Mustahil untuk mengklaim bahwa Anda tahu matematika jika Anda tidak tahu cara memplot grafik, menggambar pertidaksamaan pada garis koordinat, dan bekerja dengan sumbu koordinat. Komponen visual dalam sains sangat penting, karena tanpa contoh visual dalam rumus dan perhitungan, terkadang Anda bisa menjadi sangat bingung. Pada artikel ini, kita akan melihat cara bekerja dengan sumbu koordinat dan mempelajari cara membuat grafik fungsi sederhana.
Aplikasi
Garis koordinat adalah dasar dari jenis grafik paling sederhana yang ditemui siswa di jalur pendidikannya. Ini digunakan di hampir setiap topik matematika: saat menghitung kecepatan dan waktu, memproyeksikan ukuran objek dan menghitung luasnya, dalam trigonometri saat bekerja dengan sinus dan kosinus.
Nilai utama dari jalur langsung seperti itu adalah visibilitas. Karena matematika adalah ilmu yang membutuhkan tingkat pemikiran abstrak yang tinggi, grafik membantu dalam merepresentasikan suatu objek di dunia nyata. Bagaimana dia berperilaku? Pada titik mana di ruang angkasa akanbeberapa detik, menit, jam? Apa yang bisa dikatakan tentang itu dibandingkan dengan objek lain? Berapa kecepatannya pada waktu yang dipilih secara acak? Bagaimana cara mengkarakterisasi gerakannya?
Dan kita berbicara tentang kecepatan karena suatu alasan - ini sering ditampilkan oleh grafik fungsi. Dan mereka juga dapat menampilkan perubahan suhu atau tekanan di dalam objek, ukurannya, orientasinya relatif terhadap cakrawala. Jadi, membangun garis koordinat juga sering diperlukan dalam fisika.
Grafik satu dimensi
Ada konsep multidimensi. Dalam ruang satu dimensi, satu angka saja sudah cukup untuk menentukan lokasi suatu titik. Hal ini persis terjadi dengan penggunaan garis koordinat. Jika ruangnya dua dimensi, maka diperlukan dua bilangan. Bagan jenis ini lebih sering digunakan, dan kami pasti akan mempertimbangkannya nanti di artikel.
Apa yang dapat dilihat dengan bantuan titik pada sumbu, jika hanya ada satu sumbu? Anda dapat melihat ukuran objek, posisinya dalam ruang relatif terhadap beberapa "nol", yaitu titik yang dipilih sebagai titik referensi.
Perubahan parameter dari waktu ke waktu tidak akan terlihat, karena semua pembacaan akan ditampilkan untuk satu momen tertentu. Namun, Anda harus mulai dari suatu tempat! Jadi mari kita mulai.
Cara membangun sumbu koordinat
Pertama, Anda perlu menggambar garis horizontal - ini akan menjadi sumbu kita. Di sisi kanan, "pertajam" sehingga terlihat seperti panah. Dengan demikian, kami akan menunjukkan arah di mana angka-angka itu akan beradameningkat. Dalam arah ke bawah, panah biasanya tidak ditempatkan. Biasanya, sumbu menunjuk ke kanan, jadi kita ikuti saja aturan ini.
Mari kita menetapkan tanda nol, yang akan menampilkan asal koordinat. Ini adalah tempat dari mana hitungan mundur diambil, apakah itu ukuran, berat, kecepatan, atau apa pun. Selain nol, kita tentu harus menetapkan apa yang disebut harga pembagian, yaitu, memperkenalkan standar satuan, yang dengannya kita akan memplot jumlah tertentu pada sumbu. Ini harus dilakukan agar dapat menemukan panjang segmen pada garis koordinat.
Dengan jarak yang sama satu sama lain, letakkan titik atau "takik" pada garis, dan di bawahnya tulis masing-masing 1, 2, 3, dan seterusnya. Dan sekarang, semuanya sudah siap. Tetapi dengan jadwal yang dihasilkan, Anda masih perlu belajar cara bekerja.
