Masalah tak terpecahkan adalah 7 soal matematika yang paling menarik. Masing-masing diusulkan pada satu waktu oleh para ilmuwan terkenal, sebagai suatu peraturan, dalam bentuk hipotesis. Selama beberapa dekade, matematikawan di seluruh dunia telah memeras otak mereka atas solusi mereka. Mereka yang berhasil akan diberi hadiah satu juta dolar AS yang ditawarkan oleh Clay Institute.
Latar Belakang
Pada tahun 1900, matematikawan besar Jerman David Hilbert menyajikan daftar 23 masalah.
Penelitian yang dilakukan untuk memecahkannya berdampak besar pada ilmu pengetahuan abad ke-20. Saat ini, kebanyakan dari mereka tidak lagi menjadi misteri. Di antara yang belum terselesaikan atau sebagian teratasi adalah:
- masalah konsistensi aksioma aritmatika;
- hukum umum timbal balik pada ruang bidang bilangan apa pun;
- studi matematika aksioma fisis;
- studi bentuk kuadrat untuk numerik aljabar arbitrerpeluang;
- masalah pembenaran ketat geometri komputasi Fyodor Schubert;
- dll.
Belum dijelajahi adalah: masalah perluasan teorema Kronecker yang terkenal ke daerah aljabar rasionalitas dan hipotesis Riemann.
The Clay Institute
Ini adalah nama organisasi nirlaba swasta yang berkantor pusat di Cambridge, Massachusetts. Didirikan pada tahun 1998 oleh matematikawan Harvard A. Jeffey dan pengusaha L. Clay. Tujuan dari Institut ini adalah untuk mempopulerkan dan mengembangkan pengetahuan matematika. Untuk mencapai hal ini, organisasi memberikan penghargaan kepada para ilmuwan dan mensponsori penelitian yang menjanjikan.
Pada awal abad ke-21, Institut Matematika Tanah Liat menawarkan hadiah kepada mereka yang memecahkan apa yang dikenal sebagai masalah paling sulit yang tidak terpecahkan, dengan menyebut daftar mereka sebagai Masalah Hadiah Milenium. Hanya hipotesis Riemann yang dimasukkan dalam Daftar Hilbert.
Tantangan Milenium
Daftar The Clay Institute awalnya termasuk:
- Hipotesis siklus Hodge;
- persamaan teori Yang-Mills kuantum;
- Hipotesis Poincare;
- masalah persamaan kelas P dan NP;
- Hipotesis Riemann;
- Persamaan Navier-Stokes, tentang keberadaan dan kelancaran penyelesaiannya;
- Masalah Birch-Swinnerton-Dyer.
Masalah matematika terbuka ini sangat menarik, karena dapat memiliki banyak implementasi praktis.
Apa yang dibuktikan oleh Grigory Perelman
Pada tahun 1900, filsuf terkenal Henri Poincaré menyarankan bahwa sembarang 3-manifold kompak yang terhubung tanpa batas adalah homeomorfik untuk bola 3-dimensi. Buktinya dalam kasus umum tidak ditemukan selama satu abad. Hanya pada tahun 2002-2003, matematikawan St. Petersburg G. Perelman menerbitkan sejumlah artikel dengan solusi untuk masalah Poincaré. Mereka memiliki efek bom yang meledak. Pada tahun 2010, hipotesis Poincaré dikeluarkan dari daftar "Masalah Tak Terpecahkan" dari Institut Tanah Liat, dan Perelman sendiri ditawari untuk menerima remunerasi yang cukup besar karena dia, yang kemudian ditolak tanpa menjelaskan alasan keputusannya.
