Untuk menemukan fungsi distribusi variabel acak dan variabelnya, perlu mempelajari semua fitur bidang pengetahuan ini. Ada beberapa metode berbeda untuk menemukan nilai yang dimaksud, termasuk mengubah variabel dan menghasilkan momen. Distribusi adalah konsep yang didasarkan pada elemen-elemen seperti dispersi, variasi. Namun, mereka hanya mencirikan derajat amplitudo hamburan.
Fungsi yang lebih penting dari variabel acak adalah yang terkait dan independen, dan didistribusikan secara merata. Misalnya, jika X1 adalah bobot individu yang dipilih secara acak dari populasi laki-laki, X2 adalah bobot yang lain, …, dan Xn adalah bobot satu orang lagi dari populasi laki-laki, maka kita perlu mengetahui bagaimana fungsi acak X terdistribusi. Dalam hal ini berlaku teorema klasik yang disebut teorema limit pusat. Hal ini memungkinkan Anda untuk menunjukkan bahwa untuk n besar fungsi mengikuti distribusi standar.
Fungsi satu variabel acak
Teorema Limit Pusat adalah untuk memperkirakan nilai-nilai diskrit dalam pertimbangan seperti binomial dan Poisson. Fungsi distribusi variabel acak dipertimbangkan, pertama-tama, pada nilai sederhana dari satu variabel. Misalnya, jika X adalah variabel acak kontinu yang memiliki distribusi probabilitasnya sendiri. Dalam hal ini, kami mengeksplorasi bagaimana mencari fungsi kepadatan Y menggunakan dua pendekatan yang berbeda, yaitu metode fungsi distribusi dan perubahan variabel. Pertama, hanya nilai satu-ke-satu yang dipertimbangkan. Kemudian Anda perlu memodifikasi teknik mengubah variabel untuk menemukan probabilitasnya. Terakhir, kita perlu mempelajari bagaimana fungsi distribusi kumulatif terbalik dapat membantu memodelkan bilangan acak yang mengikuti pola sekuensial tertentu.
Metode distribusi nilai yang dipertimbangkan
Metode fungsi distribusi probabilitas dari variabel acak dapat diterapkan untuk menemukan kerapatannya. Saat menggunakan metode ini, nilai kumulatif dihitung. Kemudian, dengan membedakannya, Anda bisa mendapatkan kepadatan probabilitas. Sekarang kita memiliki metode fungsi distribusi, kita dapat melihat beberapa contoh lagi. Misalkan X adalah variabel acak kontinu dengan kerapatan probabilitas tertentu.
Berapa fungsi kerapatan peluang dari x2? Jika Anda melihat atau membuat grafik fungsi (atas dan kanan) y \u003d x2, Anda dapat mencatat bahwa itu adalah peningkatan X dan 0 <y<1. Sekarang Anda perlu menggunakan metode yang dipertimbangkan untuk menemukan Y. Pertama, fungsi distribusi kumulatif ditemukan, Anda hanya perlu membedakan untuk mendapatkan kepadatan probabilitas. Melakukannya, kita mendapatkan: 0<y<1. Metode distribusi telah berhasil diterapkan untuk menemukan Y ketika Y adalah fungsi naik dari X. Omong-omong, f(y) terintegrasi ke dalam 1 atas y.
Dalam contoh terakhir, perhatian besar digunakan untuk mengindeks fungsi kumulatif dan kepadatan probabilitas dengan X atau Y untuk menunjukkan variabel acak mana yang mereka miliki. Misalnya, ketika mencari fungsi distribusi kumulatif dari Y, kita mendapatkan X. Jika Anda perlu mencari variabel acak X dan kerapatannya, Anda hanya perlu membedakannya.
Teknik Perubahan Variabel
Biarkan X menjadi variabel acak kontinu yang diberikan oleh fungsi distribusi dengan penyebut yang sama f (x). Dalam hal ini, jika Anda memasukkan nilai y ke dalam X=v (Y), maka Anda mendapatkan nilai x, misalnya v (y). Sekarang, kita perlu mendapatkan fungsi distribusi dari variabel acak kontinu Y. Dimana persamaan pertama dan kedua terjadi dari definisi kumulatif Y. Persamaan ketiga berlaku karena bagian dari fungsi yang u (X) y adalah juga benar bahwa X v (Y). Dan yang terakhir dilakukan untuk menentukan probabilitas dalam variabel acak kontinu X. Sekarang kita perlu mengambil turunan dari FY (y), fungsi distribusi kumulatif dari Y, untuk mendapatkan kerapatan probabilitas Y.