Jenis titik pada garis koordinat
Dari pandangan pertama pada gambar yang diusulkan dalam buku teks, menjadi jelas: titik-titik pada sumbu dapat diisi atau tidak diisi. Apakah Anda pikir itu kebetulan? Tidak semuanya! Titik "padat" digunakan untuk pertidaksamaan yang tidak ketat - titik yang dibaca sebagai "lebih besar dari atau sama dengan". Jika kita perlu membatasi interval secara ketat (misalnya, "x" dapat mengambil nilai dari nol hingga satu, tetapi tidak memasukkannya), kita akan menggunakan titik "berongga", yaitu, pada kenyataannya, lingkaran kecil pada sumbu. Perlu dicatat bahwa siswa tidak terlalu menyukai ketidaksetaraan yang ketat, karena lebih sulit untuk dikerjakan.
Tergantung pada poin mana Andadigunakan pada grafik, interval yang dibangun juga akan dipanggil. Jika pertidaksamaan di kedua sisi tidak ketat, maka kita mendapatkan segmen. Jika di satu sisi ternyata "terbuka", maka itu akan disebut setengah interval. Akhirnya, jika suatu bagian dari suatu garis dibatasi pada kedua sisinya oleh titik-titik berongga, maka itu akan disebut interval.
Pesawat
Saat membangun dua garis lurus pada bidang koordinat, kita sudah dapat mempertimbangkan grafik fungsi. Katakanlah garis horizontal adalah sumbu waktu, dan garis vertikal adalah jarak. Dan sekarang kita dapat menentukan berapa jarak yang akan ditempuh benda dalam satu menit atau satu jam perjalanan. Jadi, bekerja dengan pesawat memungkinkan untuk memantau perubahan keadaan suatu objek. Ini jauh lebih menarik daripada menjelajahi keadaan statis.
Grafik paling sederhana pada bidang tersebut adalah garis lurus, mencerminkan fungsi Y(X)=aX + b. Apakah garisnya bengkok? Ini berarti bahwa objek berubah karakteristiknya selama penelitian.
Bayangkan Anda sedang berdiri di atap sebuah bangunan sambil memegang batu di tangan Anda yang terulur. Saat Anda melepaskannya, ia akan terbang ke bawah, memulai gerakannya dari kecepatan nol. Tapi dalam sedetik dia akan mengatasi 36 kilometer per jam. Batu akan terus berakselerasi lebih jauh, dan untuk menggambar pergerakannya pada grafik, Anda perlu mengukur kecepatannya di beberapa titik waktu dengan menetapkan titik pada sumbu di tempat yang sesuai.
Tanda pada garis koordinat horizontal secara default diberi nama X1, X2, X3, dan pada vertikal - Y1, Y2, Y3, masing-masing. memproyeksikanmereka ke pesawat dan menemukan persimpangan, kami menemukan fragmen dari pola yang dihasilkan. Menghubungkan mereka dengan satu garis, kami mendapatkan grafik fungsi. Dalam kasus batu jatuh, fungsi kuadrat akan terlihat seperti: Y(X)=aXX + bX + c.
Skala
Tentu saja, tidak perlu meletakkan nilai bilangan bulat di sebelah pembagian dengan garis lurus. Jika Anda mempertimbangkan pergerakan siput yang merangkak dengan kecepatan 0,03 meter per menit, tetapkan sebagai nilai pada fraksi koordinat. Dalam hal ini, atur interval skala ke 0,01 meter.
Sangat mudah untuk melakukan gambar seperti itu di buku catatan di dalam sangkar - di sini Anda dapat segera melihat apakah ada cukup ruang pada lembar untuk bagan Anda, jika Anda melampaui margin. Tidak sulit untuk menghitung kekuatan Anda, karena lebar sel di notebook semacam itu adalah 0,5 sentimeter. Butuh - mengurangi gambar. Perubahan skala grafik tidak akan menyebabkannya kehilangan atau mengubah propertinya.
Koordinat titik dan segmen
Bila suatu soal matematika diberikan dalam suatu pelajaran, dapat memuat parameter berbagai bentuk geometri, baik berupa panjang sisi, keliling, luas, maupun dalam bentuk koordinat. Dalam hal ini, Anda mungkin perlu membuat bentuk dan mendapatkan beberapa data yang terkait dengannya. Timbul pertanyaan: bagaimana menemukan informasi yang diperlukan pada garis koordinat? Dan bagaimana membangun sebuah bentuk?