Penjelasan yang paling dapat dipahami tentang apa yang berhasil dibuktikan oleh ahli matematika Rusia dapat diberikan dengan membayangkan bahwa cakram karet ditarik ke atas donat (torus), dan kemudian mereka mencoba menarik tepi lingkarannya menjadi satu titik. Jelas ini tidak mungkin. Hal lain, jika Anda melakukan eksperimen ini dengan bola. Dalam hal ini, sebuah bola tiga dimensi, yang dihasilkan dari piringan yang kelilingnya ditarik ke suatu titik oleh kabel hipotetis, akan menjadi tiga dimensi dalam pemahaman orang biasa, tetapi dua dimensi dalam hal matematika.
Poincare menyarankan bahwa bola tiga dimensi adalah satu-satunya "objek" tiga dimensi yang permukaannya dapat dikontrak ke satu titik, dan Perelman berhasil membuktikannya. Jadi, daftar "masalah yang tidak dapat diselesaikan" hari ini terdiri dari 6 masalah.
Teori Yang-Mills
Masalah matematika ini diusulkan oleh penulisnya pada tahun 1954. Rumusan teori secara ilmiah adalah sebagai berikut:untuk setiap kelompok pengukur kompak sederhana, teori spasial kuantum yang diciptakan oleh Yang dan Mills ada, dan pada saat yang sama memiliki cacat massa nol.
Berbicara dalam bahasa yang dapat dimengerti oleh orang biasa, interaksi antara benda-benda alam (partikel, benda, gelombang, dll.) dibagi menjadi 4 jenis: elektromagnetik, gravitasi, lemah dan kuat. Selama bertahun-tahun, fisikawan telah mencoba menciptakan teori medan umum. Ini harus menjadi alat untuk menjelaskan semua interaksi ini. Teori Yang-Mills adalah bahasa matematika yang memungkinkan untuk menggambarkan 3 dari 4 kekuatan utama alam. Itu tidak berlaku untuk gravitasi. Oleh karena itu, tidak dapat dikatakan bahwa Yang dan Mills berhasil menciptakan teori medan.
Selain itu, ketidaklinieran dari persamaan yang diusulkan membuatnya sangat sulit untuk dipecahkan. Untuk konstanta kopling kecil, mereka dapat diselesaikan dalam bentuk serangkaian teori gangguan. Namun, belum jelas bagaimana persamaan ini dapat diselesaikan dengan kopling kuat.
Persamaan Navier-Stokes
Ungkapan ini menggambarkan proses seperti arus udara, aliran fluida, dan turbulensi. Untuk beberapa kasus khusus, solusi analitik dari persamaan Navier-Stokes telah ditemukan, tetapi sejauh ini belum ada yang berhasil melakukan ini untuk kasus umum. Pada saat yang sama, simulasi numerik untuk nilai tertentu dari kecepatan, kepadatan, tekanan, waktu, dan sebagainya dapat mencapai hasil yang sangat baik. Masih diharapkan bahwa seseorang akan dapat menerapkan persamaan Navier-Stokes secara terbalikarah, yaitu menghitung parameter menggunakan mereka, atau membuktikan bahwa tidak ada metode solusi.
Masalah Birch-Swinnerton-Dyer
Kategori "Masalah yang Tidak Terpecahkan" juga mencakup hipotesis yang diajukan oleh para ilmuwan Inggris dari Universitas Cambridge. Bahkan 2300 tahun yang lalu, ilmuwan Yunani kuno Euclid memberikan deskripsi lengkap tentang solusi persamaan x2 + y2=z2.
Jika untuk setiap bilangan prima kita menghitung jumlah titik pada kurva modulo itu, kita mendapatkan himpunan bilangan bulat tak terhingga. Jika Anda secara khusus "menempelkannya" ke dalam 1 fungsi dari variabel kompleks, maka Anda mendapatkan fungsi zeta Hasse-Weil untuk kurva orde ketiga, dilambangkan dengan huruf L. Ini berisi informasi tentang modulo perilaku semua bilangan prima sekaligus.
