada bilangan prima dikalikan di sisi kirinya, dan jumlah yang terkait dengan semua bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan.
Riemann melangkah lebih jauh dari Euler. Untuk menemukan kunci masalah distribusi angka, ia mengusulkan untuk mendefinisikan formula untuk variabel nyata dan kompleks. Dialah yang kemudian menerima nama fungsi zeta Riemann. Pada tahun 1859, ilmuwan menerbitkan sebuah artikel berjudul "Tentang bilangan prima yang tidak melebihi nilai yang diberikan", di mana ia merangkum semua idenya.
Riemann menyarankan menggunakan deret Euler, yang konvergen untuk s>1 nyata. Jika rumus yang sama digunakan untuk kompleks s, maka deret akan konvergen untuk setiap nilai variabel ini dengan bagian real yang lebih besar dari 1. Riemann menerapkan prosedur kelanjutan analitik, memperluas definisi zeta(s) ke semua bilangan kompleks, tetapi "membuang" unit. Dikecualikan karena pada s=1 fungsi zeta meningkat hingga tak terhingga.
Rasa praktis
Sebuah pertanyaan logis muncul: mengapa fungsi zeta, yang merupakan kunci dalam karya Riemann tentang hipotesis nol, menarik dan penting? Seperti yang Anda ketahui, saat ini tidak ada pola sederhana yang telah diidentifikasi yang akan menggambarkan distribusi bilangan prima di antara bilangan asli. Riemann dapat menemukan bahwa jumlah pi(x) bilangan prima yang tidak melebihi x dinyatakan dalam distribusi nol non-sepele dari fungsi zeta. Selain itu, hipotesis Riemann adalahkondisi yang diperlukan untuk membuktikan perkiraan waktu untuk pengoperasian beberapa algoritma kriptografi.
Hipotesis Riemann
Salah satu rumusan pertama dari masalah matematika ini, yang hingga hari ini belum terbukti, berbunyi seperti ini: fungsi zeta 0 non-sepele adalah bilangan kompleks dengan bagian real sama dengan. Dengan kata lain, mereka terletak pada garis Re s=.
Ada juga hipotesis umum Riemann, yang merupakan pernyataan yang sama, tetapi untuk generalisasi fungsi zeta, yang biasa disebut fungsi Dirichlet L (lihat foto di bawah).
Dalam rumus (n) - beberapa karakter numerik (modulo k).
Pernyataan Riemannian dianggap sebagai apa yang disebut hipotesis nol, karena telah diuji konsistensinya dengan data sampel yang ada.
Seperti yang dikatakan Riemann
Pernyataan ahli matematika Jerman itu awalnya diucapkan dengan agak santai. Faktanya adalah bahwa pada saat itu ilmuwan akan membuktikan teorema tentang distribusi bilangan prima, dan dalam konteks ini, hipotesis ini tidak terlalu penting. Namun, perannya dalam memecahkan banyak masalah lain sangat besar. Itulah sebabnya asumsi Riemann sekarang diakui oleh banyak ilmuwan sebagai yang paling penting dari masalah matematika yang belum terbukti.
Seperti yang telah disebutkan, hipotesis Riemann lengkap tidak diperlukan untuk membuktikan teorema distribusi, dan cukup untuk membenarkan secara logis bahwa bagian nyata dari nol non-sepele dari fungsi zeta ada diantara 0 dan 1. Dari properti ini dapat disimpulkan bahwa jumlah semua 0 dari fungsi zeta yang muncul dalam rumus eksak di atas adalah konstanta berhingga. Untuk nilai x yang besar, mungkin hilang sama sekali. Satu-satunya anggota rumus yang tetap sama bahkan untuk x yang sangat besar adalah x itu sendiri. Istilah kompleks yang tersisa menghilang secara asimtotik dibandingkan dengannya. Jadi jumlah bobotnya cenderung ke x. Keadaan ini dapat dianggap sebagai konfirmasi kebenaran teorema pada distribusi bilangan prima. Dengan demikian, nol dari fungsi zeta Riemann memiliki peran khusus. Ini terdiri dari pembuktian bahwa nilai-nilai tersebut tidak dapat memberikan kontribusi yang signifikan terhadap rumus dekomposisi.