Generalisasi untuk fungsi penurunan
Biarkan X menjadi variabel acak kontinu dengan f (x) yang sama didefinisikan di atas c1<x<c2. Dan misalkan Y=u (X) merupakan fungsi turun dari X dengan invers X=v (Y). Karena fungsi kontinu dan menurun, terdapat invers fungsi X=v (Y).
Untuk mengatasi masalah ini, Anda dapat mengumpulkan data kuantitatif dan menggunakan fungsi distribusi kumulatif empiris. Dengan informasi ini dan menariknya, Anda perlu menggabungkan sampel rata-rata, simpangan baku, data media, dan sebagainya.
Demikian pula, bahkan model probabilistik yang cukup sederhana dapat memiliki banyak hasil. Misalnya, jika Anda melempar koin 332 kali. Kemudian jumlah hasil yang diperoleh dari membalik lebih besar daripada google (10100) - angka, tetapi tidak kurang dari 100 triliun kali lebih tinggi dari partikel elementer di alam semesta yang dikenal. Tidak tertarik pada analisis yang memberikan jawaban untuk setiap kemungkinan hasil. Konsep yang lebih sederhana akan dibutuhkan, seperti jumlah kepala, atau guratan ekor terpanjang. Untuk fokus pada isu-isu yang menarik, hasil tertentu diterima. Definisi dalam kasus ini adalah sebagai berikut: variabel acak adalah fungsi nyata dengan ruang probabilitas.
Rentang S dari variabel acak kadang-kadang disebut ruang keadaan. Jadi, jika X adalah nilai yang dimaksud, maka N=X2, exp X, X2 + 1, tan2 X, bXc, dan seterusnya. Yang terakhir, membulatkan X ke bilangan bulat terdekat, disebut fungsi lantai.
Fungsi distribusi
Setelah fungsi distribusi yang diinginkan untuk variabel acak x ditentukan, pertanyaannya biasanya menjadi: "Berapa peluang X jatuh ke dalam beberapa subset dari nilai B?". Misalnya, B={angka ganjil}, B={lebih besar dari 1}, atau B={antara 2 dan 7} untuk menunjukkan hasil yang memiliki X, nilaivariabel acak, di subset A. Jadi, dalam contoh di atas, Anda dapat menggambarkan kejadian sebagai berikut.
{X adalah bilangan ganjil}, {X lebih besar dari 1}={X> 1}, {X antara 2 dan 7}={2 <X <7} untuk mencocokkan tiga opsi di atas untuk subset B. Banyak sifat besaran acak tidak berhubungan dengan X tertentu. Sebaliknya, sifat-sifat itu bergantung pada bagaimana X mengalokasikan nilainya. Ini mengarah pada definisi yang berbunyi seperti ini: fungsi distribusi dari variabel acak x bersifat kumulatif dan ditentukan oleh pengamatan kuantitatif.
Variabel acak dan fungsi distribusi
Dengan demikian, Anda dapat menghitung probabilitas bahwa fungsi distribusi dari variabel acak x akan mengambil nilai dalam interval dengan pengurangan. Pikirkan tentang menyertakan atau mengecualikan titik akhir.
Kami akan memanggil variabel acak diskrit jika memiliki ruang keadaan berhingga atau tak hingga terhitung. Jadi, X adalah jumlah kepala pada tiga pelemparan bebas dari sebuah koin bias yang naik dengan probabilitas p. Kita perlu menemukan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak diskrit FX untuk X. Biarkan X menjadi jumlah puncak dalam kumpulan tiga kartu. Kemudian Y=X3 melalui FX. FX dimulai pada 0, berakhir pada 1, dan tidak berkurang saat nilai x meningkat. Fungsi distribusi FX kumulatif dari variabel acak diskrit X adalah konstan, kecuali untuk lompatan. Saat melompat, FX terus menerus. Buktikan pernyataan tentang yang benarkontinuitas fungsi distribusi dari properti probabilitas dimungkinkan menggunakan definisi. Kedengarannya seperti ini: variabel acak konstan memiliki FX kumulatif yang dapat dibedakan.
Untuk menunjukkan bagaimana ini bisa terjadi, kita dapat memberikan contoh: target dengan radius satuan. Agaknya. panah didistribusikan secara merata di atas area yang ditentukan. Untuk beberapa > 0. Dengan demikian, fungsi distribusi variabel acak kontinu meningkat dengan lancar. FX memiliki sifat fungsi distribusi.