Misalnya, kita berbicara tentang suatu hal. Kemudian huruf kapital akan muncul dalam kondisi soal, dan beberapa angka akan muncul dalam kurung, paling sering dua (ini berarti kita akan menghitung dalam ruang dua dimensi). Jika ada tiga angka dalam kurung, dipisahkan oleh titik koma atau koma, maka ini adalah ruang tiga dimensi. Masing-masing nilai adalah koordinat pada sumbu yang sesuai: pertama di sepanjang horizontal (X), lalu di sepanjang vertikal (Y).
Ingat cara menggambar segmen? Anda lulus pada geometri. Jika terdapat dua titik, maka dapat dibuat garis di antara keduanya. Koordinat mereka ditunjukkan dalam tanda kurung jika segmen muncul dalam masalah. Misalnya: A(15, 13) - B(1, 4). Untuk membuat garis seperti itu, Anda perlu menemukan dan menandai titik pada bidang koordinat, dan kemudian menghubungkannya. Itu dia!
Dan poligon apa pun, seperti yang Anda tahu, dapat digambar menggunakan segmen. Masalah terpecahkan.
Perhitungan
Misalkan ada suatu benda yang posisinya sepanjang sumbu X dicirikan oleh dua bilangan: berawal di titik dengan koordinat (-3) dan berakhir di (+2). Jika kita ingin mengetahui panjang benda ini, maka kita harus mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lebih besar. Perhatikan bahwa bilangan negatif menyerap tanda pengurangan, karena "a minus dikalikan dengan minus sama dengan plus". Jadi kita tambahkan (2+3) dan mendapatkan 5. Ini adalah hasil yang diperlukan.
Contoh lain: kita diberi titik akhir dan panjang objek, tetapi bukan titik awalnya (dan kita harus menemukannya). Misalkan posisi titik yang diketahui adalah (6), dan ukuran objek yang diteliti adalah (4). Dengan mengurangkan panjang dari koordinat akhir, kita mendapatkan jawabannya. Jumlah: (6 - 4)=2.
Bilangan negatif
Dalam prakteknya seringkali dibutuhkan untuk bekerja dengan nilai-nilai negatif. Dalam hal ini kita akanbergerak ke kiri sepanjang sumbu koordinat. Misalnya, sebuah benda setinggi 3 cm mengapung di air. Sepertiganya terendam dalam cairan, dua pertiganya berada di udara. Kemudian, memilih permukaan air sebagai sumbu, kita mendapatkan dua angka menggunakan perhitungan aritmatika paling sederhana: titik atas objek memiliki koordinat (+2), dan titik bawah - (-1) sentimeter.
Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam kasus sebuah pesawat, kita memiliki empat perempat garis koordinat. Masing-masing memiliki nomor sendiri. Di bagian pertama (kanan atas) akan ada titik yang memiliki dua koordinat positif, di bagian kedua - di kiri atas - nilai sumbu X akan negatif, dan di sepanjang sumbu Y - positif. Yang ketiga dan keempat dihitung lebih jauh berlawanan arah jarum jam.
Properti penting
Anda tahu bahwa sebuah garis dapat direpresentasikan sebagai jumlah titik yang tak terbatas. Kita dapat melihat secermat yang kita suka sejumlah nilai di setiap arah sumbu, tetapi kita tidak akan bertemu dengan yang berulang. Kelihatannya naif dan dapat dimengerti, tetapi pernyataan itu berasal dari fakta penting: setiap angka berhubungan dengan satu dan hanya satu titik pada garis koordinat.
Kesimpulan
Ingat bahwa setiap sumbu, gambar, dan, jika mungkin, grafik harus dibuat di atas penggaris. Satuan pengukuran tidak ditemukan oleh manusia secara kebetulan - jika Anda membuat kesalahan saat menggambar, Anda berisiko melihat gambar yang berbeda dari yang seharusnya.
Hati-hati dan akurat dalam merencanakan dan menghitung. Seperti semua ilmu yang dipelajari di sekolah, matematika menyukai akurasi. Lakukan sedikit usaha dan bagusevaluasi tidak akan lama lagi.