Pengikut Riemann
Kematian tragis akibat tuberkulosis tidak membuat ilmuwan ini mengakhiri programnya secara logis. Namun, Sh-Zh mengambil alih darinya. de la Vallée Poussin dan Jacques Hadamard. Secara independen satu sama lain, mereka menyimpulkan teorema tentang distribusi bilangan prima. Hadamard dan Poussin berhasil membuktikan bahwa semua fungsi zeta 0 non-trivial berada dalam pita kritis.
Berkat karya para ilmuwan ini, arah baru dalam matematika telah muncul - teori analitik angka. Kemudian, beberapa bukti yang lebih primitif dari teorema yang sedang dikerjakan Riemann diperoleh oleh peneliti lain. Secara khusus, Pal Erdős dan Atle Selberg bahkan menemukan rantai logis yang sangat kompleks yang mengkonfirmasinya, yang tidak memerlukan penggunaan analisis yang rumit. Namun, pada titik ini, beberapa hal pentingteorema, termasuk aproksimasi dari banyak fungsi teori bilangan. Dalam hal ini, karya baru Erdős dan Atle Selberg praktis tidak berpengaruh apa-apa.
Salah satu bukti masalah yang paling sederhana dan paling indah ditemukan pada tahun 1980 oleh Donald Newman. Itu didasarkan pada teorema Cauchy yang terkenal.
Apakah hipotesis Riemannian mengancam fondasi kriptografi modern
Enkripsi data muncul seiring dengan munculnya hieroglif, lebih tepatnya, mereka sendiri dapat dianggap sebagai kode pertama. Saat ini, ada seluruh area kriptografi digital, yang sedang mengembangkan algoritma enkripsi.
Bilangan prima dan "semi-prima", yaitu bilangan yang hanya habis dibagi 2 bilangan lain dari kelas yang sama, membentuk basis dari sistem kunci publik yang dikenal sebagai RSA. Ini memiliki aplikasi terluas. Secara khusus, ini digunakan saat membuat tanda tangan elektronik. Berbicara dalam istilah yang dapat diakses oleh boneka, hipotesis Riemann menegaskan keberadaan sistem dalam distribusi bilangan prima. Dengan demikian, kekuatan kunci kriptografi, yang menjadi sandaran keamanan transaksi online di bidang e-commerce, berkurang secara signifikan.
Masalah matematika lain yang belum terselesaikan
Ada baiknya menyelesaikan artikel dengan mencurahkan beberapa kata untuk target milenium lainnya. Ini termasuk:
- Kesetaraan kelas P dan NP. Masalahnya dirumuskan sebagai berikut: jika jawaban positif untuk pertanyaan tertentu diperiksa dalam waktu polinomial, maka benarkah jawaban untuk pertanyaan ini sendiridapat ditemukan dengan cepat?
- Dugaan Hodge. Secara sederhana dapat dirumuskan sebagai berikut: untuk beberapa jenis varietas aljabar proyektif (spasi), siklus Hodge adalah kombinasi objek yang memiliki interpretasi geometris, yaitu siklus aljabar.
- dugaan Poincaré. Ini adalah satu-satunya Tantangan Milenium yang telah terbukti sejauh ini. Menurutnya, objek 3 dimensi apa pun yang memiliki sifat khusus bola 3 dimensi harus berbentuk bola, hingga mengalami deformasi.
- Penegasan teori kuantum Yang - Mills. Diperlukan untuk membuktikan bahwa teori kuantum yang diajukan oleh para ilmuwan ini untuk ruang R 4 ada dan memiliki cacat massa ke-0 untuk sembarang grup pengukur kompak sederhana G.
- Hipotesis Birch-Swinnerton-Dyer. Ini adalah masalah lain yang berkaitan dengan kriptografi. Menyentuh kurva elips.
- Masalah keberadaan dan kelancaran solusi persamaan Navier-Stokes.
Sekarang Anda tahu hipotesis Riemann. Secara sederhana, kami telah merumuskan beberapa Tantangan Milenium lainnya. Bahwa mereka akan terpecahkan atau akan dibuktikan bahwa mereka tidak memiliki solusi adalah masalah waktu. Selain itu, tidak mungkin bahwa ini harus menunggu terlalu lama, karena matematika semakin banyak menggunakan kemampuan komputasi komputer. Namun, tidak semuanya tunduk pada teknologi, dan pertama-tama, intuisi dan kreativitas diperlukan untuk memecahkan masalah ilmiah.