Seorang pria menunggu di h alte bus sampai bus tiba. Setelah memutuskan sendiri bahwa dia akan menolak ketika menunggu mencapai 20 menit. Di sini perlu dicari fungsi distribusi kumulatif untuk T. Waktu ketika seseorang masih berada di terminal bus atau tidak akan berangkat. Terlepas dari kenyataan bahwa fungsi distribusi kumulatif didefinisikan untuk setiap variabel acak. Meskipun demikian, karakteristik lain akan sering digunakan: massa untuk variabel diskrit dan fungsi densitas distribusi dari variabel acak. Biasanya nilai dikeluarkan melalui salah satu dari dua nilai ini.
Fungsi massa
Nilai-nilai ini dipertimbangkan oleh properti berikut, yang memiliki karakter umum (massa). Yang pertama didasarkan pada fakta bahwa probabilitasnya tidak negatif. Yang kedua mengikuti dari pengamatan bahwa himpunan untuk semua x=2S, ruang keadaan untuk X, membentuk partisi dari kebebasan probabilistik X. Contoh: melempar koin bias yang hasilnya independen. Anda bisa terus melakukannyatindakan tertentu sampai Anda mendapatkan gulungan kepala. Biarkan X menunjukkan variabel acak yang memberikan jumlah ekor di depan kepala pertama. Dan p menunjukkan probabilitas dalam setiap tindakan yang diberikan.
Jadi, fungsi probabilitas massa memiliki fitur karakteristik berikut. Karena suku-suku tersebut membentuk barisan numerik, X disebut variabel acak geometrik. Skema geometris c, cr, cr2,.,,, crn memiliki jumlah. Dan, oleh karena itu, sn memiliki limit sebagai n 1. Dalam hal ini, jumlah tak hingga adalah limitnya.
Fungsi massa di atas membentuk barisan geometri dengan rasio. Jadi, bilangan asli a dan b. Selisih nilai pada fungsi distribusi sama dengan nilai fungsi massa.
Nilai kerapatan yang dipertimbangkan memiliki definisi: X adalah variabel acak yang distribusi FXnya memiliki turunan. FX memenuhi Z xFX (x)=fX (t) dt-1 disebut fungsi densitas probabilitas. Dan X disebut variabel acak kontinu. Dalam teorema dasar kalkulus, fungsi kerapatan adalah turunan dari distribusi. Anda dapat menghitung probabilitas dengan menghitung integral tertentu.
Karena data dikumpulkan dari beberapa pengamatan, lebih dari satu variabel acak pada satu waktu harus dipertimbangkan untuk memodelkan prosedur eksperimental. Oleh karena itu, himpunan nilai-nilai ini dan distribusi gabungannya untuk dua variabel X1 dan X2 berarti melihat peristiwa. Untuk variabel acak diskrit, fungsi massa probabilistik gabungan didefinisikan. Untuk yang kontinu, fX1, X2 dipertimbangkan, di manakepadatan probabilitas gabungan terpenuhi.
Variabel acak independen
Dua variabel acak X1 dan X2 adalah independen jika ada dua kejadian yang terkait dengannya adalah sama. Dengan kata lain, peluang dua kejadian {X1 2 B1} dan {X2 2 B2} terjadi pada saat yang sama, y, sama dengan produk dari variabel-variabel di atas, yang masing-masing terjadi secara individual. Untuk variabel acak diskrit independen, ada fungsi massa probabilistik gabungan, yang merupakan produk dari volume ion pembatas. Untuk variabel acak kontinu yang independen, fungsi kepadatan probabilitas gabungan adalah produk dari nilai kepadatan marjinal. Akhirnya, kami menganggap n pengamatan independen x1, x2,.,,, xn yang timbul dari massa jenis atau fungsi massa yang tidak diketahui f. Misalnya, parameter yang tidak diketahui dalam fungsi untuk variabel acak eksponensial yang menjelaskan waktu tunggu bus.
Imitasi variabel acak
Tujuan utama dari bidang teoretis ini adalah untuk menyediakan alat yang diperlukan untuk mengembangkan prosedur inferensi berdasarkan prinsip-prinsip ilmu statistik yang baik. Jadi, satu kasus penggunaan yang sangat penting untuk perangkat lunak adalah kemampuan untuk menghasilkan data semu untuk meniru informasi yang sebenarnya. Hal ini memungkinkan untuk menguji dan meningkatkan metode analisis sebelum harus menggunakannya dalam database nyata. Ini diperlukan untuk mengeksplorasi properti data melaluipemodelan. Untuk banyak keluarga variabel acak yang umum digunakan, R menyediakan perintah untuk menghasilkannya. Untuk keadaan lain, metode untuk memodelkan urutan variabel acak independen yang memiliki distribusi umum akan diperlukan.