Brian Birch dan Peter Swinnerton-Dyer menduga tentang kurva eliptik. Menurutnya, struktur dan jumlah himpunan solusi rasionalnya terkait dengan perilaku fungsi-L pada identitas. Dugaan Birch-Swinnerton-Dyer yang saat ini belum terbukti bergantung pada deskripsi persamaan aljabar derajat ke-3 dan merupakan satu-satunya cara umum yang relatif sederhana untuk menghitung pangkat kurva eliptik.
Untuk memahami pentingnya tugas ini secara praktis, cukup dikatakan bahwa dalam kriptografi modern seluruh kelas sistem asimetris didasarkan pada kurva eliptik, dan standar tanda tangan digital domestik didasarkan pada penerapannya.
Kesetaraan kelas p dan np
Jika Tantangan Milenium lainnya murni matematika, maka tantangan ini memilikikaitannya dengan teori algoritma yang sebenarnya. Masalah kesetaraan kelas p dan np, juga dikenal sebagai masalah Cooke-Levin, dapat dirumuskan dalam bahasa yang dapat dipahami sebagai berikut. Misalkan jawaban positif untuk pertanyaan tertentu dapat diperiksa cukup cepat, yaitu, dalam waktu polinomial (PT). Lalu apakah pernyataan tersebut benar sehingga jawabannya dapat ditemukan dengan cukup cepat? Bahkan lebih sederhana masalah ini terdengar seperti ini: apakah benar-benar tidak lebih sulit untuk memeriksa solusi masalah daripada menemukannya? Jika persamaan kelas p dan np terbukti, maka semua masalah seleksi dapat diselesaikan untuk PV. Saat ini, banyak ahli meragukan kebenaran pernyataan ini, meskipun mereka tidak dapat membuktikan sebaliknya.
Hipotesis Riemann
Sampai tahun 1859, tidak ditemukan pola yang menjelaskan bagaimana bilangan prima didistribusikan di antara bilangan asli. Mungkin ini karena fakta bahwa sains berurusan dengan masalah lain. Namun, pada pertengahan abad ke-19, situasinya telah berubah, dan matematika menjadi salah satu matematika paling relevan yang mulai dihadapi.
Hipotesis Riemann, yang muncul selama periode ini, adalah asumsi bahwa ada pola tertentu dalam distribusi bilangan prima.
Saat ini, banyak ilmuwan modern percaya bahwa jika terbukti, maka perlu merevisi banyak prinsip dasar kriptografi modern, yang menjadi dasar bagian penting dari mekanisme perdagangan elektronik.
Menurut hipotesis Riemann, karakterdistribusi bilangan prima mungkin berbeda secara signifikan dari apa yang diasumsikan saat ini. Faktanya adalah bahwa sejauh ini tidak ada sistem yang ditemukan dalam distribusi bilangan prima. Misalnya, ada masalah "kembar", selisihnya adalah 2. Bilangan-bilangan ini adalah 11 dan 13, 29. Bilangan prima lainnya membentuk gugus. Ini adalah 101, 103, 107, dll. Para ilmuwan telah lama menduga bahwa gugus seperti itu ada di antara bilangan prima yang sangat besar. Jika ditemukan, maka kekuatan kunci kripto modern akan dipertanyakan.
Hipotesis siklus Hodge
Masalah yang masih belum terpecahkan ini dirumuskan pada tahun 1941. Hipotesis Hodge menunjukkan kemungkinan mendekati bentuk objek apapun dengan "menempelkan" benda-benda sederhana dari dimensi yang lebih tinggi. Cara ini sudah lama dikenal dan berhasil digunakan. Namun, tidak diketahui sejauh mana penyederhanaan dapat dilakukan.
Sekarang Anda tahu masalah apa yang tidak terpecahkan yang ada saat ini. Mereka adalah subjek penelitian oleh ribuan ilmuwan di seluruh dunia. Masih diharapkan bahwa mereka akan diselesaikan dalam waktu dekat, dan penerapan praktisnya akan membantu umat manusia memasuki babak baru perkembangan teknologi.