Variabel acak diskrit dan pola Perintah. Perintah sampel digunakan untuk membuat sampel acak sederhana dan bertingkat. Akibatnya, jika urutan x dimasukkan, sampel (x, 40) memilih 40 record dari x sedemikian rupa sehingga semua pilihan ukuran 40 memiliki probabilitas yang sama. Ini menggunakan perintah R default untuk mengambil tanpa penggantian. Dapat juga digunakan untuk memodelkan variabel acak diskrit. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyediakan ruang keadaan dalam vektor x dan fungsi massa f. Panggilan untuk mengganti=TRUE menunjukkan bahwa pengambilan sampel terjadi dengan penggantian. Kemudian, untuk memberikan sampel n variabel acak independen yang memiliki fungsi massa yang sama f, digunakan sampel (x, n, replace=TRUE, prob=f).
Ditentukan bahwa 1 adalah nilai terkecil yang diwakili dan 4 adalah yang terbesar dari semuanya. Jika perintah prob=f dihilangkan, maka sampel akan mengambil sampel secara seragam dari nilai-nilai dalam vektor x. Anda dapat memeriksa simulasi terhadap fungsi massa yang menghasilkan data dengan melihat tanda sama dengan ganda,==. Dan menghitung ulang pengamatan yang mengambil setiap nilai yang mungkin untuk x. Anda bisa membuat tabel. Ulangi ini untuk 1000 dan bandingkan simulasi dengan fungsi massa yang sesuai.
Ilustrasi transformasi probabilitas
Pertamamensimulasikan fungsi distribusi homogen dari variabel acak u1, u2,.,,, un pada interval [0, 1]. Sekitar 10% dari angka harus berada dalam [0, 3, 0, 4]. Ini sesuai dengan 10% simulasi pada interval [0, 28, 0, 38] untuk variabel acak dengan fungsi distribusi FX yang ditampilkan. Demikian pula, sekitar 10% dari angka acak harus berada dalam interval [0, 7, 0, 8]. Ini sesuai dengan simulasi 10% pada interval [0, 96, 1, 51] dari variabel acak dengan fungsi distribusi FX. Nilai-nilai pada sumbu x ini dapat diperoleh dengan mengambil kebalikan dari FX. Jika X adalah variabel acak kontinu dengan kerapatan fX positif di mana-mana dalam domainnya, maka fungsi distribusi meningkat secara ketat. Dalam hal ini, FX memiliki fungsi invers FX-1 yang dikenal sebagai fungsi kuantil. FX (x) u hanya jika x FX-1 (u). Transformasi probabilitas mengikuti dari analisis variabel acak U=FX (X).
FX memiliki range 0 hingga 1. Tidak boleh di bawah 0 atau di atas 1. Untuk nilai u antara 0 dan 1. Jika U dapat disimulasikan, maka variabel acak dengan distribusi FX perlu disimulasikan melalui fungsi kuantil. Ambil turunannya untuk melihat bahwa kerapatan u bervariasi dalam 1. Karena variabel acak U memiliki kerapatan konstan selama interval nilai-nilai yang mungkin, variabel ini disebut seragam pada interval [0, 1]. Itu dimodelkan dalam R dengan perintah runif. Identitas tersebut disebut transformasi probabilistik. Anda dapat melihat cara kerjanya dalam contoh papan dart. X antara 0 dan 1, fungsidistribusi u=FX (x)=x2, dan karenanya fungsi kuantil x=FX-1 (u). Dimungkinkan untuk memodelkan pengamatan independen dari jarak dari pusat panel panah, dan dengan demikian membuat variabel acak seragam U1, U2,.,, Un. Fungsi distribusi dan fungsi empiris didasarkan pada 100 simulasi distribusi papan dart. Untuk variabel acak eksponensial, mungkin u=FX (x)=1 - exp (- x), dan karenanya x=- 1 ln (1 - u). Terkadang logika terdiri dari pernyataan yang setara. Dalam hal ini, Anda perlu menggabungkan dua bagian argumen. Identitas persimpangan serupa untuk semua 2 {S i i} S, bukan beberapa nilai. Persatuan Ci sama dengan ruang keadaan S dan setiap pasangan saling lepas. Sejak Bi - dibagi menjadi tiga aksioma. Setiap pemeriksaan didasarkan pada probabilitas yang sesuai P. Untuk setiap subset. Menggunakan identitas untuk memastikan jawabannya tidak tergantung pada apakah titik akhir interval disertakan.
Fungsi eksponensial dan variabelnya
Untuk setiap hasil di semua kejadian, properti kedua dari kontinuitas probabilitas akhirnya digunakan, yang dianggap aksiomatik. Hukum distribusi fungsi variabel acak di sini menunjukkan bahwa masing-masing memiliki solusi dan jawabannya sendiri.
